1502黄金分割专项练习30题有问题详解

1、实用文档黄金分割专项练习30题(有答案)1 .定义：如图1,点C在线段AB上,假设满足 AC=BC? AB,那么称点C为线段AB的黄金分割点.如图 2, ABC中,AB=AC=1 / A=36° , BD平分/ ABC交 AC于点 D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点;(2)求出线段AD的长.图工2 .如图,用长为 40cm的细铁丝围成一个矩形 ABCD(AB>AD).1c40cmAB(1)假设这个矩形的面积等于 99cm2,求AB的长度；(2)这个矩形的面积可能等于 101cm2吗？假设能,求出 AB的长度,假设不能,说明理由；(3)假设这个矩形为黄金矩形(AD与AB之

2、比等于黄金比 X ),求该矩形的面积.(结果保存根号)3 .定义：如图1,点C在线段AB上,假设满足 AC=BC? AB,那么称点C为线段AB的黄金分割点.如图 2, ABC中,AB=AC=2 / A=36° , BD平分/ ABC交 AC于点 D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长.实用文档4 .作一个等腰三角形,使得腰与底之比为黄金比.(1)尺规作图并保存作图痕迹；(2)写出你的作法；(3)证实：腰与底之比为黄金比.5 . (1)线段AB的长为2, P是AB的黄金分割点,求 AP的长;(2)求作线段AB的黄金分割点 巳要求尺规作图,且使 AP>

3、PB.A*86 .如图,线段AB的长度为1.(1)线段AB上的点C满足系式AC2=BC? AB,求线段AC的长度；(选做)(2)线段AC上的点D满足关系式AD=CD? AC求线段AD的长度;(选做)(3)线段AD上的点E满足关系式A三DE? AD求线段AE的长度;上面各题的结果反映了什么规律？(提示：在每一小题中设x和1) AE DCB7 .如图,在 ABC中,AB=AC /A=36° , / 1=/2,请问点D是不是线段 AC的黄金分割点.请说明理由.实用文档8 .在 ABC中,AB=AC=2 BC=高T , Z A=36° , BD平分/ ABG交于 AC于D.试说明点

4、 D是线段AC的黄金分割 点.9.在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形,如在矩形ABCD,当 研二时,称矩形 ABCD2为黄金矩形ABCD请你证实黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.10 .如图,设 AB是线段,在AB上作正方形 ABCD取AD的中点E,连接EB;延长DA至F,使EF=EB以线段AF为边作正方形 AFGH那么点H是AB的黄金分割点.为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点,你能说出其中的道理吗？请试一试,说一说.11 .如图, ABC中,D是 AC边上一点,/ A=36° , / C=72° , / ADB=108 .求证:

5、(1) AD=BD=BC(2)点D是线段AC的黄金分割点.实用文档12 .AB=2,点C是AB的黄金分割线,点 D在AB上,且 A庆BD? AR求色的值.AC13 .如果一个矩形 ABCRAB< BQ中,逼小一上0.618 ,那么这个矩形称为黄金矩形,黄金矩形给人以美感. 在BC 2黄金矢I形ABCg作正方形CDEF得到一个小矩形 ABFE(如图),请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论 的正确性.14 .五角星是我们常见的图形,如下图,其中,点C, D分别是线段AB的黄金分割点,AB=20cm求EC+C曲长.E15 .人的肚脐是人的身高的黄金分割点,一般来讲,当肚脐到脚底的长度

6、与身高的比为0.618时,是比拟好看的黄金身段.一个身高1.70m的人,他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段(保存两位小数)？16 .如下图,以长为 2的定线段AB为边作正方形 ABCD取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点 F,使 PF=PD以AF为边作正方形 AMEF点M在AD上.(1)求AM DM的长；(2)点M是AD的黄金分割点吗？为什么？实用文档17 .如图,点P是线段AB的黄金分割点,且 AP> BP,设以AP为边长的正方形面积为 Si,以PB为宽和以AB为长的 矩形面积为S2,试比拟Si与&的大小.V1B18 .如图,在平行四边形 ABCD43, E为边

