化动为静动点问题的分析与探讨

1、化“动”为“静“转化”思想在动点的问题的应用探讨动点问题，能够有效地全面地考查初中学生“四基”的掌握情况与核 心素养的发展情况。从扎实的数学基础到灵活的数学思维和奔放的想象能 力，再到逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算等数学素养都有要求。 高要求自然带来高难度，无论对教师的教还是学生的学，学会解决动点问 题都需要下一番功夫。笔者在这方面作了比较多的尝试，获得了一些感悟， 写成拙文，期待获得广大同仁的指导。本文从分析具体的题目入手，探讨动点问题的基本结构；再从转化的思想出发，尝试探索一条相对简单易行的解题思路，令那些基本功较为扎 实但思维能力稍有欠缺的同学能迅速找到分析问题的抓手，从而看到解

2、决 问题的希望。对于转化思想，布鲁姆在教学目标分类学中描述得很清楚：数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”。通常是将未知问题转化为已知问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题 转化为数学问题等一一这就我们探讨的目的。整个探讨的过程我们分三个阶段来完成。首先，先观察一下近三年中山市中考的动点题目(为简洁起见，把题中一些与动点无关的小问题略掉了)：2015年第25题：如题25图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三 角板Rt ABC与 Rt ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B, D分 别在 AC的两旁，/ ABC：ZAD(=9O1CAD30°，AB=B

3、(=4cmi 点M N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别 在AD CB上沿A-D, C-B的方向运动，当N点运动到B点时，M N两 点同时停止运动，连结 MN求当M N点运动了 x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；(3)在 的条件下，取DC中点P,连结MPFCNP,设厶PMN的面积为y(cmf)，在整个运动过程中，/ VpP P M NS勺面积y存在最大值，请求出这个最大值.4M E2016年第25题：如图12, BD是正方形ABCD勺对角线，BC=2边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ连接PA QD并过点Q作QOL BD垂足为 Q 连接OA

4、OP.（2）请判断OA OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明;（3）在平移变换过 程中，设y=s OPB, BP=x （0< x< 2）,求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值.2017年第25题：如题25图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边 形ABCD是矩形，点A、C的坐标分别是A （0, 2）和C （ 2岛_，0），点D是 对角线AC上一动点（不与A、C重合），连结BD作、：，交x轴于点E， 以线段DE DB为邻边作矩形BDEF.（2）是否存在这样的点D,使得 DEC是等腰三角形?若存在，请求 出AD的长度；若不存在，请说明理由；求证：1子设AD=x矩形BDEF的面积

5、为y,求y关于x函数关系式（可利用的结论），并求出y的最小值。FF从题目看，不管设置的是什么背景图形，动点如何运动，题目大体上 都由三大部分构成：一、背景图形（波浪线部分）一一这部分的图形是不 动的，它的线段、角度、形状、面积等都不变的，是“静”的部分。二、 叠加在背景图形上的动点图形（红色下划线部分）一一这部分的图形是变 化的，一般都没有直观的图形可供参考，主要依靠学生的想象和分析能力 来呈现。三、动点在特殊点形成的特殊图形（着重点部分）一一这部分是 题目的求解，主要是求解当动点运动到某个特殊的位置时出现的特殊图形 或数值。从这三大部分可以提炼出题目的基本结构其实就是“三种图形” 设置背景图

6、形，在背景图形上叠加动点图形，动点在某个特殊的位置形成 特殊图形。三图形中，第一种“背景图形” 肯定是最简单的，难度基本相当于 学生熟练的基础性题目。因为它“静止”不变，其中的数量、位置等关系 等都比较明确，学生只需要从题目中即可找出。就算没给定，也只需要通 过简单的运算也能求出，主要是这部分的问题大多数学生都能解决，是为 解决整个问题所迈出的第一步。在第三种图形中，当动点处在某个特殊的 位置时，会形成某些“特殊”的图形或得到某个“特殊”的数值，此时便 可以利用满足特殊图形或数值的性质或定理来求解，从这一点出发，此时 可以把图形看成是“静止”的图形来处理一一这是以“静”制“动”。相对来说，第二

