高中数学阶段质量检测(一)导数及其应用新人教A版选修22

1、9阶段质量检测（一）导数及其应用（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1 .以正弦曲线y=sin x上一点P为切点的切线为直线l ,则直线l的倾斜角的范围是（）A. 0, 4 U 兀B. 0 ,兀）C 兀 3兀D0 兀 U 兀 3兀解析：选 A y' = cos x, - cos xC 1,1 ,切线的斜率范围是1,1,，倾斜 角的范围是 0, "4 U -4",兀.2 .函数f（x）的定义域为开区间（a, b）,导函数f' （x）在（a, b）内的图象如图所

2、示，则 函数f（x）在开区间（a, b）内有极小值点（）A. 1个B . 2个C. 3个D . 4个X3)上递增,在(X1, X2) , (X3, b)上递减,因此，3.函数f(x)=x2 ln x的单调递减区间是八2A. 0,亍_2B.去 +°°C22C. -°°, - 2 ? 0，222D. -22-, 0 , 0,21 2x2- 1.解析：选 A - f (x)=2x=,当x x* q 、，2递减区间为0, -T .X1, X3是极大值点，只后 X2是极小值点.（）0vxwt-时，f' （x）W0,故 f（x）的单倜设极值点依次为 xi,

3、x2, x3且avx1 vx2VX3< b,则f( x)在(a34.函数 f(x) =3x4x (xC 0,1)的最大值是()1A. 1B. 2C. 0D . 1解析：选 A f ' (x) =312x2,令 f ' (x) =0,则 x=2(舍去)或 x=2, f(o)=0, ”1)=-1,13 1.f 2 =2' 2= 1, f (x)在0,1上的取大值为 1.5 .已知函数f(x)的导函数f' (x)=a(xb)2+c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()解析：选D由导函数图象可知，当 x<0时，函数f(x)递减，排除 A B；当0&l

4、t;x<x1时, f' (x)>0,函数f(x)递增.因此，当x=0时，f(x)取得极小值，故选 D.一 一一 ，1 6 .定义域为R的函数f(x)满足f(1) =1,且f(x)的导函数f (x)>,则满足2f(x)<x+ 1的x的集合为()A.x| 1<x<1B .x|x<1C.x|x<1 或 x>1D .x|x>11解析：选 B 令 g(x) =2f(x)-x-1, . f, (x)>2，g' (x)=2f' (x) 1>0,，g(x)为单调增函数，. f(1)=1,g(1) =2f(1) -

5、1-1 = 0, .当 x<1 时，g(x)<0,即 2f (x)<x+1,故选 B.7 .某产品的销售收入 y(万元)是产量x(千台)的函数：y1 = 17x2,生产成本y2(万元)是 产量x(千台)的函数：y2= 2x3-x2(x>0),为使利润最大，应生产()A. 6千台B . 7千台C. 8千台D . 9千台解析：选 A 设禾1J润为 y,则 y= yy2= 17x2(2x3x2) = 18x2 2x3, y' =36x6x2, 令y' = 0得x=6或x=0(舍)，f (x)在(0,6)上是增函数,在(6 , +8)上是减函数，x = 6时y取

6、得最大值.8 .已知定义在 R上的函数f(x), f(x)+x f' (x) <0,若avb,则一定有()A. af (a) v bf (b)B . af (b) v bf (a)C af (a) > bf (b)D . af (b) > bf (a)解析：选 C x f (x) ' = x' f (x) + x f' ( x) = f (x) + x f ' ( x) v 0,，函数x f(x)是R上的减函数，a<b, af(a)>bf(b).二、填空题(本大题共7小题，多空题每题 6分，单空题每题4分，共36分.请把正确

7、 答案填在题中横线上)9 .函数f (x) =x3 + ax2+ 3x-9,已知f(x)在x = 3处取得极值，则 a=.解析：f' (x) =3x2+2ax+3, 广( 3)=0.3X( 3)2+2ax( 3)+3=0,，a=5.答案：510.若 f(x)=；x3 f ' (1) x2+x+5,则 f' (1) =, f ' (2) =.3解析：f ' (x) = x22f ' (1) x+ 1,令 x= 1,得 f ' (1) =|, .f ? (2) = 22-2X-2X 2+ 1 3373.答案:11 .函数y=ln( x2 x2

8、)的定义域为 ,单调递减区间为 .解析：由题意，x2- x-2>0,解得xv1或x>2,故函数y=ln( x2x2)的定义域 为(一oo, - 1) U (2 , +°°),令 f (x) =x2- x- 2, f ' (x) = 2x1v0,得 xv 2,，函数y=ln( x2 x2)的单调递减区间为(一00, 1).答案：(00, 1) U (2 , +8)(8, 1)12 .函数y = x36x+a的极大值为 ,极小值为 .解析：y' = 3x26=3(x +啦)(x也)，令 y' >0,得 x>V2或 xv2,令y&#

9、39; <0,得一也<x<5，.当x= 42时取得极大值a+ 4g2,当x =，2时取得极小值a-42.答案：a+4/2 a 4，213 .已知函数y=x3+ax2+bx+27在x = 1处有极大值，在 x= 3处有极小值，则 a = , b=.解析：v = 3x2+2ax+b,方程y' =0有根1及3,由根与系数的关系得,2aT + 3=一§,b3=孕a= 3,b= - 9.答案：3 -9兀 兀14.已知函数 f(x)满足 f (x) = f (兀一x),且当 xC - -, "2时，f(x)=x+sin x,设 a=f(1) , b= f(2)