7、AD延长线上的一点,且 D为AE的黄金分割点,即 止愿;%, BE交DC于点F,ABr/+1,求CF的长.19 .图1是一张宽与长之比为 娓- 1的矩形纸片,我们称这样的矩形为黄金矩形.同学们都知道按图2所示的2折叠方法进行折叠,折叠后再展开,可以得到一个正方形 ABEF和一个矩形EFDC那么EFDR个矩形还是黄金矩形 吗？假设是,请根据图 2证实你的结论；假设不是,请说明理由.20 .如图1,点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP,如果上空,那么称点P为线段AB的黄BP AB金分割点,设 H=1|=k,那么k就是黄金比,并且 .618 .实用文档1以图1中的AP为底,BP为腰得

8、到等腰 APB如图2,等腰 APB即为黄金三角形,黄金三角形的定义为：满足庭一睦_= 0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地,请你给出黄金矩形的定义：；腰-底+腰2如图1,设AB=1,请你说明为什么 k约为0.618 ;3由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线,类似地给出“黄金分割线的定义：直线 l将一个面积为S SS的图形分成面积为 S和面积为S2的两局部设S1VS2,如果二二,那么称直线l为该图形的黄金分割线.如 s2 S图3,点P是线段AB的黄金分割点,那么直线 CP是 ABC的黄金分割线吗？请说明理由；4图3中的 ABC的黄金分割线有几条？21 .在人体躯干脚底到肚脐的长度与身

9、高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,即比例越接近0.618 ,越给人以美感.张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60,她的身高为1.60m,她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？精确到十分位22 .线段AB,根据如下的方法作图： 以AB为边作正方形 ABCD取AD的中点E,连接EB,延长DA到F,使EF=EB 以线段AF为边,作正方形 AFGH那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由.G23 .如图,用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD先折出BC的中点E,再折出线段 AE,然后通过折叠使EB落到线段EA上,折出点B的新位置B',因而EB' =EB类似地,在 A

10、B上折出点B使AB" =AB'.这时B就 是AB的黄金分割点.请你证实这个结论.实用文档24 .如图,用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片 ABCD先折出BC的中点E,再折出线段 AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上,折出点B的新位置F,因而EF=EB类似白1在 AB上折出点M使AM=AF那么M是AB 的黄金分割点吗？假设是请你证实,假设不是请说明理由.25 .如图,在 ABC中,点 D在边 AB上,且 DB=DC=AC/ ACE=108 , BC=2.1求/ B的度数；2我们把有一个内角等于 36.的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比 或者底边长与腰

11、长的比等于黄金比返二2写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由； 求AD的长；在直线AB或BC上是否存在点P 点A、B除外,使 PDB黄金三角形？假设存在,在备用图中画出点P,简要说明画出点P的方法不要求证实；假设不存在,说明理由.A26 .宽与长的比是的矩形叫黄金矩形.心理测试说明：黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳如下如下图：第一步：作一个正方形 ABCD第二步：分别取 AD BC的中点M, N,连接MN第三步：以N为圆心,ND长为半径画弧,交 BC的延长线于E;第四步：过E作EF±AD,交AD的延长线于F.请你根

12、据以上作法,证实矩形 DCE咙黄金矩形.实用文档27 .在 ABC中,AB=AC Z A=36° ,把像这样的三角形叫做黄金三角形.1请你设计三种不同的分法,将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形,使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形画图工具不限,要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数,不要求写画法,不要 求证实.分别画在图 1 ,图2,图3中注：两种分法只要有一条分割线段位置不同,就认为是两种不同的分法.'C图12如图4中,BF平分/ ABC交AC于F,取AB的中点E,连接EF并延长交BC的延长线于 M试判断CM AB 之间的数量关系？只需说明结果,不

13、用证实.答：CM与AB之间的数量关系是28.折纸与证实 用纸折出黄金分割点: 第一步：如图1,先将一张正方形纸片 第二步：如图2,将AB边折到BF上,ABCD寸折,得到折痕EF;再折出矩形BCFE勺对角线BF.得到折痕BG试说明点G为线段AD的黄金分割点AG GDADDA29.三角形中,顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形,如图 1,在 ABC中,：AB=AC且/ A=36° .(1)(2)(3)在图1中,用尺规作 AB的垂直平分线交 AC于D,并连接BD 保存作图痕迹,不写作法 BC皿不是黄金三角形？如果是,请给出证实；如果不是,请说明理由；设些二k,试求k的值；AC

