2013年中考数学锐角三角函数与特殊角押轴题(带答案)

1、2013年中考数学锐角三角函数与特殊角押轴题（带答案）锐角三角函数与特殊角的押轴题解析汇编二锐角三角函数与特殊角一、选择题1（2011湖北随州，9，3分）cos30 =（）ABCD【思路分析】因为cos30,所以C正确.故选C.【答案】C【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函 数值是解答此题的关键.难度较小.1.（2011甘肃兰州，4,4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的 交点处，若将ABC绕着点A逆时针旋转得到则tan的值为（）A.B.C.D.【解题思路】由旋转的性质可知，/二/B,利用网格构建一个直角三 角形，通过观察可以看出/B的对边为1,相邻的直角边等于3,

2、所以tan二tanB二，故选B,其余选项显然不正确.【答案】B.【点评】本题考查了旋转的性质和直角三角形三角函数的定义,旋转 不改变图形的形状和大小,利用图形的初始位置进行思考是解决本题 的重要方法,另 ABC显然不是一个直角三角形,巧妙的利用网格构 建直角三角形也是一个非常重要的方法.难度中等.2.（2011江苏镇江，6, 2分）如图，在RtAABC中，/ACB= 90CD丄AB,垂足为D.若AC=,BC=2,贝卩sin/ACD的值为（）ABCD【解题思路】T/ACD=ZB,Asin/ACD= sin/B=.【答案】A【点评】此题主要考查三角形函数的定义.直角三角形中，一个锐角 的正弦是指对

3、边与斜边的比.具体求值时，可进行转化，使问题变得 简单，难度较小.2、（2011四川乐山，2,3分）如图（1）,在4X4的正方形网格中，tana=（A）1（B）2（C）（D）【解题思路】 根据网格的特点： 设每一小正方形的边长为1，可以确定/a的对边为2,邻边为1,然后利用正切的定义tana= a的对边/a的邻边=2.故A、C D不正确。【答案】B。【点评】网格问题是近几年来中考的热点，它考查了学生的读图、析 图的能力，充分利用网格的特点，构建适当的图形，确定图形相应的 边长或角的度数，根据题目条件要求列式计算。难度中等.10. （2011年四川省南充市，10,3分）如图，/ABC和/CDE均

4、为等 腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：tan/AEC二;S/ABC+Sd CD医S/ACE;BM丄DM;BM=DM.正 确结论的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个【解题思路】此题易得/ACE=90,二tan/AEC=.成立;设AC=a,CE=b则而故,即：二成立；延长DM交直线AB于N,易证AMNAEMD, 进而得到MD二MN,BD=BN由等腰三角形三线合一，可得成立。【答案】D【点评】本题是一个综合性题目，有一定难度。9.（2011四川乐山，9,3分）如图（5）,在正方形ABCD中，E、F分 别是边BC CD的中点，AE交BF于点H, CG

5、/ AE交BF于点G。 下列 结论： tan/HBE二coHEBH二F. 其中正确的序号是（A）（B） （C）（D）【解题思路】：根据题意：TE、F分别是正方形ABCD边BG CD的中点，二ABEABCF/./BAE=/ CBF又v/BEA与/BAE互余，二/BEA与/EBH互余，即AE! BFABHE是直角三角形，tan/HBE=co/HEB正确；又vCG/ AE,GFC是直角三角形，即BCFACDF/.成立；又vBE=CF/GFC/BEH/BHE=Z CGF/ BHEACGF,故BH=CG,BH=FG不成立；vE、F分别是边BC CD的中点，设正方 形ABCD的边长为2,则BE=1,根据勾

6、股定理可得：BF=,GF=P=4,成 立。故D正确。答案】D【点评】本题是对三角形的全等、相似、勾股定理以及三角函数的应 用的综合考查，解题的关键是先根据正方形的特点， 确定边、角关系， 判定三角形的形状，证得三角形全等、相似；并应用勾股定理求得边 长，利用全等、 相似关系，从而判定四个结论的正误。 本题难度较大。（2011常州市第6题,2分）如图，在RtABC中，/ACB=90,CD丄AB,垂足为D。若AC= BC=2则sin/ACD的值为ABCD【解题思路】在RtAABC中，由勾股定理得AB二，再根据等角的转化，Sin/ACD二sir/B二故选A.【答案】选A.【点评】本题考查了三角函数的

