【创新设计】浙江专用高考数学二轮复习专题强化训练3第2讲数列求和及数列的综合应用文含解析

1、第2讲数列求和及数列的综合应用提升解题技能对接高考04 - 强化训练(建议用时：60分钟)、选择题(2014 福建卷)等差数列an的前n项和为若31 = 2, 4=12,则a6等于)A. 8B.10C. 12D.14解析利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解.d=12,解得 d=2,所以 36=31 + 5d=2+5X2= 12,3X2由题思知 31=2,由 S3= 331-I2X故选C.答案 C2.数列3n的通项公式 3n=产,若3n的前n项和为24,则n为n+ Nn+1)3.A. 25C. 624解析答案B.D.576625=('/n =n+ 1),前 n 项和 &= -

2、 (1 >y2) + (2 y3)(6W+1) = Vnin 1=24,故 n=624.故选 C.设an是公差不为0的等差数列，31 = 2且31, 33, 36成等比数列，则a的前n项和$2n7nA- + 442n 5nB 3 + 72n3nc.万十D. n2+ n解析 设等差数列3n的公差为d,由已知得32=3136,即(2 + 2d) 2= 2(2 + 5d),解得d=2,2一n n-11 n 7n故 S = 2n+2 x 2=4+7.答案 A4 .在等差数列an中，31=142, d=- 2,从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列bn, 则此数列的前n项和&取得最大值

3、时n的值是（）.A. 23B. 24C. 25D. 26解析 因为从第一项起，每隔两项取出一项，构成数列bn,所以新数列的首项为bi=ai2= 142,公差为 d =-2X3=- 6,则 bn=142+（n1）（ 6）.令 bn>0,解得 n<24-,3. * 一一 .一一 , 一、， . . 一一 .因为nCN,所以数列bn的前24项都为正数项，从 25项开始为负数项.因此新数列 b 的前24项和取得最大值.故选 B.答案 B5 .已知各项都为正的等比数列3n满足37= 36+235,存在两项3m, 3n使得 3m 3n =431,则1 4 ，一1+4的最小值为（）.m n3A.

4、 2B.6.25解析 由37= 36+ 235,得306= 305+23僧4,整理有q2-q-2= 0,解得q= 2或q=1（与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去），又由 8 3n =431,得3mSh= 1632,即322n_ 214 1,14=1631,即有.”2=4,亦即M n= 6,那么时产否（计n） -1+-23,当且仅当M2即e2-4时取得最小值32.Sn是等比数列d的前n项和，3120'9$= Ss,设 Tn= 313233,3n,值为A. 3B. 4C. 5D. 6解析 设等比数列的公比为 q,故由94=S,得9X3131414m n- I- Z + - + n 6

5、n m则使Tn取最小值的n,解得q=2,.Tn1 一一.不 一.故丁 = 3n=X2 T,易得当n<5时，<1,即Tn<Tn 1；当n>6时，Tn>Tn 1 ,据此数列In-120In-1单调性可得飞为最小值.答案 C2* 一7.已知数列3n的通项公式是 3n=- n +12n-32,其刖n项和是S,对任意的 m ne N且men,().B. 4则SSm的最大值是A. 21C. 8D. 10解析 由于a=(n 4)( n8),故当n<4时，an<0, Sn随n的增加而减小，$=$,当4<n<8 时，an>0,Sn随n的增加而增大，当n

6、>8时，an<0,Sn随n的增加而减小，故 $SnfC Sb & = a5 + a6 + a7 + a8 = a5 + a6 + a7 = 10.答案 D二、填空题8 .设公比为q(q>0)的等比数列an的前n项和为S,若&= 3a?+2,&= 3a4+2Uq=. ai+ aiq= 3aiq+ 2,解析 由已知得 "i+aiq+aiq2+aq3=3aiq3 + 2,一得 aiq2+aq3 = 3aiq( q21),即 2q2q 3= 0.解得 q = m或 q= 1(舍).答案I9 .在正项数列an中，日=2, an+1 = 2an + 3X

7、5n,则数列an的通项公式为 .3n+ 12 an 3解析 在递推公式an+1 = 2an+3x5 n的两边同时除以5n+'得a十二，55 55令m=bn)则式变为 bn + 1=£bn+:即bn+1 1 = ( bn 1),所以数列bn 1是等比数列) 5555其首项为 b1 1= |1_ 1 = _ |,公比为 |.所以 bn - 1= (X E)t,即 bn= 1 -1X S)t =rn,故 an=5n-3X2n 1.5答案 an=5n3X2nT10 . (2013 陕西卷)观察下列等式12= 112- 22=- 313- 22+ 32= 614- 22+ 32- 42