14、实用文档(4)如图2,在 ABG中, AB产AQ,/ Ai=108° ,且AiB=AB,请直接写出 _区_的值.B向30.如图1,点C将线段AB分成两局部,如果星芈,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课AB-AC题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线,类似地给出“黄金分割线的定义：直线 l将一个面积为S的图形分成两局部,这两局部的面积分别为Si, S2,如果二二,那么称直线1为该图形的黄金分割线.s st(1)研究小组猜测：在 ABC中,假设点D为AB边上的黄金分割点(如图 2),那么直线CD是 ABC的黄金分割线.你 认为对吗？为什么？(2)请你说明：三角形的中线

15、是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交 AB于点E,再过点D作直线DF/ CE交AC于点F,连接EF (如图3),那么直线EF也是 ABC的黄金分割线.请你说明理由.(4)如图4,点E是平行四边形 ABCM边AB的黄金分割点,过点 E作EF/ AD交DC于点F,显然直线EF是平行 四边形ABCM黄金分割线.请你画一条平行四边形ABCM黄金分割线,使它不经过平行四边形ABC名边黄金分实用文档黄金分割专项练习30题参考答案：1. (1)证实：.AB=AC=1/ABC4 C1(180° /A) =1(180° 36° ) =

16、72° ,22BD平分/ ABC交AC于点D,/ ABD=/ CBD=/ ABC=36 ,2 ./ BDC=180 - 36° - 72° =72° ,DA=DB BD=BCAD=BD=B C易得 BD6 ABC； 2BC: AC=CD BC,即 BC=CD? ACAE2=CDP AC,.点D是线段AC的黄金分割点；(2)设 AD=x,贝U CD=AG AD=1- x, AE2=CDP AC,1 - x2=1 - x, 解得 X1= X2= 22即AD的长为运二!22 .解：(1)设 AB=xcm 贝U AD= (20 x) cm,根据题意得x (20-

17、x) =99,整理得 x2- 20x+99=0,解得 x1=9, x2=11,当 x=9 时,20-x=11 ;当 x=11 时,20-11=9,而 AB> AD所以x=11,即AB的长为11cm；(2)不能.理由如下：设 AB=xcm 贝U AD= (20 x) cm,根据题意得x (20-x) =101,整理得 x2- 20x+101=0,由于 =202 - 4X 101 = - 4<0,所以方程没有实数解,所以这个矩形的面积可能等于101cm2;(3)设 AB=xcm 贝U AD= (20x) cm,根据题意得20-x="x, _2解得x=10 (遥-1),贝U 2

18、0-x=10 (3-巡),所以矩形的面积=10 (泥1)? 10 (3泥)=(400遥 800) cmf.3 .解：(1)A=36° , AB=AC /ABC4 ACB=72 , BD平分/ ABC ./ CBD=/ ABD=36 , / BDC=72 ,AD=BD BC=BD . ABS BDC实用文档,以=,即迪=,AB BC AC ADAE)=AC? CD.点D是线段AC的黄金分割点.(2)二点D是线段AC的黄金分割点,- 1AD= AC2 AC=2.AD 幸-14.解：(1)腰与底之比为黄金比为黄金比方图,(2)作法：画线段 AB作为三角形底边；取AB的一半作 AB的垂线 A

19、C,连接BC 在BC上取CD=CA分另1J以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧,交点为 E;分别连接EA、EB,那么 ABE即是所求的三角形.(3)证实：设 AB=2 贝U AC=1, BC=/5, AE=BE=BD=BCCD4 - 1,AE.V5-1 -5.解：(1)由于P为线段AB=2的黄金分割点,贝U AP=2X 近L-后-1 ,2_或 AP=2-(掂-1) =3-戊；(2)如图,点P是线段AB的一个黄金分割点.6.解：1设 AC=k 那么 BC=A9 AC=1 x, AC2=BC? AB,x2=1 x 1 - x,整理得x2+x - 1=0,解得 x1=“, x2=一*-舍去,所以线段

