概率论与数理统计多维随机变量及其分布

1、第三章多维随机变量及其分布在实际应用中,有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.例如,研究某地区学龄前儿童的发育情况时,就要同时抽查儿童的身高 H、体重W ,这里,H和W是定义在同一个样本空间 S=e =某地区的全部学龄前儿童 上的两个随机变量.又如,考 察某次射击中弹着点的位置时,就要同时考察弹着点的横坐标X和纵坐标Y.在这种情况下,我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律,而且还要研究它们之间的统计相依关系,因而还需考察它们的联合取值的统计规律,即多为随机变量的分布.由于从二维推广到多维一般无实质性的困难,故我们重点讨论二维随机变量 .第一节多维随机变量的分布内容分布图示二维

2、随机变量 二维随机变量的分布函数例1二维离散型随机变量及其概率分布例2例3例4例5例6二维连续型随机变量及其概率密度例7二维均匀分布二维正态分布内容小结习题3-1例9例8例10例11课堂练习返回内容要点：一、 二维随机变量定义1设随机试验的样本空间为 S=e, eWS为样本点,而X =Xe,丫 二丫e是定义在S上的两个随机变量,称X,Y为定义在S上的二维随机变量 或二维随机向量、 二维随机变量的分布函数定义2设X,Y是二维随机变量,对任意实数x,y,二元函数c记为F(x, y) =P(X x) P(Y y) PX x,Y y称为二维随机变量X ,Y的分布函数 或称为随机变量 X和Y的联合分布函

3、数 联合分布函数的性质：(1) 0 <Fx,y <1,且对任意固定的y, F -二,y=0,对任意固定的x,Fx,-二=0,F二,二=0,F.二,.二二1;(2) F(x,y)关于x和y均为单调非减函数,即对任意固定的 y,当 x2 Ax1, F(x2, y) 2 F (x1, y),对任意固定的 x,当 y2 y1, F(x, y2) uF(x, y1 )；(3) F(x,y)关于 x和 y 均为右连续,即 F (x, y) = F (x+0, y), F(x, y) = F(x, y+0).三、二维离散型随机变量及其概率分布定义3假设二维随机变量(X,Y)只取有限个或可数个值,

4、那么称(X,Y)为二维离散型随机 变量.结论：(X,Y)为二维离散型随机变量当且仅当X,丫均为离散型随机变量.假设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能的取值为(xi,yj) i, j =1,2,那么称PX =x/ =y =pj (i,j =1,2,)为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布(分布律),或X与Y的联合概率分布(分布律).与一维情形类似,有时也将联合概率分布用表格形式来表示,并称为联合概率分布表：注：对离散型随机变量而言,联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观,而且能够更加方便地确定(X,Y)取值于任何区域 D上的概率,即P(X,Y) D = '、 Pj ,(xi ,yj

5、)D特别地,由联合概率分布可以确定联合分布函数：F(x,y) =PX Mx,Y My = 、Pj.xi _x,yj _y四、二维连续型随机变量及其概率密度定义 设(X,Y)为二维随机变量,F(x,y)为其分布函数,假设存在一个非负可积的二元函数f(x, y),使对任意实数(x, y),有x yF (x, y) = f (s,t)dsdt,*0 l*-0那么称(X,Y)为二维连续型随机变量,并称f(x, y)为(X,Y)的概率密度(密度函数),或X,Y 的联合概率密度(联合密度函数).概率密度函数f (x, y)的性质：(1)f (x,y) _0;(2) !： , j f (x,y)dxdy =

6、F(二,二)=1;(3)设D是xOy平面上的区域,点(X ,Y)落入D内的概率为P( x, y) D ： f (x, y)dxdy特别地,边缘分布函数Fx(x) =PX _x =PX _x,Y :二二上式说明：X是连续型随机变量,且其密度函数为0fx (x) = "f (x, y)dy,同理,丫是连续型随机变量,且其密度函数为：fY(y)=肯 f(x,y)dx,分别称fX(x)和fY(y)为(X,Y)关于X和Y的边缘密度函数.(4)假设 f (x, y)在点(x,y)连续,那么有 ° F (x,y) =f(x, y).:犬二y进一步,根据偏导数的定义,可推得：当取dy很小时

