数列,通项定律方法,求前n项和例题讲解和方法归纳

1、* *数列的通项公式1 .通项公式如果数列 an的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达，叫做数列的通项公式。2 .数列的递推公式(1)如果已知数列 an的第一项，且任一项 an与它的前一项 an-1之间的关系可以用一个公式来表示。(2)递推公式是数列所特有的表示方法，它包含两部分，一是递推关系，二是初始条件，二者缺一不可3 .数列白前n项和与数列通项公式的关系数列an的前n项之和，叫做数列的前 n项和，用&表示，即&二a a? a3 anS1(n 1)Sn与通项an的关系是an=sn、1(n04 .求数列通项公式的常用方法有：(前6种常用，特别是 2,5,6)1

2、)、公式法，用等差数列或等比数列的定义求通项Gn 12)前n项和Sn与an的关系法， % c cc求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项Sn Sn 1 n 23)、累(叠)加法：形如an1anf(n)，an=(anan 1)(an 1an2)III(a2a1)a14) .累(叠)乘法：形如an 1 f(n)an a二匹皿曳也a1 an 1 an 2a2 a15) .待定系数法：形如a n 1=p a n +q (p司，pq w。)，(设a nI+k=p (an+k)构造新的等比数列)6)倒数法：形如anan 1kan 1 b(两边取倒，构造新数列,然后用待定系数法或是等差数列7） .对数变换法

3、：形如，an 1 c (an)plgan1plgan Igc (然后用待定系数法或是等差数列) .n a q a 18） .除哥构造法：形如an 1 qan d-n工 （然后用待定系数法或是等差数列）dn 1 d dn d9） .归纳一猜想一证明”法直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法 就是“归纳一猜想一证明”法.递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式 的变形转化为等差数列或等比数列 .下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法通项公式方法及典型例题1.前n项和Sn与an的关

4、系法例1、已知下列两数列an的前n项和sn的公式，求an的通项公式。(1)Sn=2n2 3n；(2) Snn2 1解：(1)a1 = S = 2 3 = 1,当 n >2 时，an=Sn-Sn 1 = (2n2-3n)-2( n-1) 累加法. an 1 an f (n)型an=( an an 1 ) (an 1 an 2)-3(n-1) = 4n-5,由于a1也适合此等式，an=4n 5.(D a1Si1 1 1,当 n2 时 an= SnSn1=(n33n 1) (n 1)32(n 1) 1 =3 n 3n经验证a12也满足上式3n由于a1不适合于此等式（点评：要先分n=1和n2 时

5、，anansn2nSn 1(n2(n 1)(n 2)21) (n 1)12n 12两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。a1) a1累加即可得(a2 ai)+ (a3a2)+ (an ani)2 1 2n 1=2+ 22 + 23+ 2nt,所以 an-ai=,1 -2即 ana1 = 2n 2,所以 an = 2n2 + a1 = 2n1.当 n = 1 时，a1 = 1 也符合,所以an=2n1(ne N*).3.累乘法anan 1 an f (n)型anan 1an 1an 2a3 a2 a1a2 a13.已知数列an中满足ai=1an 12n an,求an的通项公式.解：: an 1

6、n2anan 12n.anananan 1an 1 an 2an 3a34.待定系数法an 2 an 3n 1 一:an 1 =p aan 2n +qa2(p W1a2on 1a1= 2a1,pq w0)型,n(n 1)n 2 n 322-222 2*1= 2 .an(n 1)2=通过分解常数，可转化为特殊数列a n +k的形式求解。解法：设 an 1 +k=p (a n +k )与原式比较系数可得 pk k=q ,即k= q,从而得等比数列a n +k。p 14 .在数列an中，a1 = 3, an+1 = 2an+1.由 an+1 = 2an+1 得 an+ + 1= 2(an+1),令b

7、n=an+1,所以bn是以2为公比的等比数列.所以 bn= b1 2n 1= (a1+ 1) 2n-1 = 2n+1, 所以 an = bn-1 =2n + 1- 1(n N*).an 1an5 .倒数变换法、形如kan 1 b的分式关系的递推公式，分子只有一项(两边取倒，再分离常数化成an 1 pan q求解)然后用待定系数法或是等差数列2a.例5.已知数列an满足an 1 一,a1 1,求数列an的通项公式。an 2解：由an 12an1-,a1 1 得an 2an 11 _12 an1an 11an111是以首项为一1 ,公差为an 1anai1"的等差数列2an12(n 1)

8、,考点六、构造法.形如an 1 qandnan 1q兔ddn然后用待定系数法或是等差数列6、已知数列an满足a1 1,an 32an1(n2).求an.解：将an 3n 2an 1两边同除an3n12an 1an32 an 1c n 13 3bn设anbn,则ibnbn所以l(bn13)"n数列a183为首项,3为公差的等比数歹U.bn 3bn.因an3,所以ann 3n (bn3 =33)n 1 n 2得 an =32、数列通项公式的求法1、观察法求数列的通项公式观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分,再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写

9、出通项公式例、由数列的前几项写通项公式(1) 1, 3, 5, 7, 9 -(2) 9， 99, 999 , 9999 ,！,2 33, 4,45,2、定义法:当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差或公比。这种方法适应于已知数列类型的题目.例（1）已知an是一个等差数列，且a21,a55。求 an 的通项 an.(4)已知数列an为等比数歹U,已知等比数列ana2a26,a5162.求数列a0的通项公式;a3 13,a1a2a3 27,求数列 an的通项公式。数列an中，ai1,an 1an2,求an的通项公式已知数列an满足aian 11,，一

