图形的相似技巧及练习题附解析

1、图形的相似技巧及练习题附解析一、选择题1 .要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架三边的长分别为50 cm、60 cm、80 cm,乙三角形框架的一边长为 20 cm,则符合条件的乙三角形框架共有 （）.A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种【答案】C【解析】试题分析：根据相似图形的定义，可由三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5： 6：8,乙那个20cm的边可以当最短边，最长边和中间大小的边.故选：C.点睛：本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同.2 .如图，在 VABC中，点D, E分别为AB, AC边上的点，且 DEBC, CD BE相较

2、于点O,连接AO并延长交DE于点G,交BC边于点F,则下列结论中一定正确的是（）AD AEA. AB EC【答案】C【解析】 【分析】AG AEBGF BDOD AECOC ACAG ACDAF EC由DE/BC可得到VDEOsVCBO,依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质 进行判断即可.【详解】解：A. / DE/BC,ADABAEAC，故不正确;B. . DE/BC,AGGFAEEC，故不正确;C. DE/BC,VADE s VABC,VDEOs VCBO,DE AEDE ODBC ACBC OCOD AE，故正确;OC ACD. DE/BC,AG AE -，故不正确；AF AC故

3、选C.【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解 题的关键.EC ,将 DCE沿DE对折至.给出以下结论：3 .如图，正方形 ABCD中，点E在边BC上，BEDFE ,延长EF交边AB于点G ,连接DG , BF DAG DFG ； BG 2AG ； EBF :S BFC S bef .其中3DBA. 1【答案】B【解析】【分析】所有正确结论的个数是（）B. 2C. 3D. 4根据正方形的性质和折叠的性质可得AD= DF, /A=/GFD= 90,于是根据“H甲J定AG= FG= x, BG=RtAADG RtAFDGJ,可判断 的正误；设正方形 A

4、BCD的边长为aa-x,根据勾股定理得到 x= - a,得到BG= 2AG,故正确；根据已知条件得到 ABEF是等 3腰三角形，易知 AGED不是等腰三角形，于是得到 AEBF与4DEG不相似，故 错误；连接CF,根据三角形的面积公式得到&bfu 2Sxbef.故 错误.【详解】解：如图，由折叠和正方形性质可知，DF= DC= DA, /DFE= / C= 90, ./ DFG= Z A = 90,在 RtAADG 和 RtAFDG 中，AD=DFDG = DG，RtAAD8 RtAFDG (HL),故 正确；设正方形 ABCD的边长为a, AG= FG= x, BG= a-x , .BE=E

5、C,EF= CE= BE= 2QBEGE= a+x21x=3由勾股定理得：eG2=bE2+bG2即：(1 a+x)2=( a)2+(a-x)2 解得:22.BG=2AG,故正确；. BE=EF, . BEF是等腰三角形，易知 AGED不是等腰三角形, . EBF与4DEG不相似，故错误；连接CF, .BE=CE)1BE= - BC,Szbfa 2Sabef.故错误，综上可知正确的结论的是 2个.故选：B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的折叠变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理,三角形的面积计算，有一定的难度.4.如图，DABCD勺对角线且/ ABC= 60

6、, AB=2BC,AC, BD交于点O, CE平分/ BCD交AB于点E,交BD于点F,连接OE.下列结论:= 后 ：7;FB2=OF?DF.其中正确的是( EO AC;S zaod=4Socf； AC: BD)【答案】B【解析】【分析】 正确.只要证明 EC=EA=BC推出/ ACB=90,再利用三角形中位线定理即可判断. 错误.想办法证明 BF=2OF,推出Sxboc=3saocf即可判断. 正确.设BC=BE=EC=a求出AC, BD即可判断.D.正确.求出BF, OF, DF （用a表示），通过计算证明即可.【详解】解：.四边形ABCD是平行四边形, .CD/AB, OD=OB, OA

7、=OC ./ DCB+/ ABC=180 , / ABC=60 , ./ DCB=120 ,. EC平分/ DCB,-1 4 ./ ECB/ DCB=60 ,2 . / EBC=Z BCE=Z CEB=60, . ECB是等边三角形，,-.EB=BC .AB=2BC,EA=EB=EC/ ACB=90 ,. / AOE=Z ACB=90 ,E01 AC,故正确,. OE/ BC, .OEM BCR,OE OF1BCFB2 OF=1OB, 3 SAAOD=Szboc=3Saocf,故错误,设 BC=BE=EC=a 贝U AB=2a, AC= 3a, OD=OB= a2 (# a)22. BD=.