7、相关知识，解答本题的关键是实现等角/ACD与/B之间的转化.（2011江苏苏州，9,3分）在四边形ABCD中，E、F分别是AB AD的中点，若EF=2 BC=5 CD=3则tanC等于（）A.B.C.D.【解题思路】连结BD,根据中位线EF知BDF=4在厶DBC中，因为BD2+DC2=42 + 32=25,BC2=52=25,所以BD2+DC2=BC2所以 /BDC=90， 所以tanC=,故选B.【答案】B【点评】本题综合考查了中位线、 勾股定理和锐角三角函数， 求tanC， 就要把/C构成在一个直角三角形中.二、填空题1._（2011年湖北省武汉市3分）sin30的值为_.分析：特殊角的三

8、角函数值。答案： 点评：本题主要考察特殊角的三角函数值，属于基础题。1. （2011福建泉州，16,4分）如图，在RtAABC中，/C=90, AC=3,BC=4,则AB=，=.【解题思路】由勾股定理可得AB=5,由三角函数的定义可知：【答案】5,；【点评】本题侧重对勾股定理,及三角函数定义的考查,难度较小。2. （2011江苏镇江，11,2分）若/a的补角是120则/a=_,sina=_.【解题思路】/a的补角是180 /a.sin60=.【答案】60,【点评】此题考查补角的概念,特殊角的三角函数值,难度较小.（2011常州市第11题,2分）若/的补角为120,则/=,Sin=。 【解题思路

9、】由/的补角为120建立方程180-/=120,解得/=600,sin600=.答案：600,【点评】解答本题的关键是根据条件建立方程，熟记特殊角的三角函 数值。（2011江苏连云港，14,3分）ABC的顶点都在方格纸的格点上，贝卩sinA=_.【解题思路】用勾股定理可以求得AC= AB边上的高为2,即【答案】【点评】本题考查勾股定理、 三角函数等知识及构造思想。 难度较小。1.（2011湖南株洲,11,3分）如图,孔明同学背着一桶水,从山脚 出发,沿与地面成角的山坡向上走,送水到山上因今年春季受旱缺水 的王奶奶家（处）,米,贝孔明从到上升的高度是米.【解题思路】由图形,结合含有30角的直角三

10、角形性质,或锐角函数 的知识求得BC= 40米.【答案】40.【点评】直角三角形是研究图形性质的基础,也是中考的常考知识.难度较小.3.（2011江西南昌,16,3分）如图所示,两块完全相同的含30角的 直角三角形叠放在一起，且/DAB=30.有以下四个结论：AF丄BCADG4AACRO为BC的中点AG:DE= 4,其中正 确结论的序号是. （错填得0分,少填酌情给分）【解题思路】由/DAB=30得/BAE=60,所以/CAF=30而/C=60所以/CAF=90即AF丄BC,因 为/DAB二/CAF/D=ZC=60AD=AC，所 以AD3AACF连接OA易得OB=OA=OC艮卩O为BC的中点，

11、在直角ADG中，设DG=a贝卩AD=2a,AG=a在直角ADE中可得DE=4a所以AG:DE= 4.【答案】 【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定、锐角三 角函数的意义和学生综合分析的能力，难度较大.三、解答题17（2011四川乐山，17，9分）计算： 【解题思路】：根据绝对值的意义、锐角三角函数、 负指数的运算和最 简二次根式的化简， 进行计算：|-2|=2；cos300=;（）-1=3;=2.【答案】=2-+3+2=2-2+3+2=5.【点评】本题是对数与式的运算的考查，特别是对绝对值的意义、锐 角三角函数、负指数的运算和最简二次根式的化简的理解， 综合性强。 本题难度中等

12、。21（2011四川广安，21，7分）计算： 【解题思路】本题为基本计算题，主要考察负指数幂，零指数幂，特 殊角三角函数值和绝对值的运算【答案】解：原式=【点评】本题为基本计算题，主要考察负指数幂，零指数幂，特殊角 三角函数值和绝对值的运算难度中等20（2011内蒙古乌兰察布，19，7分）计算： 【解题思路】原式=【答案】 【点评】本题主要考查了二次根式的化简、特殊角的三角函数值、绝 对值的意义、零指数.难度较小.1. （2011四川内江，17,7分）计算：tan30 -（n-2011）0+-【思路分析】分别计算三角函数值、化简二次根式、求零次幂及去绝 对值,然后合并同类项或同类二次根式.【答

