高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编附答案解析

1、高中数学三角函数与解三角形知识点归纳一、选择题1 .已知函数f xsin x 一 3cos x0 ,若集合x 0, f x 1含有4个元素，则实数的取值范围是()A.B.7 25C.D.7 25一, 2 6令 2sin (cox- 1) = - 1 得 co x- x= +2k3x= 22k+ 一化简f (x)的解析式，作出f (x)的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=- 1与y=f(x)在(0, +8)上的交点坐标，则 兀介于第4和第5个交点横坐标之间.【详解】f (x) =2sin ( 3 x),3作出f (x)的函数图象如图所示:=一 +2k %或 3 x = - +2k 为363

2、64个交点为A,第5个交点为B,设直线y= - 1与y=f (x)在(0, +8)上从左到右的第则 xa3 - x一 二， 26方程f (x) =-1在(0,兀)上有且只有四个实数根,25- -Xa兀泡即兀V,解得 262故选B.【点睛】y=cos (2x- 一)的图象上所有点本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题.2.要得到函数 y=sin (2x+)的图象，只需将函数9( )5A.向左平移个单位长度185C.向左平移个单位长度36【答案】D【解析】【分析】先将函数y cos 2x 一 转化为y sin 9出结论.【详解】函数 y cos 2x sin 2x 99 2

3、,5B.向右平移5-个单位长度185D.向右平移5-个单位长度362x ,再结合两函数解析式进行对比，得 187 sin 2x 18sin 2 x536要得到函数 y sin 2x 一 的图象， 9.一_ 5只需将函数y cos 2x 一的图象上所有点向右平移 个单位长度，故选 D. 936【点睛】本题考查函数y Asin xb的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论.3.已知VABC的三条边的边长分别为 一个钝角三角形，则 x的取值范围是(2米、3米、4米，将三边都增加 x米后，仍组成 )D. 0 x 1c111_/ CA. 0 x -B. -

4、 x 1C. 1x222【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理和三角形三边关系可求得x的取值范围.将VABC的三条边的边长均增加 x米形成VABC ,x 4米，且 A为钝角，则设VA B C的最大角为 A ,则 A所对的边的长为cos A 02x 2 x 3 x 4所以 x 2 x 3 x 4 ，解得0 x 1. x 0故选：D.【点睛】本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题 的关键，考查计算能力，属于中等题.4 .在4ABC 中，角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,若（a - ccosB） sinA= ccosAsinB,则 那BC的形状一

5、定是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.锐角三角形【答案】C【解析】【分析】根据题意，由（a ccosB）sin A ccos Asin B变形可得a sin A csinC ,进而由正弦定理可 得a2 c2,即a c,即可得答案.【详解】根据题意，在ABC 中，（a ccosB）sin A ccosAsin B ,变形可得：a sin A ccos B sin A ccos Asin B c（cosBsin A cosAsin B） csin（A B） csinC, 即有 a sin A csinC ,又由正弦定理可得a2 c2,即a c.故选：C .【点睛】本题主要考查三角形

6、的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理 解掌握水平，属于基础题.5 .已知在锐角 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,若- 1112bcosC ccosB ,贝U 的取小值为（）tan A tan B tanCA.乎B.芯C.4D. 2娓【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件，把边化成角得到B,C关系式，结合均值定理可求.【详解】2bcosC ccosB , 2sin BcosC sinCcos B ,. tanC 2tanB.又 A B Ctan A tan B Ctan B Ctan B tan C 3tan B 3tan B- Z -Z 2T 2

7、；，1tan B tan C12tan B2tan B12 1112tan B 1112,7 tan B tan A tan B tanC 3tan B tan B 2 tan B 36 tan B又在锐角ABC 中，tanB 0,，2tanB24/-tanB马耳，当且3 6tan B ；3 6tan B 32- ,故选A.3仅当tan B 立时取等号， 2,111tan A tan B tanC min本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数 学运算的核心素养a),x b),x cos(xsin x的图像向左平移sin(x6.已知函数f(x) .cos(

8、x()个单位，可以得到 y0的图像关于y轴对称，则y0a b)的图像().A. 一4【答案】D【解析】【分析】B.C.一2D.根据条件确定a,b关系，再化简y【详解】cos x a b ,最后根据诱导公式确定选项因为函数f x00的图像关于y轴对称，所以sin acos - b , sin-2k<k Z), 2,选D.sinb cosa, sina cosb,因止匕 a b从而 y cos x a b sinx sin x【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题0，l| 的图象（部分）如图所1 27,已知函数 f（x） Asin（ x ） x

