初中数学八年级数学上册提高题练习

1、1、在ABC中，NA=60。，BD, CE是ABC的两条角平分线，且80, CE交于点F.(1)如图1,用等式表示BE, BC, C。这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；小东通过观察、实脸，提出猜想：BE+CD=BC.他发现先在8c上截取8M,使BM=BE, 连接尸M,再利用三南形全等的判定和性质证明CM=C。即可.下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：i )在8c上截取8M,使连接EW,则可以证明48/与 全等，判定它们全等的依据是;ii) l±l ZA=60°, BD, CE是ABC的两条角平分线，可以得出NEF8=。；请直接利用i ) , ii)已得到的结

2、论，完成证明猜想8E+C0=8C的过程. 证明：A(2)如图 2,若NABC=40。，求证：BF=CA. 证明：2 .如图，已知 A(a, b), 轴于 3,且满足 JE + ( 2)2 =0.(1)求A点的坐标；(2)分别以A3、AO为边作等边三角形ABC和A。，试判断线段AC和OC的数量关系和位置关系.(3)如图2过A作轴于E,F,C分别为线段OEAE上的两个动点，满足4FBG = 45二试探究”蓼£的值是否发生变化？如果不变,请说明理由并求其值; FG如果变化”请说明理由.(3)求证:AOACOE"-3 .如图，。是线段0C的垂直平分线上的点，A。平分AOC的外角，O

3、fLAC于E (1)求证：ZODC=ZOAC,AO-AC .(2)求证:=2AE(4)变式：如图，若点P在/M4c的平分线的反向延长线上，若NO尸C=NOAC,作PNL4。于N,现40- ACAC AO给出两个结论：的值不变;的值不变.其中有且只有一个结论正确,请找出来并ANAN求其值.4、如图1,点月(a, 0),点风0,6),且a、6满足尸+ (aY)O.如图1,若。的坐标为(-1,0),且AHtBC于点、H, AH交05于点、P,试求点尸的坐标；如图2,连接以求证：N如45。；(3)如图3,若点。为血的中点，点也为y轴正半轴上一动点,过。作DNLDM交x轴于点A；求 55/廿6出W的值o

4、5.如图，在直角坐标系x°,v中，直线A8交工轴于A (1, 0),交) 轴负半对于8 (0, -5),。为x轴正半轴上一点，且OC=5OA.(1)求 ABC的面积.(2)延长BA到P (自己补全图形)，使得PA=AB,求P点的坐标.0D(3)如图，D是第三象限内一动点，直线BE_LCD于E, OF_LOD交BE延长线于F.当D点运动时，了一 的大小是否发生变化？若改变，请说明理由：若不变，求出这个比值.6,已知，如图1,在AABC中，NA是锐角，AB=AC,点D, E分别在AC, AB上，BD与 CE相交于点O,且NDBC=NECBNA.（1）写出图1中与NA相等的角，并加以证明：

5、（2）判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由.小刚通过观察度量，找到了 NA相等的角，并利用三角形外角的性质证明了结论的正确性； 他乂利用全等三角形的知识，得到了 BE二CD.小刚继续思考，提出新问题：如果ABWAC,其他条件不变，那么上述结论是否仍然成立？ 小刚画出图2,通过分析得到猜想：当ABWAC时，上述结论仍然成立，小组同学乂通过 讨论，形成了证明第（2）问结论的几种想法：想法1：在OE上取一点F,使得OF=OD,故OBFgZkOCD,欲证BE二CD,即证BE=BF.想法2：在OD的延长线上取一点M,使得OM=OE,故OBE丝ZkOCM,欲证BE二CD,即 证 CD二CM.想法3：分

6、别过点B, C作OE和OD的垂线段BP, CQ,可得OBPOCQ,欲证BE二CD, 即证BEPgZXCDQ.请你参考上面的材料，解决下列问题：（1）直接写出图2中与NA相等的一个角；（2）请你在图2中，帮助小刚证明BE=CD.（一种方法即可）图1图27 .在等腰直角三角形ABC中，n8AC=90。，AB=AC.直线MN过点A且MNII BC,过点8为一锐角顶点作 RtA BDE, Z BDE=90°,且点D在直线A/N上(不与点A重合)，如图1, DE与AC交于点P,易证：8O=OP.(无 需写证明过程)(1)在图2中，QE与CA延长线交于点P, 尸是否成立？如果成立，请给予证明：如