7、,有Fx ： X _x,：x,y ：Y _y,y ： f (x, y) -x.y,即,(X,Y)落在区间(x,x+ix x(y, y+&上的概率近似等于 f(x,y)Axiy.五、二维均匀分布设G是平面上的有界区域,其面积为A.假设二维随机变量(X,Y)具有概率密度函数尸 1f (x, y)=A0,那么称(X ,Y)在G上服从均匀分布.(x,y) G其它六、二维正态分布f(x, y)=12-.二2 1 - P2假设二维随机变量(X,Y)具有概率密度其中 七%.1,.2, P均为常数,且.1 >0,.2 >0,| P|<1 ,那么称(X,Y)服从参数为 巴,.122,

8、的二维正态分布.注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布,且都不依赖于参数P,亦即对给定的 山,h2,.1,.2,不同的P对应不同的二维正态分布,但它们的边缘分布都是相同的,因此仅由关于X和关于Y的边缘分布,一般来说是不能确定二维随机变量(X,Y)的联合分布的.例题选讲：二维随机变量的分布函数例1 (讲义例1)设二维随机变量(x, y)的分布函数为/ x y、F(x,y)=AB arctan- C arctan ,-二：x：二,2 .3 试确定常数 A,B,C.2求事件2 <X <,0 <Y <3的概率.二维离散型随机变量及其概率分布例2 讲义例2设随机变量X

9、在1,2, 3, 4四个整数中等可能地取一个值,另一个随机变量Y在1X中等可能地取一整数值,试求例3 讲义例3把一枚均匀硬币抛掷三次 正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 缘分布.例4设二维随机变量的联合概率分布为x, y的分布律.,设X为三次抛掷中正面出现的次数,而丫为,求X,Y的概率分布及X,Y关于X,Y的边-201-10.30.10.110.050.2020.200.05求 PX <1,Y 之0及 F(0,0).二维连续型随机变量及其概率密度例5 讲义例4 X,Y的概率分布由表 3 1B给出,求PX =0,Y =0, PX <0,Y < 0PXY =0, PX 二Y,

10、 P| X Ry |.表3 1B-10200.10.2010.20.050.120.1500.1例6 一整数N等可能地在1,2,3,10十值中取一个值.设D = DN是能整除N的 正整数的个数,F =FN是能整除N的素数的个数注意 1不是素数.试写出D和F 的联合分布律.并求分布律.例7讲义例5设二维随机变量X,Y具有概率密度f (x, y)=22x 力)0,x 0, y0,其它.1求分布函数F x, y;(2)求概率 PY MX.例8 讲义例6设X, Y的概率密度是f(x,y)cy(2 -x), 0 MxM1,0 My Mx0, 其它求1 c的值；2两个边缘密度二维均匀分布例9设随机变量X和

11、Y具有联合概率密度f (x,y) =«6,0,2x < y < x其它求边缘概率密度fx(x), fY(y).例10 (讲义例7)设(X,Y)服从单位圆域x2+y2 <1上的均匀分布,求X和丫的边缘概率密度.二维正态分布例11 (讲义例8)设二维随机变量(X,Y)的概率密度1 - (x2 y2)f (x, y)=e 2(1 sin xsin y)2 二试求关于X,Y的边缘概率密度函数.课堂练习1 .将两封信随意地投入 3个邮筒,设X , Y分别表示投入第1, 2号邮筒中彳t的数目,求 X和Y的联合概率分布及边缘概率分布.2 .设向量(X,Y)的密度函数f(x,y)的