20、AC的长度为实用文档(2)设线段AD的长度为x, AC=l, 2AD=CDP AC,x2=l x ( l - x), .xi=x2=1_匹(舍去),22线段AD的长度返二IaC;2(3)同理得到线段 ae的长度 返二Aad；2上面各题的结果反映：假设线段AB分成两条线段 AC和BC (AO BC),且使AC是AB和BC的比例中项(即AB: AC=ACBQ,那么C点为AB的黄金分割点7 .解：D是AC的黄金分割点.理由如下： .在 ABC中,AB=AC Z A=36° , /ABC4 ACB=£2_125_=72° .2 - Z 1 = / 2, / 1 = /2=

21、_/ABC=36 .2:BDC中,/ BDC=180 - / 2-/ C=72° ,/ c=z bdcbc=bd/ A=Z 1,ad=bc. ABC和 BDC中,/ 2=/A, / C=/C, . ABS BDC.义一区BD-CD,又 ab=ac ad=bc=bD, AC AD )AD CD2AD=AC? cd即D是AC的黄金分割点8 .证实：. AB=AC /A=36° , / ABC(180° - 36° ) =72° ,2BD平分/ ABC交于AC于D,/ DBC=X/ABC=ix72.=36° ,22/ A=Z DBC又/ c

22、=/c,. BC ABC.BC IDAB'BCab=ac实用文档. BC=CD AC BC AB=AC=2 BC=/5 - 1 , ,泥-1 2=2X 2-A» 解得AD# 一 1, AD AC=VS - 1 ： 2.点D是线段AC的黄金分割点.9.证实：在 AB上截取 AE=BC DF=BC连接EF. AE=BC DF=BCAE=DF=BC=A D又. / ADF=90 ,四边形AEF皿正方形.BE=. - 1 . ,BC 2.矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比,矩形BCFE是黄金矩形.,黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.D F C10 .解：设正方形 AB

23、CD勺边长为2, 在RtAEB中,依题意,得 AE=1, AB=2由勾股定理知 EB= .=.'=,='=二,AH=AF=EF AE=EB AE=V5- 1,HB=AB AH=3- 丁；aH"=而-1 2=6 - 2加,AB? HB=2X 3-y=6-2/5,.l. aH?=ab? HB,所以点H是线段AB的黄金分割点.11 .证实：1A=36° , / C=72° , ./ ABC=180 - 36° - 72° =72° . /ADB=108 , ./ ABD=180 - 36. - 108° =36实用

24、文档 . ADB是等腰三角形, . / BDC=180 - / ADC=180 - 108° =72 . BDC是等腰三角形,AD=BD=B C(2) / DBC= A=36° , / C=Z C, . ABS BDCBC: AC=CD BC,BC2=AC? DC BC=ADAE2=AC? DC.点D是线段AC的黄金分割点. 212 .解： D在 AB上,且 AD=BD? AB, .点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点,AC=AB,亏T, AD=AB-在-iAB=YAB=3-泥或 AD=/ T, AC=3 -/5, 222.CD=/5- 1 - (3-V5) =2

25、/5-4,.以呼1=3或 谑二|=近二,AC V5-12 AC 3-V5213 .解：矩形 ABFE是黄金矩形. AD=BC DE=AB.鲤旦工出二旦区7=q-1巫-1=遍+2=赤-1AB AB AB AB V5 -1222.矩形ABFE是黄金矩形.14 .解：: D为AB的黄金分割点AD>BD,AD=AB=10高-10,2 EC+CD=AC+CD=AD . EC+CD=10遥-10 cm.15 .解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段,根据题意得x： 1.70=0.618 ,即 x=1.70 X 0.618 =1.1 m.答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段.16

26、.解：1在RtAPD中,AP=1, AD=2由勾股定理知 PD=J版2+虻2=7?=赤,AM=AF=PF AP=PD- AP=Vs- 1,DM=AD AM=3-屈.故AM的长为旗-1, DM的长为3-加；2点M是AD的黄金分割点.由于鹭与1,AD 2.点M是AD的黄金分割点.实用文档17 .解：二点P是线段AB的黄金分割点,且 AP> BP, 2,AP=BPX AB, 2_又. SmAP, S=PBX AB,.Sl = S2.18 .解：二.四边形 ABC的平行四边形, ./ CBF=Z AEB, / BCF4 BAE . BCM EAB 些1,即迪卫,CF BA AE AB把 AD或一