7、果不成立，请说 明理由；(2)在图3中，。七与AC延长线交于点P, 8。与OP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明.8 .如图 AOB和aACD是等边三角形，其中ABX.r轴于E点.(1)如图，若OC=5,求BD的长度：(2)设BD交x轴于点F,求证：ZOFA=ZDFA；(3)如图，若正AAOB的边长为%点C为x轴上一动点，以AC为边在直线AC下方作正AACD,连9,住平而宜角坐标系中，A(3, Oh 8(0, 3), ,点:尸为次【A3上一点，且竺=L 连接O?BP 2(1)如图1，求：(2)如图2,作直线AM工x轴，作PCJ.O尸交AM于点C,求证：PC=OP ：(3)如图3,在(2)的

8、条件下，在直线AM上一动点N,连接ON并在x轴下方作。工ON且O0=ON,连 接点。(3, 3)与点。的线段交x轴于点E,当OE=2,则。点坐标为 (请同学们自己画图.并写出推理过程).10 .如图，平而直角坐标系中，点A、B分别在X、y轴上，点B的坐标为（0,1）,ZBA0=30°（1）求AB的长度；（2）以AB为一边作等边ABE,作OR的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D.求证：BD=OE；（3）在（2）的条件下，连接DE交AB于F.求证：F为DE的中点.11 .等腰RtZkABC中，NBAC=90° ,点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴 于点D,斜

9、边BC交y轴于点E。(1)如图(1),若A(0, 2), B(3, 0),求C点的坐标；(2)如图(2),当等腰RtZXABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE,求证：ZADB=Z CDE;(3)如图(3),在等腰RtZXABC不断运动的过程中，若满足BD始终是NABC的平分线，试 探究：线段0A、0D、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由。图(3)12 .通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。原题：如图L点£厂分别在正方形的边8C、CD . NE4r = 45。，连接EF，则印= 5E + £>P，

10、试说明理由。(本题10分)(1)思路梳理V AB = AD，把A4BE绕点A逆时针旋转90°至AAOG,可使A8与AO重合V ZADC = ZB = 90°V NTOG = 18O0,点尸、。、G 共线根据SAS,易证A4FG丝，从而可得印=3£ +。p(2)类比引申如图2，四边形A8CO中，AB = AD, NE4D = 9O°,点E、尸分别在边8C CD上，ZE4F=45°. 若、NQ都不是直角，则当与NQ满足等量关系 时，仍有EF = BE + DF.(3)联想拓展如图3,在A4BC中，ZE4C = 90°, AB = AC,点

11、。、E均在边8cr. ILNDAE=45。.据图形提示 试猜想8。、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。13. （1）如图（1）,已知：在ABC 中，NBAC=90° , AB=AC.直线 m 经过点 A, BD_L直线 m. CE _L直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.（2）如图（2）,将（D中的条件改为：在aABC中，AB=AC, D、A、E三点都在直线m上,并且有N BDA=NAEC=NBAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立，请你给出证明;若不 成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3） , D、E是D、A、E三点

12、所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）， 点F为NBAC平分线上的一点，且AABF和4ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若NBDA=NAEC=N BAC,试判断4DEF的形状.118.在课外小组活动时，小彗拿来一道题原问题）和小东、小明交流.原问题：如图1,已知/ACB=90° , /ABC=45° ,分别以AB、BC为边向外作AABD与2X202,且D A=DB , EB=EC, ZADB=ZBEC=90° ,连接DE交AB于点F .探究线段DF与EF的数量关系.小慧同学的思路是：过点D作DG_LAB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小东同学

13、说：我做过一道类似的题目，不同的是/ABC=30° , /ADB=NBEC=60度.小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2,若NABC=30° , /ADB = /BEC=60° ,原问题中的其他条件不变,你在（1 ）中得到的结论 是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明5（3）如图3,若Nadb=Nbec=2Nabc,原问题中的其他条件不变，你在C 1）中得到的结论是否发生变 化？请写出你的猜想并加以证明.nk15 .如图，平而直

