函数三要素复习讲义

1、1 .函数的三要素是什么？如何比拟两个函数是否相同?(定义域、对应法那么、值域)相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备)2 .求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数y = .X4-X2的定义域是igx-3(答：(0, 2p(2, 3)U(3, 4?函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数(或式)大于或等于零;指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零.、, ( 我 、正切函数 y = tan x x w R,且x 丰 kn +,k w Z i <2)余切函数y=cotx x R,且x=k二,k,2 )反三角函数的定义域函数y

2、= arcsinx的定义域是1,1,值域是 3 1 ,函数y=arccosx的定义域是1,1,值域是0,兀,函数y= arctgx的-二 3定义域是R ,值域是2,2 .,函数y = arcctgx的定义域是R ,值域是(0,冗).当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个 条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域.3.如何求复合函数的定义域?如：函数f(x)的定义域是 匕,bb b > -a >0,那么函数F(x) = f (x) + f (-x)的定义域是 o (答：b, - a )复合函数定义域的求法： y=f(x)的定义域为m,n,求丫=&

3、#163;?(乂) 的定义域,可由mEg(x)En解出x的范围,即为y = f b(x)的定义域.例 假设函数y = f(x)的定义域为JR,那么f(log2x)的定义域一 2为.分析：由函数y = f (x)的定义域为.g,2l可知：2 - x 2 ；所以1.八y = f (log? x)中有-<log 2 x < 2o1 一 一斛：依题思知：一 _ log 2 x £ 22 2解之,得.2 < x < 4:f (log2 x)的定义域为<x|五Wx"4、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比拟简单的函数,其值域可通过观察得到.一 1 例求函

4、数y=-的值域x2、配方法配方法是求二次函数值域最根本的方法之一.例、求函数y=x2-2x+5, xe-l , 2的值域.3、判别式法对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但 这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂a. yb. y型：直接用不等式性质k+x2bx1x一型,先化简,再用均值不等式 x mx n向 x 11例：y =2 = _ 1+xx+ 12xx2.x mx nc. y2型通常用判别式x mx nd. yx2 mx n 廿,型x n法一：用判别式法二：用换元法,把分母替换掉例：y =x2+x

5、+1(x+1)2 (x+1)+11=(x+1) +- 1 2 2 _ 1 = 14、反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确 定原函数的值域.例求函数丫="型值域. 5x 65、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确 定函数的值域.我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单 调性.e T 2sin 二-1 2sin 1-1例求函数y=,y =, y =的值域.e - 11 sin1 cos1ex -1xy = - e xe 12sin1-1 y 二1 sin 12sin 1-1 y =1 cosi1 y= |sin)|=|#t1,

6、2-y二 2sin 1-1 = y(1 cos?)2sin ? - ycos? -1 y4 + y2 sin(e +x) =1 + y,即sin(e +x)1 y4 y2又由sin( x) < 1知1 y,4 y2,1解不等式,求出y,就是要求的答案6、函数单调性法通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容例求函数 y=2、'+ log3 Vx-1 (2<x< 10)的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式 含有根式或三角函数公式模型.换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用.例求函数y=x+v,x -1

7、的值域.8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目假设运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目.例：点P (x.y )在圆x2+y2=1上,(1)人的取值范围(2)y-2 x的取值范围解：(1)令一y-=k,那么y = k(x+2),是一条过(-2,0)的直线. x -2d M R(d为圆心到直线的距离,R为半径)(2)令y-2x=b,即y 2x b = 0,也是直线 d d < R22例求函数y=J(x-2) +J(x+8)的值域.解：原函数可化简得：y= I x-2 I + I x+8 IB . 一一-80 2上式可以看成数

8、轴上点 P (x)到定点A (2), B (-8)间的距离之和 由上图可知：当点P在线段AB上时,y= I x-2 I + I x+8 I = I ABI =10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,y= I x-2 I + I x+8 I > I ABI =10故所求函数的值域为：10 , +00)例求函数y= *,2 -6x+13 +、：x2+4x+5的值域解：原函数可变形为：y= (x- 3)2 (0- 2)2 + (x 2)2 (0 1)2A(3,2)上式可看成x轴上的点P (x, 0)到两定点 A (3, 2) , B (-2 ,-1 )的距离之和,由图可知当点 P为线段与

9、x轴的交点时,22ymin = i ABI =V(3+ 2) +(2+ 1)=而,故所求函数的值域为. 43 , +00) 注：求两距离之和时,要将函数9、不等式法利用根本不等式 a+t>> 2ab , a+b+c>3 3 abc (a, b, c R*), 求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是 积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧.例:=x2(x 0) x211233 x x x应用公式 a+b+c> 3abc时,注意使 3者的乘积变成常数)=x(3-2x)(0<x<1.5)x (3-2x)x x+3-2x

10、35z) =1o应用公式abc < ()3时,应注意使 3者之和变成常数)10.倒数法有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番 境况f例求函数y=丝工的值域x 3x 2y 二x 3x 2 : 0时,11c C 1=.x 2 2= 0 二 y m 一x 221 x 2 1.0 . y _ 12多种方法综合运用总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特 征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和根本 不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法.5.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?切记：做题,特别是做大题时,定要

11、注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的总分值失 之交臂如：f( Jx +1 ) = ex +x,求 f(x).令1 = .x 1,那么t ,0x = t2 -1-t2 12 .f (t) = e t -1 . f (x) = e*,x2 - 1 x _ 06.反函数存在的条件是什么？ 对应函数求反函数的步骤掌握了吗？x _ 0的反函数x 二 0反解x;互换x、V；注明定义域1 x如：求函数f(x) =2-x2 x -1 x 1(答：f(x) =x x :： 0在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢 偷懒的人提供了大方便.请看这个例题：

12、2004.全国理函数y=Jx-1+1x之1的反函数是B A. y=x2 2x+2(x<1)B. y=x2 2x+2(x>1)C. y=x2 2x ( x<1)D, y=x2 2x(x>1)当然,心情好的同学,可以自己慢慢的计算,我想,一番心血之后,如果不出现计算问题的话,答案还是可以做出来的.可惜,这个不合我 胃口,由于我一向懒散惯了,不习惯计算.下面请看一下我的思路：原函数定义域为x > =1,那反函数值域也为y>=1.排除选项C,D.现在 看值域.原函数至于为y>=1,那么反函数定义域为x>=1,答案为B.我题目已经做完了,好似没有动笔除非你拿来写*书.思路能不能明白呢？7,反函数的性质有哪些？反函数性质：1、 反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的x对应原函数中的V)2、 反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的V对应原函数中的x)3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y )和点(y, x)关于直线y=x对称互为反函数的图象关于直