9、 R,A 0,示，则，分别为（）A-,3B-2 , W '【答案】C【解析】【分析】D.1由取大值可确7E振幅 A,由周期确7E，由£（一） 2确定3【详解】T5112c由图可得，A 2,一,所以T24632、，1所以 2sin（一） 2 , 一332k ,k Z,即 2,1，又 f（-）2,32k ,k Z , 62,故故选：C本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题.8.锐角 ABC中，角A、R C所对的边分别为a,b,c,若sin A 一 3、3 cos B C一 2 v: 6-0 , b 22, c ,则角 B2A. B. C

10、3D.512先由sin A 33 cos B C。求出A一,然后用余弦定理算出a3J3,然后再用余弦定理算出【详解】cosB即可.因为sin A.3 cos B C所以1sin A23 cosA3 cos A21 . sin A 2*osA 0所以tan AJ3,因为A0,-,所以2所以由余弦定理得:2bc cos A. 2.62所以所以cosB因为2ac2,3-6220, 一,所以B故选：B【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，数据不特殊，计算能力是解题的关键9.将函数f xsin x的图象向右平移一个单位长度后,6所得图象关A.C.y轴对称，且f x sin兀1r1 rf -2'

11、;则当取最小值时'2x 6B.函数f x的解析式为（汽sin 2x 一6汽f x sin 4x 一 6D.汽sin 4x 一6由题意利用函数 y Asin x的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由1,，一 r 一，求出，再根据所得图象关于2y轴对称求出可得f x的解析式.【详解】解：将函数f x sin x0,一）的图象向右平移2一个单位长度后，可得6y sin的图象;所得图象关于 y轴对称， f1一 sin2k 一,63则当取最小值时，取6ksin即sin2 0,可得4,函数f x的解析式为fsin 4x 一 6故选C.【点睛】本题主要考查函数yAsin x10.在三角形ABC中,

12、给出命题2,的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题.A.充分不必要条件C.充分必要条件【答案】A【解析】【分析】P: ab c2"，命题 q:C 一 ”，则 p是 4的（）3B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件由余弦定理将C2化为a2 b2 2abcosC ,整理后利用基本不等式求得 1 2cosC 2,求出C范围,即可判断充分性，取 a 4, b 7, c 6 ,则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项.【详解】充分性：由余弦定理，所以ab c2,即ab2 c2a2 ab2,2b 2abcosC ,2abcosC ,整理得，1 2cosc22a bab由基本不等式,a

13、2 b22.瑞ab ab当且仅当a b时等号成立,1_此时，1 2cosC 2,即 cosC ,解得 C , 23充分性得证；必要性：取a 4,b 7,c6,则cosC16 49 36 29 1一,2 4 756 228 c2,故 C一推不出ab c2.3故必要性不成立；故p是q的充分不必要条件故选：AA 600, BC 加 D是边AB上的一点，CD J2, CBD的面积本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析 转化能力，属于中档题.11.在 ABC 中,为1,则BD的长为(3A.一2【答案】【解析】B. 4C. 2D. 1,10sinBCDsin BCD

14、BD2、.22102 24 BD 2,选 C12.若函数 f(x) Asin(其中A0, | |3)图象的一个对称中心为0),其相邻一条对称轴方程为% ,该对称轴处所对应的函数值为1,为了得到g(x) cos2x的图象，则只要将f (x)的图象()A,向右平移一个单位长度6B.向左平移一个单位长度12c.向左平移6个单位长度d.向右平移12个单位长度【答案】B【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得f X的解析式，再根据函数 y Asin x的图象变换规律，诱导公式，得出结论.【详解】根据已知函数f x Asin x（其中A 0, | | 一）的

15、图象过点 -,0 ,7-, 1 ,2312r127可得 A 1,14123解得：2.再根据五点法作图可得 2 3可得：3可得函数解析式为：f x sin 2x -.3故把f x sin 2x 的图象向左平移 一个单位长度，312可得y sin 2x cos2x的图象，36故选B.【点睛】本题主要考查由函数 y Asin x的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出 ，由五点法作图求出的值，函数y Asin x的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题.13.若 一2A.,2cos2sin 一47B8,则sin2的值为（）D.利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cossin

16、万,再将两边平方利用二4倍角正弦公式计算可得;【详解】解：因为2cos2sin所以2cos.2sinsin cos4cos sin4所以cossincossin2一cos2sin所以cos所以cos所以sin 2,cossinsinsin18'2cos2cossin. 2sin1 sin 2故选：A【点睛】本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用,属于中档题;14.已知sinsin( ),107q-，均为锐角，则5A. 一12【答案】C【解析】【分析】B.一3C.一4D.由题意，可得一,利用三角函数的基本关系式，分别求得2cos ,cos(【详解】)的值，利用sin sin(),化