8、7 a, AC: BD=73a： 77a=用：7,故 正确,of=3o中BF=_7a BF2=7a2, OF?DF=2a? a a96. 26. bf2=of?df,故正确, 故选：B.【点睛】 此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角 形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题.AE交CD于F,交BD于5.如图，点E是平行四边形 ABCD中BC的延长线上的一点，连接 M,则图中共有相似三角形(不含全等白三角形)()对.【答案】B【解析】【分析】C. 6D. 7由平行四边形的性质可得 AD/BC, AB/CD,根据相似三角形的判定方法进行

9、分析，即可得 到图中的相似三角形的对数.【详解】 四边形ABCD是平行四边形，.AD/BC, AB/CD ,ADMA EBM, AADFs ECF ADFMA BAM, EFSEAB,/ AFD=Z BAE, / DAE=Z E,. .AD。 EBA,，图中共有相似三角形 5对，故选：B.【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相 交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角 分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.6.如图，已知点 A （4, 0） , O为坐标原点，P是线段O

10、A上任意一点（不含端点 O, A）,过P、O两点的二次函数 yi和过P、A两点的二次函数 y2的图象开口均向下，它们的 顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值 之和等于（）A.&B. 45C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】【详解】过B作BH OA于F,过D作DEL OA于E,过 C作CMLOA于M,. BFOA, DE OA, CMLOA, ,-.BF/ DE/ CM. OD=AD=3, DE OA,1/. OE=EA- OA=22 ,由勾股定理得：DE= .设P (2x, 0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x. BF/ DE/

11、CM, . OBD ODE, AACMA ADE.BF OF CMDE OE DEAM BF x CM aT5即？5万飞2 xYBF ?X, CM 2.bf+cm=5 .故选A.A.7.如图1,在RtAABC中，/ ACB=90。，点P以每秒1cm的速度从点 A出发, CB运动，到点B停止.过点P作PD，AB,垂足为D, PD的长y (cm)与点x (秒)的函数图象如图 2所示.当点P运动5秒时，PD的长是()【答案】B【解析】【分析】【详解】D. 2cm沿折线AC-P的运动时间由图2知，点P在AC、CB上的运动时间时间分别是 3秒和4秒,丁点P的运动速度是每秒1cm ,.AC=3, BC=4

12、.在 RtAABC 中，/ ACB=90 ,根据勾股定理得：AB=5.如图，过点C作CHIAB于点H,则易得 MBC ACHI.CH ACBC ABAC BC,即 CHCHAB3 4 1255，如图，点 E (3, ), 5设直线EF的解析式为yF (7, 0) .12 50 7kk解得： b3k bb35215直线EF的解析式为y. 当 x 5时，PD y故选B.321-x .553 广 21 65 5551.2 cm8.如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距

13、离为 1.5米，则旗杆的高度为（）A. 9B. 12C. 14D. 18【答案】A【解析】【分析】如图，BO2m, CE= 12m, AB=1.5m,利用题意得/ ACB= / DCE，则可判断 ZCEIADCE，然后利用相似比计算出DE的长.【详解】解：如图，BC= 2m, CE= 12m, AB= 1.5m, 由题意得/ ACB= /DCE, / ABC= / DEG . ACN DCE,AB BC 口. 1.5 DE 一,即,DE CE 212 .DE=9.即旗杆的高度为9m.故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度.利用杆或直尺测量物体 的高度就是利用杆

14、或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性 质求物体的高度.9.如图，AB为e O的直径，C为e O上一点，弦 AD平分 BAC ,交弦BC于点E,D. 8A. 2B, 4C. 6【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的定义得到/ CAD=Z BAD,根据圆周角定理得到/ DCB=Z BAD,证明ADC& DAC,根据相似三角形的性质求出AD,结合图形计算，得到答案.解： AD 平分/ BAC,.Z CAD=Z BAD,由圆周角定理得，/ DCB=Z BAD,/ CAD=Z DCB,又/ D=Z D,.DC DAC,DEDC24=，即一=DCDA4AD解得，AD=8, .A

15、E=AD- DE=8- 2=6,故选：C.【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质 定理是解题的关键.10.如图，已知 ABC和 ABD都e O是的内接三角形， AC和BD相交于点E ,则与ADE的相似的三角形是（）A. BCEB. ABCC. ABDD. ABE【答案】A【解析】【分析】根据同弧和等弧所对的圆周角相等，则AB弧所对的圆周角 BCE BDA, CEB和DEA是对顶角，所以 ADEs BCE .【详解】解：Q BCE BDA, CEB DEAADEs BCE,故选：A.【点睛】考查相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似，