12、密度函数为f (x,y) =«kxy, 0 _ x _1, 0 _ y _10,其它求(1)参数k的值；(2) (X,Y)的边缘密度.第二节条件分布与随机变量的独立性内容分布图示 条件分布的概念例1 随机变量的独立性 离散型随机变量的条件分布与独立性例2例3例4连续型随机变量的条件分布与独立性例5例6例7例8例9例10例11内容小结课堂练习习题3-2返回内容要点：一、 条件分布的概念设X是一个随机变量,其分布函数为Fx(x) =PX Mx, 一二：二 x ：二二,假设另外有一事件A已经发生,并且A的发生可能会对事件X Ex发生的概率产生影响,那么对任一给定的实数 x,记F(x| A)

13、 =PX 三 x| A, -o - x :二二,并称F(x| A)为在A发生的条件下,X的条件分布函数.二、随机变量的独立性设A是随机变量Y所生成的事件：A =Y < y,且PYEy0,那么有F(x|Y <y)=PX _x,Y _yPY<yF (x, y)FY(y)般地,由于随机变量X,丫之间存在相互联系因而一个随机变量的取值可能会影响另一个随机变量的取值统计规律性.在何种,f#况下,随机变量X,Y之间没有上述影响,而具有所谓的“独立性,我们引入如下定义定义 设随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为FX(x),FY(y),假设对任意实数x, y,有PX

14、 <x,Y < y二PX < x PY 三 y,F(x,y) =FX(x)Fy(y),那么称随机变量X和Y相互独立.关于随机变量的独立性,有以下两个定理.定理1随机变量X与丫相互独立的充要条件是 X所生成的任何事件与 丫生成的任何 事件独立,即,对任意实数集 A,B,有PX A,Y B =PX APY B,定理2如果随机变量X与Y相互独立,那么对任意函数gi(x), g2(y)均有 g(X),g2(Y)相互独立.三、离散型随机变量的条件分布与独立性设(X,Y)是二维离散型随机变量,其概率分布为PX =x,Y =y =pi, j =1,2,那么由条件概率公式,当PY =yj &

15、gt;0 ,有PX =X|Y =yj=PX =gY ='PY =yjPiL,i =1,2,Pj称其为在Y=yj条件下随机变量 X的条件概率分布.对离散型随机变量(X,Y),其独立性的定义等价于假设对(X,Y)的所有可能取值(xi,Xj),有PX =为,丫 =y =PX =x“P丫=yj即Pij = Pi Pi,j =1,2,那么称X和Y相互独立.四、连续型随机变量的条件密度与独立性定义 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),边缘概率密度为fX (x), fY (y),那么对一切使fX (x) a0的x ,定义在X =x的条件下Y的条件概率密度为fYiX(y|x) J,

16、：?.fX (x)类似地,对一切使fY(y)O的y ,定义在Y=y的条件下X的条件密度函数为fXY(x| y)=f(x, y)fY(y)注：关于定义表达式内涵的解释.以fXY(x| y)=f(x, y)fY(y)为例.在上式左边乘以dx,右边乘以(dxdy)/dy即得fX|Y(x| y)dx =f (x, y)dxdyfy(y)dyPx _ X ： x dx, y _Y _ y dyP y _Y _ y dy=Px _ X _ x dx | y -Y : y dy.换句t说,对很小的dx和dy, fX丫(x | y)dx表示Y取值于y和y+dy之间的条件下X取值于x和x+dx之间的条件概率.对

17、二维连续型随机变量(X,Y),其独立性的定义等价于 假设对任意的x, y,有f (x,y) = fX (x)fy(y)几乎处处成立,那么称X,Y相互独立.注：这里“几乎处处成立的含义是：在平面上除去面积为 O的集合外,处处成立.例题选讲：条件分布的概念1例1 (讲义例1)设X服从0,1上的均匀分布,求在X >-的条件下X的条件分布2函数.随机变量的独立性例2 (讲义例2)设X与Y的联合概率分布为X-10200.10.2010.30.050.120.1500.11求丫=0时,X的条件概率分布以及X=0时,Y的条件概率分布；2判断X与Y是否相互独立？例3讲义例3设随机变量X与丫相互独立,下表