17、简运算，即可求解由题意，可得a, 3均为锐角， < a Su-又 sin(街 &$一Y10 , cos(a 3 4 独01010又 sin 否 , /. cos a= 2s,.sin 3= sin 即(A3)=sin a cos(-a3 )-cos a sin(aS )=叵x310 _ 2日二斤叵.510103=.4【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造 sinsin）,及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题15.在OAB中，已知uuv uuvOP OAuuvOBuuvOBuuvAB满足2

18、45，点P满足uuv3 ,则OP的最小值为（）A.迤5【答案】A【解析】B.2.55C、,63dY2uuuuuu L uuu 根据 OB V2 , AB1,AOB 45，由正弦定理可得OAB为等腰直角三角形，进而求得点A坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算，用, 表不出.再由23,uur将OP化为关于的二次表达式，由二次函数性质即可求得uuuOP的最小值.【详解】uuur uuuuuui|是B45在 OAB 中，已知 OB72, AB 1, aobuur一 AB由正弦定理可得sin AOB1 、2代入 2 sin OAB，解得 sin OAB 12即 OAB 一 2所以 OAB为等腰直角

19、三角形以O为原点，OB所在直线为x轴，以OB的垂线为y轴建立平面直角坐标系如下图所示, 一 22则点A坐标为,22uuu 所以OA,2 .2uur,OB2,0uur因为OPuuu uurOA OBuuu 则OP2、22，2-2,0 £ 2 Vuur 则OP因为23,则 3代入上式可得5 2 1818所以当uuu一时，OPmin3.55故选：A【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用 中档题.，正弦定理判断三角形形状，平面向量的坐标运算，属于16.我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了三斜求积术”，用现代式子表示即为：在 ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c,则 ABC的面

20、积(ab)22,222 .根据此公式，若 acosB2b 3c cos A 0,且a2 b2 c2 2，则 ABC的面积为（）A. 22B. 272C 展【答案】A【解析】【分析】D. 2.3根据acosB3c cosA 0,利用正弦定理边化为角得0,根据sin C 0 ,得 cosA(bc)2求解.17.将函数y c0sx的图象先左移-,再纵坐标不变，横坐标缩为原来的 4sin AcosB cosAsin B 3sinCcosA 0,整理为 sinC 1 3cosA1ooo-,再由余弦定理得 bc 3,又a2 b2 c2 2,代入公式 322,22 2c b a【详解】由 acosB b 3

21、c cosA 0得 sin AcosB cosAsin B 3sin CcosA 0,即 sin A B 3sin CcosA 0,即 sinC 1 3cosA 0,1因为sin C 0 ,所以cos A 一 ,32.222.由余弦定理a b c 2bccosA -bc 2 所以bc 33''J,2.22 2-;(bc)2c_b_a-. 1 32 12 工故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题的解析式为（）A. y sin 2x 4 一13B. y sin - x 一24D. y sin 2xc-1C y sin - x

22、 一24【解析】【分析】根据三角函数的平移伸缩变换法则得到答案.【详解】3y cosx sin x 向左平移一个单位，故变为 y sin x 一 ,2441 、 ,3纵坐标不变，横坐标缩为原来的一，变为y sin 2x 一 .2 4故选：D .【点睛】本题考查了三角函数的平移伸缩变换，意在考查学生对于平移伸缩变换的理解和掌握18.函数fc c22 sin x 3cos x的值域为（）八4A.0,34B-1,3C.51，45D.0, 一4根据一 2sin x3 sin x2 sin xsinx ,利用二次函数性质得到答案2cos x3 sin x2 sin x23 ,6sinx3t2二次函数对称

23、轴为1一时，最大值3当t 1时，最小值y 0,综上，函数f x的值域为0，3 .故选：A.【点睛】 本题考查了三角函数值域，换元可以简化运算，是解题的关键_2a bc右19.在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且b2sin B sin C sin2 A,则 ABC 的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：b=c,最后判断出三角形的形状.【详解】在"BC中，角A、B、C所对的边分别为 a、b、c, 且 b2+c2= a2+bc.,222b c a bc 1则：cosA ,2bc 2bc 2由于:0V Av Tt,故：A § .由于：sinBsinC= sin2A,利用正弦定理得：bc= a2,所以：b2+c2 2 bc= 0,故：b= c,所以： 那BC为等边三角形.故选C.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应