14、角坐标系内，已知8（ 12, 0）,以03为边作等边 O8A,过。点作0WJ_A8于M点.若M点关于y轴的对称点是N点，连接6N交。4于尸点（1）求N点的横坐标（2）求OP线段的长度（3）如图，若。点是），轴上的一动点，连接8Q,以B0为边作等边 8QR,连接OR当OR最短时， 求R点的横坐标16 .类比探究：（1）发现：如图，点A为线段BC外一动点，且BC=a, AB=b.填空：当点A位于一时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_.（用含a, b的式子表示） （2）应用点A为线段BC外一动点，且BC=3, AB=1,如图所示，分别以AB, AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接

15、CD, BE.请找出图中与BE相等的线段，并说明理由:直接写出线段BE长的最大值.（3）拓展：如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2, 0），点B的坐标为（5, 0）,点P为线段AB外一动点，且PA=2, PM=PB. z BPM=900,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.17 .如图12,已知AABC中，AB=BC=1, ZABC=90° ,把一块含30°角的直角三角板DEF的直角 顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),将直角三角板DEF绕D点 按逆时针方向旋转。在图12中，DE交AB于M, DF交BC于N。证明DM=DN：

16、在这一旋转过程中，直角三角板DEF与aABC的重叠部分为四边形DMBN,请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积：继续旋转至如图13的位置，延长AB交DE于M,延长BC交DF于N, DM=DN是否仍然成立？ 若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由：(3)继续旋转至如图14的位置，延长FD交BC于N,延长ED交AB于M, DM = DN是否仍然成立？ 请写出结论，不用证明。18 .问题情境：如图，在直角三角形ABC中，NBAC=90° , ADJ_BC于点D,可知:NBAD=NC （不需要 证明）：（1）特例探究：如图，ZMA

17、N=90° ,射线AE在这个角的内部，点B、C在NMAN的边AM、AN ±, 且 AB=AC, CF±AE 于点 EBDXAE 于点 D. 证明：AABDACAF;（1）归纳证明:如图，点B、C在NMAN的边AM、AN上，点E、F在NMAN内部的射线AD上，ZK N2 分别是AABE、4CAF 的外角,已知 AB=AC, Z1 = Z2=ZBAC. 求证：AABEACAF;（3）拓展应用：如图，在aABC中，AB=AC, AB>BC,点D在边BC上，CD=2BD,点E、F在线段 AD上，N1=N2=NBAC.若AABC的面积为15,则AACF与ABDE的面积

18、之和为.（直接 写出答案）19 .如图，在直角坐标系"°V中，直线A3交I轴于A (1, 0),交)轴负半n轴于8 (0, -5) , C为x 轴正半轴上一点，且OC=5OA.(1)求 ABC的面积.(2)延长BA到P (自己补全图形)，使得PA=AB,求P点的坐标.(3)如图，D是第三象限内一动点，直线BEJ_CD于E, OFJ_OD交BE延长线于F.当D点运动时，卜 的大小是否发生变化？若改变，请说明理由：若不变，求出这个比值.20、如图甲，在正方形ABC。中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF. DE相交于点G,则可得结论: AF_L.DE。（不需要证明）（1）如

19、图乙，若点E、F不是正方形A8CD的边8C、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论、 是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）（3分）（2）如图丙，若点七、F分别在正方形A3CQ的边C8的延长线和OC的延长线上，且CE=DF,此时上 面的结论、是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，说明理由。21. (1)如图 10,在 RLABC 中，AC=BC, ZACB=90° , M 为 AB 中点，AF=CE,请判断MEF 的 形状.(2)已知：如图 11 在 RtZkABC 中,AC=BC, ZC=90°，点 D 为 AB 上任一点，DF_LAC 于 F,