7、种“动点图形”就要复杂多了，因为动点的运动，所 以与它相关的各种数量一般都会发生变化，图形的形状大小等也在不停地 变化之中，更要命的是学生能直观看到图形变化往往只是有限的一两种情 形，其它的只能依靠想象了，这是整个分析过程中最难的地方。学生最头 痛的是千头万绪，不知从何下手；一会觉得这样做行得通，一会觉得那样 做最好，思维总在飘荡着无所凭借，学生此时最缺少的是一个可以发力的 抓手。要解决这个问题，就要想办法帮学生找到一个抓手，那这个抓手是 什么呢？学生最大的困难在于图形的变化导致形状或大小不确定，所以这个抓 手必须是一样不变的东西。事实上，在这个变化的图形中确实存在着一样 不变的东西一一数量的

8、表达式。当我们用同一个未知数把变化的各个数量 表示出来时，它们的形式是基本是不变的！也就是说，我们可以用一个不 变的数学表达式把图形中那些不断变化的数量在形式上固定下来，让它们 变成“静止”的。在上面的分析中，我们解决了一个很关键的问题：把图形的运动转化 为不变的数量形式，再利用特殊图形不变的性质来求解，从而达到了化 “动”为“静”的目的。F面以2017年的考题为例进行具体解法的探讨，然后总结出相对固定的步骤，使得学生在解题的时候有所依据VV首先从“静”入手，很容易找到题目设置的背景图形是一个矩形，图 中不变的量有：0A=BC=2 OC=AB=J3，利用勾股定理可得 AC=4利用三角函数可得/

9、ACO=30。然后化“动”为“静”，虽然点D在对角线AC上运动所得到的矩形BDEF 的大小形状都在变化，但与它相关的每条线段都可以用不变的数量形式来 表示：AD=x CD=AC-AD=4-x基础稍好的学生都会知道求线段的三种主要方法：勾股定理、相似和三角函数，所以想到过点 D作AB或0C的垂线段GH应该是自然而然的。这样容易求得dg宁，hd=oa-dg=|，BH=CG=3GD3（4 x）;作了垂线，找出 BHEA DGE也不是难事，由对应边成比例DEDBGE GDHD BHGEx2-4 x233得到DEDB.3 3（这是第第一小冋的答案），GE=x，这样就把比较容易表示36的线段都表示出来了，

10、一些较难的线段，如 DE CE DB等可以先不考虑, 这样更符合普通学生的实际情况。当然这些线段并一定都用得上，但从学 生的角度来看，一开始他们思考都有一定的盲目性，不一定能知道哪些有 用，哪些没用，所以应该把尽可能多都求出来，说不定能对下面的思考有定的启发作用最后以“静”制“动”，动点在特殊的位置形成了特殊的图形，特殊的图形就有特殊的性质，那么就可以利用特殊图形的性质判定或列方程求解：对于第，有DE=CE（图1）和DC=E（图2）两种情况，根据等腰三角形的判定定理，有“等边”或“等角”两种判定方法。因为 DE CE尚未 求出，可以考虑先从“等角”出发求解，图 1中，当/ ACONCDE=30

11、时， DCE是等腰三角形，容易得/ DBCM DCBM CDB=60，所以CD=CB=2得AD=2图2中，当/ CEDM CDE=15时， DCE是等腰三角形，得/ ADB=/ DCBM ABD=75，所以 AD=AB=3 ；对于第，第一小冋在表示变化的线段时已顺便解决了：DE3DB3，,.'3由此得DEDB根据矩形的面积公式可列方程：尸哙DB= DB2=£（DH2 BH2）=仝 x 3 2 3，当 x=3 时 y 有最小值、3 333综上所述，解法可归纳为三个步骤：确定“背景图形”一一从题目 中找出中不变的量。表示“动点图形”一一用未知数表示“动点图形” 中变化的量。求解“特殊图形”一一利用特殊图形的性质判定或列方程 求解。解决动点问题当然不能期望掌握了某一种解法后，就象获得了传说的 武林秘笈一样开挂成了武林高手，更需要老师平时的严格要求和学生的刻 苦学习。建议在平时的教学和学习中有意识加强以下几点：一是定理、定 义和概念等尽量熟记，虽然数学对学生的背诵记忆没有太多的要求，但该 记还是得记住。二是老师在平时的练习作业中尽量要求学生多画图，画尽 量准确的图，尤其是对于基础好的学生。画图对于煅炼学生想象能力、分 析能力和转化能力都有很大的好处，但在复印机“横行”的现在，题