18、列出了二维随机变量X,Y联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的局部数值,试将其余数值填入表中的空白处.、Xy1y2y3PX=xj = Rx11/8x21/8P y = y j = p j1/61例4 讲义例4 一射手进行射击,击中目标的概率为p,0<p <1,射击进行到击中目标两次为止.以X表示首次击中目标所进行射击次数,以Y表示总共进行的射击次数.试求X和Y的联合分布及条件分布.连续型随机变量的条件密度与独立性例5 讲义例5设X ,Y的概率密度为f (x, y)=<-(x y) xe0,其它问X和Y是否独立？例6设X,Y服从单位圆上的均匀分布,概率密度为f (x,y)

19、= «1/ 二,0,x2 y2 <1,其它.求 fY|X(ylx).例 7 讲义例 7设X,Y N4,玲;仃；,.；P,1求 fX|Yx|y和 fY|Xy|x.2证实X与Y相互独立的充要条件是P = 0 .例8 讲义例6甲乙两人约定中午 12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在 12:15 到12:45之间是均匀分布.乙独立地到达,而且到达时间在 12:00至IJ 13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率.又甲先到的概率是多少 ？例9 设数X在区间0,1均匀分布,当观察到X =x0<x<1时,数Y在区间x,1上等可能随机地取值

20、.求Y的概率密度.例10设店主在每日开门营业时,放在柜台上的货物量为Y,当日销售量为 X假定一天中不再上柜台上补充货物,于是 X <Y.根据历史资料,X,Y的概率密度函数为f(x, y)=1/200,0,当0 £x wy, 0 wy 三20时, 其它.即(X,Y)服从直角三角形区域 OAB上的均匀分布,见图32A.求(1)给定Y = y条件下,X的条件分布.(2)假定某日开门时,Y =10件,求这天顾客买走X <5件的率.如果丫 = 20件呢？ 例11 (讲义例8)设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x, y)=0,0 :二 x :二 y;其它.(1)求X与Y的边际概率密

21、度,并判断X与Y是否相互独立；(2)求在Y=y的条件下,X的条件概率密度；(3)求概率 PX +2Y E1, Pfc <X <1/2 |Y <1 P权至2|Y=4.课堂练习1 .设(X,Y)的分布律如下问口, P为何值时,X与Y相互独立.XY12311/61/91/1821/3aB2 .设(X,Y)的概率密度是e"/ye-y,0 =：: x ；： ： , 0 :二 y ：二 二f(x,y)= y¥0, 其它求 PX 1|Y=y.3.设 f (x,y)=Zxy, 0,0 _x _1,0 _ y _1其它试判断X与Y是否相互独立第三节 多维随机变量函数的分布在

22、实际应用中,有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数.例如,考虑全国年龄在40岁以上的人群,用X和Y分别表示一个人的年龄和体重, Z表示这个人的血压, 并且Z与X, Y的函数关系式z =g(X,Y), 现希望通过(X,Y)的分布来确定 Z的分布.此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函 数的分布问题.在本节中,我们重点讨论两种特殊的函数关系：(i) Z =X Y;(ii) Z =max X,YZ =min X,Y,其中 X 与 Y相互独立.n个随机变量函数的分布问题注：应指出的是,将两个随机变量函数的分布问题推广到 只是表述和计算的繁杂程度的提升,并没有本质性的差异内容分布图示引言离散型

23、随机向量的函数的分布例1例2例3 连续型随机向量的函数的分布例4 连续型随机向量函数的联合概率密度例5 和的分布例6例7 正态随机变量的线性组合例8例9例10 商的分布例11积的分布例12 最大、最小分布例13例14课堂练习 内容小结习题3-3内容要点：1、 离散型随机变量的函数的分布设(X,Y)是二维离散型随机变量,g(x,y)是一个二元函数,那么g(X ,Y)作为(X,Y)的函 数是一个随机变量,如果(X,Y)的概率分布为PX =为,丫 =y =Pj (i, j =1,2,)设Z =g(X,Y)的所有可能取值为 Zk,k=1,2,那么Z的概率分布为PZ =Zk =Pg(X,Y) =Zk=