13、案】解：原式二X-1+2+1-=1+【点评】对于二次根式化应化为最简二次根式,绝对值的化简应注意 绝对号内的数的正负, 任何不等于零的数（或式）的零次幂都等于1.本 题易出现（n-2011）0=0、这样的错误.1.（2011甘肃兰州，21,7分） 已知a是锐角， 且sin（a+15）=.计算4cosa+tan的+值.【解题思路】将a+15看成一个角，考虑特殊角的三角函数值sin60 =, 求出a=45,代入式子即可.【答案】Tsin60=,.a+15 =6,二a=45二4cosa+tana+=4cos45 1+tan45 +3二411 + 1+3=3.【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、零指

14、数幂的乘方、负指数 幂的乘方等知识点.这三个知识点也是最容易出错的地方，计算时只要 注意即可.难度较小.2.（2011广东河源，11，6分） 计算：【解题思路】分别求出每个式子的值,再分别加减.，一个负数的允绝对 值是这个数相反数，。【答案】原式=3+1-3-=1-=-【点评】此题综合考查绝对值、二次根式、三角函数、零指数幂及负 整数指数幂的运算，是一道综合多个简单知识点的常规计算题，计算 时要认真仔细，难度中等3.（2011江苏镇江，18（1），4分）计算：sin45；【解题思路】（1）将sin45和进行转化，然后再加减.【答案】解：（1）原式=+2=2.【点评】本小题考查实数的运算，难度较

15、小.22.（2011四川眉山，22，8分）在一次数学课外活动中，一位同学在教学楼的点A处观察旗杆BC,测得旗杆顶部B的仰角为30测得旗 杆底部C的俯角为60已知点A距地面的高AD为15cm.求旗杆的 高度【解题思路】过A作AE丄BC,构造两个直角三角形，然后利用解直角 三角形的知识解答【答案】过A作AE丄BC,垂足为E,由题意可知，四边形ADCE为矩 形， EC=AD=15在RtAAEC中，tan/EAC=AE=（米）,在RtAAEB中,tan/BAE=BE二AE?taMEAB=?tan30 =（米），BC=CE+BE=20米）.故旗杆高度为20米【点评】此题考查了解直角三角形的知识，作出辅助

16、线，构造直角三 角形是解题的关键难度中等（2011江苏南京，7分）如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的 高度，他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量， 在点C处塔 顶B的仰角为45在点E处测得B的仰角为37 （B、D、E三点在一 条直线上）.求电视塔的高度h.（参考数据：sin370,.6Cos37 0.80an370）75【解题思路】本题主要考查了利用三角形函数求三角形的边长，因为在点C处塔顶B的仰角为45所以可以知道ABC为等腰直角三角形，所以AB二AC这样就可以借助直角ABE求出电视塔的高度了【答案】在中，=.二EC=-().在中，/BCA= 45A在中，=.二.二(). 答：

17、电视塔高度约为120.点评：本题利用测电视塔的知识来考查三角形函数的知识，鲜活的背 景，丰富了试题的载体难度中等。4.(2011甘肃兰州，26，9分)通过学习三角函数，我们知道在直角三 角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长 与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角 之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对 (sad)， 如图，在ABC中，AB=AC顶角A的正对记作sadA,这时sadA二底边/腰=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定 的.根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60=.(2) 对于0Av18

18、0 /A的正对值sadA的取值范围是.(3) 如图，已知si nA二，其中/A为锐角，试求sadA的值.【解题思路】(1)根据等腰三角形的性质，求出底角的的度数，判断 出三角形为等边三角形, 再根据正对的定义解答；(2)求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；(3)作出直角ABC,构造等腰三角 形ACD,根据正对的定义解答.【答案】（1）根据正对定义， 当顶角为60时，等腰三角形底角为60， 则三角形为等边三角形，则sad60=1.（2） 当/A接近0寸，sada接近0,当/A接近180时，等腰三角形 的底接近于腰的二倍，故sada接近2.于是sadA的取值范围是0vsadAv2.故答案为0vsadAv2.（3） 如图，在ABC中，/ACB=90,sin/ A二.在AB上取点D,使AD=AC作DH丄AC, H为垂足，令BC=3k AB=5k,则AD=AC=4k又在ADH中，/AHD=90,sin/A=.DH=ADsinZ A=k, AH=k.则在CDH中，CH=AC-AH=k CD=k于是在ACD中，AD=AC=4k CD=k.由正对的定义可得：sadA=.【点评】此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