定比分点的向量公式及应用

1、定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学(321307) 吴汝龙定比分点的向量公式：在平面上任取一点 O,设OR a，OP2 b，若pPPp2，则 OPa b。1 1 1 - 1 p 特别地，当 1时，即p为线段pp2的中点，则有 OP a -b。2 2用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。一、求定比 的值：例1：已知A( 2,1)，B( 3, 1)及直线I : y4x 5，直线AB与I相交于P点，求P11点分AB的比解：设P(x, y)，则由AP PB，得1 131(x,y)(2,1)(3, 1)(,)，1 1 1 1又 P点在直线I上，.1_4(13 )51

2、1 '* * 。3例2:如图所示，在ABC中，D为边BC上的点，且BD kDC，E为AD上的一点，且解:CFFA ,BF1-BCBA，11又DEl EA，.BE1-BDlba，k1 l1 l而BDkDCBC，1 kDE l EA，延长BE交AC于F,求F分有向线段CA所成的比-kl 一BEkBCBA，(1l)(1 k) 1 l/ B、E、F 共线，.设 BEtBF，而 tBFBCBAkl t t 一k BC BA BC -BA(1l)(1 k) 1 l 11标。1(1l)(1 k)，解得t l1 ri、求直线上点的坐标例3:已知点A( 1, 1), B(2,5),分析：先求岀C点分AB

3、的的值,解： ACACCB1(1 k)k点C为直线AB上一点，且 AC再利用定比分点的向量公式求岀点5BC，求C点的坐C的坐标。利用定比分点的坐标公式有1OC OA6 C点的坐标为5Ob 1(6 6 (1,4)。1, 1)536(2,5) $4)。 1 例 4：已知 A(2,3), B( 1,5)，且 AC 丄 AB , 3分析：由题设，运用定比分点的向量公式，可以求得点AD3AB，求点C, D的坐标。C, D的坐标。解：设 C(X1, yj , Dg y2),AC 1CB 2根据定比分点的向量公式有OCOA1OB,1- (X1,yJ1 (2,3)1 -212121,5)(2,3)11(1,5

4、)(1,石)3同理由AD 3AB得2ADDB根据定比分点的向量公式有OC1 2OB，1(X2, y2)3 (2,3)1 32321 32(1,5)2 (2,3) 3 ( 1,5)( 7,9)点C的坐标为(1,) , D点的坐标为(7,9)。3三、证明三点共线例 5：已知点 A(a,b c) , B(b,c a) , C(c,a b)，求证：a、b、c三点共线证明：设C/(c, y)在AB 上, C/分AB的比为 ，贝Uc a c，解得c ba b c c,yy a b1- C/(c, y)与 C(c,a b)重合，由题设知C在AB上, A、B、C三点共线。四、求字母系数范围例6：已知点A(3,

5、3)，B( 1,5)，一次函数y kx 1的图象与线段 AB有公共点，求实数k的取值范围。解：设P(x, y)为一次函数图象与线段AB的交点，把P看作AB的定比分点，其定比为则有 0，由定比分点公式有OPOA 1 1而P点在函数y kx 35k311解得3k2k4， 3k20,即kk 4而当P点与B重合时, 1-OB(3,3)11图象上，1，(1) (7-或 k 4，3k 4也适合例7：若直线yax 2与连接P( 2,1)，Q(3,2)两点的线段有公共点，求实数a的取值范围。3 4解：当直线过 p点时，a，直线过Q点时，a2 3当直线与线段 PQ的交点在P、Q之间时，设这个交点 M (x, y

6、)分PQ的比为111M点的坐标为(2 3,1 2 )11又直线过点 M,1 22 3a-2,112a 33a 4，又点M在线段PQ上知0,2a 3 门40,解得a或a3a 4343a或ao32由定比分点公式有五、解决平面几何问题:例8:如图所示，在平行四边形32，OM -OP 10Q (卸)厂(3,2)( 1APABCD中, P点在线段AB上，且PBm，Q在线段AD上,且jAQ n , bq与cp相交于R,求QDPR的值RC分析：取两基底，由定比分点的向量公式将有关向量用基底表示岀来，再求解 PRRC由题意有AP mPB,AQnQD ,111 -则BPPABAa ,mm 1m 11n1 -n

7、_BQ -BABDa(a1n1 n1 n1 n解：设 BA a，BC b，PRRC，b)BRBP -1BC1 -a -(1)(1 m) 1又B、R、Q三点共线，.存在实数t 使 BQ tBR，ta(1)(1 m)Lb(1)(1 m)1，且PR(1 m)(1 nO，即 RC (1 而nO。例9:设直角三角形 AOB斜边的三等分点为 D、E。求证|OD |2 |OE |2 |DE|2 |AB|2。分析：以O为原点，OA为x轴正向建立直角坐标系，设OA (a,0), OB (0,b)，用从而证明命题。证明：以直角顶点o为原点, 轴，y轴建立直角坐标系，如图设点 A(a,0)，点 B(0,b),D(x

8、, y)直角边OA OB所在直线为a， b表示相关线段的长度,12由定比分点的向量公式得一 2 1点d坐标为（_a,_b）33一 1 2同理点e坐标为（一a, b）,33得则D分AB的比为由两点间距离公式,|OD |24a24b29 |OD |2|OE |2 |DE |2而 a2 b22|ab| ,- |OD |2|OE |2 |DE|2,| DE |2自 AB|2。已知 ABC ,求证:CF相交于一点G,且朋更AD BE分析：几何问题应用向量来解决，例10：如图,b29b2)，ABC的三条中线AD BE、2。3CGCF关键是将有关线段设为向量,可以在平面内任取一点 O为向量的始点，将OA、OB、OC设岀证明：如图，在平面内任取一点O,设OA a , OB b ,OC又设Gi为AD上一点，且AG1 2G1D，则- D为 BC中点， OD -(b c),2O1 2 11二 OG1a(b c)