24、PX =Xi,Y =yj, k =1,2；,g( Xi, yj) ik2、 连续型随机变量的函数的分布设(X,Y)是二维连续型随机向量,其概率密度函数为 f (x, y),令g(x,y)为一个二元函数,那么g(X,Y)是(X,Y)的函数.可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求Z = g(X ,Y)的分布.a)求分布函数Fz(z),Fz(z) =PZ <z =Pg(X,Y) <z =P(X,Y) Dz = f(x,y)dxdy.Dz其中,Dz =(x,y)|g(x,y)三 z.b)求其概率密度函数fz (z),对几乎所有的z,有fz(z) =Fz(z).定理1设(X1,X2)是具

25、有密度函数f(X,x2)的连续型随机向量(1)设yi =gi(x,X2), y2 =g2(Xi,X2)是R到自身的一一映射,即存在定义在该变换的值 域上的逆变换：Xi =n(yi,y2),X2 =卜2(%.2);(2)假设变换和它的逆都是连续的；:hi(3)假设偏导数 (i =i,2, j =i,2)存在且连续；(4)假设逆变换的雅可比行列式#J(yi,y2)=即J(yi,y2)对于在变换的值域中的(yi,y2)是不为0的.那么丫,丫2具有联合密度w(yi,y2) H J | f (hi(yi, y2),h2(yi,y2).定理2设X,丫相互独立,且X NdV.：),YN(N2,6). 那么Z

26、=X+Y仍然服从正态 分布,且.22Z N(丫:2,二2 ).更一般地,可以证实：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布 即有定理3假设Xi N(H,6)(i =i,2,n),且它们相互独立,那么对任意不全为零的常数ai, a2,an ,有n/ nn)X aiX i N X a产i, Z ai仃 i 卜idiV )3、 M =maX(X,Y)及 N =min( X,Y)的分布设随机变量X,Y相互独立,其分布函数分别为 Fx(x)和Fy(y),由于M =maX(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z,故有Fm(z) =PM _z =PX _z,Y _z= PX MzPY Ez =

27、Fx (z)Fy(z);类似地,可得N =min(X,Y)的分布函数Fn (z) =PN Mz =i PN z=iPX z,Y z= iPX z PY z =i -1-Fx(z)1-Fy(z)1.例题选讲:离散型随机变量的函数的分布例1 (讲义例1)设随机变量(X,Y)的概率分布如下表X-10120.20.150.10.320.100.10.05求二维随机变量的函数Z的分布：(1)Z=X+Y; (2)Z=XY.例2 (讲义例2)设X和Y相互独立,Xb(n1,p), Yb(n2,p), 求Z=X+Y的分布.例3 (讲义例3)假设X和Y相互独立,它们分别服从参数为九,九2的泊松分布,证实Z=X +

28、Y服从参数为 九十 7g的泊松分布.连续型随机变量的函数的分布例4 (讲义例4)设随机变量 X与Y相互独立,且同服从0,1上的均匀分布,试求 Z = X -Y |的分布函数与密度函数.例5 (讲义例5)设(Xi,Xz)的密度函数为 "“9).令Y =X1 X2, Y2 =Xi -X2试用f表示Yi和丫2的联合密度函数.和的分布：设X和丫的联合密度为f (x, y),求Z = X +Y的密度.卷积公式：当X和Y独立时,设(X,Y)关于X,丫的边缘密度分别为fx(x), fY(y),那么上述两式化为fZ(z) = ,fX (z -y)fy(y)dyfZ (z)JfX (x) fY(z -x)dx以上两个公式称为卷积公式.例6 (讲义例6)设X和Y是两个相互独立的随机变量.它们都服从N(0,1)分布,其概 率密度为fX(x) =-e*/2, g<x52二1 _y2/2一一fy(y)eT , 一二一二；,2：,求Z =X,Y的概率密度.当x .00比 其它.例7(讲义例7)设某种商品一周的需要量是一个随机变量,其概率密度函数为L -x xe f(x)=' 0,如果各周的需要量相互独立,求两周需要量的概率密度函数.例8 设X