20、DE J_BC于E, M为BC的中点.判断aMEF是什么形状的三角形并证明你的结论.当点D在AB上运动时，四边形FMEC的而积是否会改变，并证明你的结论. 当点D在BA的延长线上运动时，如图12,中的结论还成立吗？22. （9分）在等边aABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE二DA （如图1） （1）求证：ZBAD=ZEDC；（2）点E关于直线BC的对称点为M,连接DM, AM.依题意将图2补全；小姚通过观察，实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA=AM,小姚把这个猜想 与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明DA=AM,只需证AADM是等边三

21、角形；想法2：连接CM,只需证明ABDgZkACM即可.请你参考上面的想法，帮助小姚证明DA=AM （一种方法即可）23 .如图1所示，等边AABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性, AD平分/BAC,且ADJ_BC,则有NBAD=30。，BD=CD=yAB.于是可得出结论“直角三角 形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半”.请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：(1)如图2所示，在AABC中，ZACB=90°, BC的垂直平分线交AB于点D,垂足为E, 当 BD=5cm, NB=30。时，4ACD 的周长二.(2)如图3所示，在ABC中，AB=AC

22、, ZA=120°, D是BC的中点，DE±AB,垂足为E, 那么 BE： EA=.(3)如图4所示，在等边aABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=DC, AD、BE 交于点P,作BQ_LAD于Q,若BP=2,求BQ的长.24 .如图，ZiABC中，ZACB=90°, AC=BC.在 ABC外侧作直线CP,点A关于直线C尸的对称点为 连接AO, BD,其中8。交直线CP于点£(1)如图 1, ZACP=5Q.依题意补全图形；求NC3。的度数：(2)如图2,若45oNACPv90。，直接用等式表示线段AC, DE, 3七之间的数量关系.25 .如

23、图，点0是等边aABC内一点，ZA0B=110° , NBOC=。，以0C为一边作等边OCD,连接AD.(1)当0=150。时,试判断aAOD的形状，并说明理由.(2)探索：当a为多少度时，AOD是等腰三角形.26 .如图，在四边形的?中，N皮90°，DE/AB交BC千E、交月。于尸, BODE.(1)求证：尸是等腰三角形: (2)若止1,求的长.(1)证明：(2)解:27 .如图，/XABC中，NABC=NACB,点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且NADE=ZAED,连接 DE.(1)如图，若NB=NC=30。, ZBAD=70°,求 NCDE 的度数

24、：(2)如图，若NABC=NACB=70。，ZCDE=15°,求NBAD 的度数；(3)当点D在直线BC上(不与点B、C重合)运动时，试探究NBAD与NCDE的数量关 系，并说明理由.28 .取一张长方形纸片ABCD （如图），AB=8, BC=a.（1）当a=16时，按下列步骤操作将图纸片对折，使较长的两边BC, AD重合，折痕为EF,再打开纸片，如图.再折叠，使点A落在EF上的点G处，折痕为BH,如图连接AG, BG.请证明4ABG是等边三角形.（2）小明认为当aV8时，折不出边长为8的等边三角形.你认为他的说法正确吗？若不正 确请通过计算说明，a满足什么条件时能折出一个边长为8

25、的等边三角形？（3）当a足够大时，请你利用折纸，折出一个面积最大的等边三角形，并写出折法.备用图备用图29 .如图，在ABC中，AB=AC=2, NB=40。，点D在线段BC上运动(D不与B、C重合)，连接AD,作NADE=40。，DE与AC交于E.(1)当NBDA=U5。时，ZBAD=°, ZDEC=°；当点 D 从 B 向 C 运动时，Z BDA逐渐变 (填“大”或“小”)；(2)当DC等于多少时，4ABD与4DCE全等？请说明理由；(3)在点D的运动过程中， ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出ZBDA 的度数；若不可以，请说明理由.26. （10分）探索研究：已知：ABC和4CDE都是等边三角形.（1）如图1,若点A、C、E在一条直线上时，我们可以得到结论：线段AD与BE的数量关系为：，线段AD与BE所成的锐角度数为°；（2）如图2,当点A、C、E不在一条直线上时，请证明（1）中的结论仍然成立; 灵活运用：如图3,某广场是一个四边形区域ABCD,现测得：AB=60m, BC=80m,且NABC=30。，Z DAC=ZDCA=60°,试求水