27、%, aB=/+1 代入得, 爪-22 V5H解得：CF=2故答案为：2 .19.解：矩形EFDC是黄金矩形, 证实：:四边形 ABEF是正方形, AB=DC=AF迎,AD- 2二、/5- ,AD 2即点F是线段AD的黄金分割点.AF-AD" 2,LDC 2.矩形CDF比黄金矩形.20 .解：的矩形是黄金矩形;(1)满足上长宽+长(2)由二k 得,BP=1Xk=k,从而 AP=1-k, 卷由期得,bP"=APX AB,BP AB即 k2= (1 k) x 1,解得k=容四,k>0,Vs -1k=皿0.618 ;2(3)由于点P是线段AB的黄金分割点,所以 空典BP A

28、B设4ABC的AB上的高为h,那么实用文档Wc iAPXh AP iBPXh BP江m匚 lBPXh BP'江ABC /ABXh 研 .52XAPC _五帆ABPC AABC,直线CP是 ABC的黄金分割线.4由2知,在BC边上也存在这样的黄金分割点Q那么AQ也是黄金分割线,设 AQ与CP交于点W那么过点 W的直线均是 ABC的黄金分割线,故黄金分割线有无数条.21 .解：根据条件得下半身长是160X 0.6=96cm,设选择的高跟鞋的高度是 xcm,那么根据黄金分割的定义得: 96+k =0.618 ,160+x解得：x= 7.5cm.故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美

29、.22 .解：设正方形 ABC两边长为2a, 在RtMEB中,依题意,得 AE=a, AB=2a,由勾股定理知EB= =.a,AH=AF=EF AE=EB- AE=庭 T a,HB=A9 AH= 3 -收a；AH"= 6 - 2泥a2,AB? HB=2aX 3-企a= 6-2加a： ,aH=ab? HB,所以点H是线段AB的黄金分割点.23 .证实：设正方形 ABCDW边长为2,E为BC的中点,BE=1 AE= f.- ' - ：-1!-.=二,又 B' E=BE=1. .AB,=AE- B' E=/5- 1 ,.AN ：.！,一点B是线段AB的黄金分割点.D

30、CAB" B实用文档24.证实：正方形 ABCD勺边长为2, E为BC的中点, BE=1 -AE= '.： ' l.l/"二, EF=BE=1AF=AE- EF-而 -1 , . AM=AF浜-1, .AM AB=泥 T : 2, .点M是线段AB的黄金分割点.25.解：1 BD=DC=AC 那么 / B=Z DCB / CDA= A.设 / B=x,贝U/ DCB=x / CDA=A=2x. 又/ BOC=108 , .B+Z A=108° .-x+2x=108, x=36 ./ B=36° ;2有三个： BDC ADC BAC DB=

31、DC / B=36° , . DBC是黄金三角形,或: CD=CA / ACD=180 - / CDA- / A=36° . . CDA是黄金三角形.或 : / ACE=108 , ,/ACB=72 ,又/ A=2x=72° ,/ A=Z ACB BA=BC . BAC是黄金三角形. BAC是黄金三角形,生BC 2BC=2 AC= - 1. BA=BC=2 BD=AC=5 - 1 , .AD=BAt BD=2-遥 T =3-心存在,有三个符合条件的点R、P2、P3.i以CD为底边的黄金三角形：作 ii以CD为腰的黄金三角形：以点CD的垂直平分线分别交直线 AB B

32、C得到点P1、P2.C为圆心,CD为半径作弧与BC的交点为点P3.26.证实：在正方形 ABCD43,取AB=2qN为BC的中点,实用文档NC= BC=a2在Rte计,NDTg+cMT +之的.又 NE=ND,CE=NE NC=(Q于T) a.-：门 3 - .CD 2a - 2故矩形DCEF为黄金矩形.图1图2图3(2) CM=AB(4 分)28.证实：如图,连接 GF,设正方形ABCD勺边长为1,贝U DF=1.2在RtBCF中,BF»c2十仃2噂 那么 A F=BF- BA 岂! - 1.2设 AG=A G=x,贝U GD=1- x,在 RtAA? GF和 RtDGF中,有 A'F 2+A'G2=d'+dG, 即噂-1)2 + /= (1) 2+ (1-1)2, 解得x= 12即点G是AD的黄金分割点(AG> GD.29.解：(1)如下图;实