10、 , c=f(3),则 a, b, c 的大小关系是 解析：f (2) =f (兀一2) , f (3) =f (兀3),因为 f' (x) = 1+ cos x>0,兀 兀故f(x)在一5，万上是增函数,，f (兀一2)> f (1)> f (兀-3),即 c<a<b.答案：c<a<b4x 15.右函数 f (x)=+ i在区间(m,2m+ 1)上单倜递增，则头数 m的取值氾围是.4-4x2.一解析：f (x)= ,+1-2，令 f (x) >0,得一1 vxv 1,即函数f(x)的增区间为(一1,1).又f (x)在(m,2m 1)上

11、单调递增，R> - 1 ,所以 2m 1,2m+ K 1.解得一1Vme 0.答案：(一1,0三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分14分)已知函数f (x) = ax3+bx23x在x=±l处取得极值.(1)讨论f(1)和f ( 1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线y= f(x)的切线，求此切线方程.解：(1) f' (x) = 3ax2+2bx 3,依题意，(1) = f ' ( 1) =0,即3a+ 2b3= 0,3a2b3= 0,解得 a= 1, b=0.，

12、f(x)=x33x, f' (x) =3x23=3( x 1)( x+1).令 f ' (x) = 0,得 x= 1 或 x = 1.若 x C ( 8, 1) u (1 , +8),则 f ' (x) > 0,故f(x)在(一8, 1)上是增函数，f(x)在(1 , +8)上是增函数.若 xC( 1,1),则 f ' (x)<0,故 f(x)在(一1,1)上是减函数.f( 1) =2是极大值；f(1) = 2是极小值.(2)曲线方程为y = x33x.点A(0,16)不在曲线上.设切点为M(xo, yo),则点M的坐标满足yo=x03xo.- 1

13、f( xo) = 3( xo 1),故切线的方程为yyo= 3(x21)( x xo).注意到点 A(o,16)在切线上，有 16(xo3xo) =3(x21)(。-xo).化简得xo= 8,解得xo= 2.，切点为M(2, 2),切线方程为9x-y+16=o.17.(本小题满分15分)设函数f (x) = xea x+ bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线 方程为 y = (e 1)x+4.(1)求a, b的值；求f(x)的单调区间.解：(1)因为 f (x) = xea x+ bx, 所以 f' (x)=(1x)e"x+b.依题设有f 2 =2e+2,f&#

14、39;2 =e-1,2ea 2+2b=2e+2,-ea 2+ b= e- 1.解得a=2, b= e.(2)由(1)知 f(x) =xe2 x+ ex.由 f ' (x) = e*x(1 x+e"1)及 e2T>o 知,f' (x)与 1x+exj 同号.令 g(x) = 1 - x+ ex 1,则 g，(x) = _ 1 + ex-所以当 xC(8, 1)时，g' (x)<o,g(x)在区间(8, 1)上单调递减;当 xC (1 , +8)时，g，(x)>o ,g(x)在区间(1 , 十°0)上单调递增.故g(1) = 1是g(x

15、)在区间(一8, +oo )上的最小值, 从而 g(x)>o , xC ( 8, +oo ).综上可知，f' (x)>o, xe(8, +8),故f(x)的单调递增区间为(一8, +oo).18.(本小题满分15分)某个体户计划经销 A B两种商品，据调查统计，当投资额为 x(x>0)万元时，在经销 A, B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)= a(x1) + 2, g(x) = 6ln( x+b)( a>0, b>0).已知投资额为零时收益为零.(1)求a, b的值；(2)如果该个体户准备投入 5万元经销这两种商品，请你帮他

16、制定一个资金投入方案， 使他能获得最大利润.解：(1)由投资额为零时收益为零，可知 f(0) =- a+ 2=0, g(0) =6ln b=0,解得 a=2, b=1.(2)由 可得 f(x) =2x, g(x) =6ln( x+ 1).设投入经销B商品的资金为x万元(0vxw5),则投入经销A商品的资金为(5x)万元，设所获得的收益为 S(x)万元，则 S(x)=2(5 -x) + 6ln( x+ 1)= 6ln( x+1)-2x+10(0<x<5).,6 AS： (x)=-2,令 S' (x) = 0,得 x=2. x I I当0vx<2时，S' (x)&

17、gt;0,函数S(x)单调递增；当2vxW5时，S' (x)<0,函数S(x)单调递减.所以当x=2时，函数S(x)取得最大值，S(x) max= S(2)=6ln 3 +6=12.6 万元.所以，当投入经销 A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元.19.(本小题满分15分)已知函数f (x) = ax2+ 2ln(1 x)( a为常数).(1)若f(x)在x= - 1处有极值，求a的值并判断x = - 1是极大值点还是极小值点；(2)若f(x)在3, 2上是增函数，求 a的取值范围.,2解：(1) f (x) = 2ax- -, xC(8,

18、 1), 1 xf' ( 1)= 2a-1=0, 1 所以a= 2.,2 x+1 x- 2f ( x) = x -=1-x1-x,. x<1,1-x>0, x-2<0,因此，当 x<1 时 f ' (x)>0 ,当一1<x<1 时 f' ( x)<0 ,1- x= - 1是f (x)的极大值点.(2)由题意f' (x)>0在xC3, 2上恒成立,一一 2，即2ax yx>0在xC3, 2上恒成立1，一、阵卞在/ 3, -2上恒成立，21 21-x+x=- x-2 +4 CL12, -6，11x2+ x £6,112，1x2+ x_ 1 min= 6,1a< a6.1即a的取值范围为-巴6.20.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x + t(t >0)和点R1,0)，过点P作曲线y= f (x) x的两条切线 PM PN切点分别为 Mx1, y。，Nx2, y) .(1)求证：x1, x2为关于x的方程x2+2tx t = 0的两根；(2)设|MN = g(t),求函数g(t)的表达式；(3)在(2)的条件下，若在区间2,16内总存在 饼1个实数a1, %,，时 1(可以相同), 使得不