8、=- 10照此规律，第n个等式可为.解析 左边为平方项的(一1广1倍的和，右边为(1+2+3+,+ n)的(一1/1倍.答案12- 22+ 32-42+, + ( - 1)n+1n2=( - 1)n+1n n+1211.设 y=f(x)是一次函数,f (0) =1,且 f(1) , f(4) , f (13)成等比数列，则 f (2) +f(4) +,+ f(2 n)=解析f(4)设 f(x) =kx+b(kw0),又 f(0) =1,所以 b=1,即 f(x) = kx+1(kw0).由 f(1), ,f (13)成等比数列，得 f2(4) =f(1) f (13),即(4k+ 1)2=(k

9、+1)(13 k+1) .因为 kw。,所以k=2,所以 f(x)=2x+1,所以 f(2)+f(4)+,+ f(2n)=5+9+,+ 4n+1 =4n+ 12= n(2 n+ 3).答案 n(2 n+3)12. (2014 临沂模拟)设S为数列an的前n项和，若SnC N*)是非零常数，则称该数列为 sn“和等比数列”；若数列 Cn是首项为2,公差为d(dW0)的等差数列，且数列Cn是“和等比数列"，则d=解析由题意可知，数列cn的前n项和为 $ =n c+cn,前2n项和为 Sn =2nC1+C2n2n C1 + C2n，所以San2nd2= 2 + - = 2+-因为数列Cn是

10、“和等4+ nd- d4-d1 +ndr , S?n r . . , , 1比数列”，即 5为非零常数，所以d = 4.答案 4三、解答题13. (2013 江西卷)正项数列an的前n项和S满足：总一(n2+n1) $ (n2+n) = 0.(1)求数列an的通项公式an；人n +1 *_5(2)令bn=F2,数列A的刖和为丁，证明：对于任意的N，都有£(1)解 由 Sn (n + n 1)Si (n+n) = 0,得S (n + n)( $+1)=0,由于an是正项数 列，所以 Sn+ 1>0.所以 Sn= n2+ n. n>2 时，an= Si S1= 2n, n=

11、1 时，a1 = S = 2 适合上(2)证明 由an= 2n,得n+ 1n+ 1bn=n+2 2a2= 4n2 n + 2 216*1-2 1-2n+ 2n-1 n+ 1 n12n + 2Tn=#i i ii i i5=16(1 + 27- n+i 2 F+2<i6j + 亍广 64.14. (20i4 四川卷)设等差数列an的公差为d,点(an, bn)在函数f(x) = 2'的图象上(nCNj. (i)若ai = 2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列an的前n项和8； (2)若ai= 1,函数f(x)的图象在点(a2, b2)处的切线在x轴上的截距为26，求

12、数列 的前n项和T>.解 (1)由已知，b7=2a7, b8=2a8=4b7,有 2a8= 4X2 a7 = 2a7+2.解得 d=a8a7 = 2., n n-1. 八,，.、2 c所以 Sn= nai +2d= 2n + n( n 1) = n 3n.(2)函数 f(x) = 2x 在(a2, b2)处的切线方程为 y2a2= (2 a21n 2)( xa?), 1它在x轴上的截距为 比 而三.11由题忌知， a2一 ：一丁 = 2 一 1, 斛得 a2= 2. 1n 2 1n 2所以 d=a2ai = 1,从而 an=n, bn= 2n._ 123 n-1 n所以 丁尸 + 了 +

13、 了+，+2门1 + 2n,11因此，2Tn Tn= 1 + 2 + 2之+，+1 n 2n+1-n-22n+1-n-2 所以Tn= 一2一一 一,3* 一15. (2013 天津卷)已知首项为2的等比数列an不是递减数列，其前 n项和为S(nCN),且4+a3, 4+a5, S+a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；1* 一 .一.(2)设Tn= 8 S(nC N),求数列Tn的最大项的值与最小项的值.解(1)设等比数列an的公比为q,因为4+a3, &+a5, 0+a，成等差数列，所以 &+a5S a3= 0 + a4 So a5,即 4a5 = a3,于是 q = = .a3 43又an不是递减数列且 a1 = 2,所以故等比数列an的通项公式为3an= 2 X(2)由(1)得 S