16、关键就是牢记同弧所对的圆周角相等.11.如图，在 ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,ADE和四边形BCED的面积分别记为&,&,那么的值为（）S2根据已知可得到 那DEs ABC,从而可求得其面积比，则不难求得士的值.S2【详解】 D,E分别是边AB,AC的中点, .DE/ BC, . ADEs ABC, .DE: BC=1: 2,所以它们的面积比是 1： 4,所以Si= 1S2 - 4 11 31）相似三角形周长的比等于相似3）相似三角形对应高的比、对应中12.如图，以正方形【答案】C【解析】【分析】故选C.本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质：（ 比；（2）相似三角形面积

17、的比等于相似比的平方；（ 线的比、对应角平分线的比都等于相似比.ABCD的AB边为直径作半圆 O,过点C作直线切半圆于点 E,交ADOCF= / FOE,证明 AEOFA连接OE、OF、OC,利用切线长定理和切线的性质求出/ECQ利用相似三角形的性质即可解答.【详解】解：连接 OE、OF、OC.AD、CF、CB 都与。O 相切，.CE= CB; OE CF; FO平分/ AFQ CO 平分/ BCF. . AF/ BC, ./ AFC+/ BCF= 180, / OFC-+Z OCF= 90, . / OFC-+Z FOE= 90, . / OCF= / FOE, . EOM ECQOE二空，

18、即 OE2=EF?ECEC OE设正方形边长为 a,则OE= 1 a CE= a. 21EF= a. 4,EF 1 .EC 4故选：C.【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质，其中通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键.13.如图，顶角为36的等腰三角形，其底边与腰之比等k,这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1, ABC为第一个黄金三角形，BCD为第二个黄金三角形，CDE为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长(),2018A. k2018B, k2019C, D. k2019(2 k)2 k【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形对应角相等，

19、对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n个黄金三角形的周长为 kn-1 (2+k),从而得出答案.【详解】解：AB=AC=1, .ABC的周长为2+k; BCD的周长为 k+k+k2=k (2+k); CDE的周长为 k2+k2+k3=k2 (2+k)；依此类推，第2020个黄金三角形的周长为k2019 (2+k).故选：D.【点睛】此题考查黄金分割，相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是解 题的关键.14 .如图，某河的同侧有 A, B两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为AC 2km , BD 3km ,这两条小路相距 5km .现要在河边建立一个抽

20、水站，把水送到A, B两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为()B AC 口A.距C点1km处B.距C点2km处C.距C点3km处D. CD的中点处【答案】B【解析】【分析】作出点A关于江边的对称点 E ,连接EB交CD于P ,则PA PB PE PB EB ,根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P处时，供水管路最短.再利用三角形相似即可解决问题.【详解】作出点A关于江边的对称点 E ,连接EB交CD于P ,则PA PB PE PB EB .根 据两点之间线段最短，可知当供水站在点p处时，供水管路最短.根据 PCE : PDB，设 PC x,则 PD 5 x ,根据相似三角形的性质

21、，得PCPDCE x一，即BD 5 x故供水站应建在距C点2千米处.本题为最短路径问题，作对称找出点P,利用三角形相似是解题关键15 .如图，已知一组平行线 a/b/c,被直线m、n所截，交点分别为 A、B、D、E、F ,且 AB 1.5, BC 2, DE 1.8,则 EF ()A. 4.4B. 4C. 3.4D. 2.4【答案】D【解析】【分析】根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可.【详解】解：- a/b/cAB DE 口 1.51.8一 即 BC EF 2 EF解得：EF=2.4故答案为D.【点睛】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关

22、 键.16 .如图，AB/ GH/CD,点 H 在 BC上，AC与 BD 交于点 G, AB=2, CD=3,则 GH 长为【答案】B【解析】【分析】C. 2D. 2.5由 AB/GH/ CD可得： 笈6! CAR ABGHsABDC,进而得:GHCHAB BCGHCDBHBC 然后两式相加即可.解：. AB/GH,CGH ACAB, .GH CH ,即 GH CH (TAB BCBCBH， BCGH BH GH. CD/ GH, . BGk BDC, /. 即-CD BC 3GH GH CH BH+，得：1,解得：GH23 BC BC故选：B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基

23、本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质 是解题的关键.AADB与AABC相似,添加一个条件，不正确17 .如图，点D在9BC的边AC上，要判断 的是（）AD ABD AB ACAB CBCBD CD【答案】C【解析】【分析】由/A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得 A与B正确；又由两组对应 边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用.【详解】A是公共角，当/ ABD=/ C或/ ADB=/ ABC时，那DBs ABC （有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；当AB： AD=AC： AB时，AADBs ABC （两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；AB： BD=CR AC时，/ A不是夹角，故不能判定 AADB与 UBC相似，故C错误，符合题意 要求，故选C.18 .如图，在四边形 ABCD 中，AD P BC, ABC 90 , AB 5,BC 10 ,连接AC, BD ,以BD为直径的圆交AC于点E .若DE 3