10、、1,求an的通项公式 an已知数列an中,ai1,且当n2 时 Sn1 Sn 20&1,则 Sn3、公式法：已知数列的前n项和公式，求通项公式的基本方法是:5 (n 1) anSn Sn 1 (n 2)注意：要先分n=1和n>2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。例(1)已知数列%的前n项和Sn n (2)已知数列 an中，Sn 3n n 2,则a0 n 1,求an的通项公式。(3)已知数列an前n项和Sn2n 3n ,求an的通项公式4 累加法：利用an ai (a? a1)(an an 1)求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如an 1 an f(n)的递推数列通项

11、公式的基本方法(f(n)可求前n项和).反思：用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为an 1 anf (n).n 1例.数列an中，a1 1,an 1 an 3 ，求%的通项公式(2)在数列 a出a 1中，a 2an1求数列an的通项公式?4n 15、累乘法：利用恒等式ana %aa1 a2，an an 10,n2)求通项公式的方法称为累乘法，累乘法是求型如：an 1g(n)an的递推数列通项公式的基本方法(数列g(n)可求前n项积).例(1)已知数列an的首项a11,且ann 1 an 1(n 2),求数列an的通项公式 nn2 2n 1 an ,求数列an的通项(2)已知数列an的首项

12、ai 1, n2 n an 16、 凑配法(也叫构造新数列)：将递推公式 an+1 qan d (q,d为常数，q 0, d 0)通过dd(an 1 x) q(an x)与原递推公式恒等变成 an 1 q(an )的方法叫凑配法(构造新数列.)q 1q 1例(1)数列an中，a1 2,an1 3an 2,求an的通项公式(2)已知数列an中，a11,an2an1 1(n2),求an的通项公式7、倒数变换：将递推数列an 1ca1d 11 (c 0,d0),取倒数变成的形式的方法叫倒an dan 1c an c数变换.例(1)在数列an 中，a1二，an 123an2an 1,求数列an的通项公

13、式?求前n项和的方法(1)公式法等差数列前n项和Sn =推导方法： ， q = 1 ,等比数列前n项和Sn=推导方法：乘公比，错位相减法.=, qwi.常见数列的前n项和：a. 1+2 + 3+n= b . 2 + 4 + 6+ + 2n =c. 1+3 + 5+ + (2n1) = d. 12 22 | n n -1 2n + 12 2n - 1 2n + 1 6 n(n 1)(2n 1)e 13 23 33 3 n3 吟2(2)分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可以分为几个等差或者等比数列或者常见的数列，即可以分别求和，然后再合并；(3)裂项(相消)

14、法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再 求和.常见的裂项公式有：*。-1=-_n n + 1 n n+ 11111I = Y n + 1 -.+ n + 1(4)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.这种方法主要用于求数列anh的前项和，其中 an和bn分别是 和（5）倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导.考点二、分组求和法：2.求数列1211，24，38，?，(n:）,?的前n项和。Sn138? ? (n(1n)1 (21尹)123?1)11 2n考点三、.裂项相消法3.1求数列 ，一 .一,122. 3的前n项和.

15、解：设an（裂项）则Sn1.22.3（裂项求和）=(，21) (、.3 、，2)(v n 1 M n) = M n 1 1考点四、错位相减法:4.求数列解:2 4 6 2n _=-,刖n项的和.2 22 232n2n由题可知, 的通项是等差数列212n的通项与等比数列1的通项之积 2n设Sn42"6232n2n222423624+咏2n2n2n 1（设制错位，乘以公比） X0001-得(12)Sn22212n 12232n2n 122422nSn考点五、倒序相加法：5. 求 sin21 sin2 2 sin2 3sin2 88sin2 89的值2n2n 1n 22n 1（错位相减）.

16、 、一 _22222解：设 S sin 1 sin 2 sin 3 sin 88 sin 89 将式右边反序得S sin289sin2 88 sin2 3 sin2 2sin21 .(反序)一 . 、,22,一 一 .一，一I 、又因为sin x cos(90x),sin x cos x 1+得(反序相加)222_2_2 _2 一2S (sin 1 cos 1 ) (sin 2 cos 2 ) (sin 89 cos 89 ) = 89S=44.5数列求和练习1、已知an是首项为19,公差为一2的等差数列，Sn为an的前n项和.求通项an及Sn ；(2)设bn an是首项为1,公差为3的等差数

17、列，求bn的通项公式及前n项和Tn.3、已知等差数列an中，a5+a9 a7=10,记Sn = a + a2+ an,则S13的值为()A.130B.260C.156D. 1684.在数列an中，an = 4na +a2+ + an = an2 + bn , n e N+ ,其中 a, b 为常数，贝U ab =2二、错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列 .2.设数列an的前n项和为Sn 2n2, bn为等比数列，且a1 b1,b2(a2 a1) Man(I)求数列an和bn的通

18、项公式；(n)设Cn ，求数列Cn的前n项和Tn.bn 22an例2 .已知数列an的首项ai - , an 1 - , n 1,2,3,. 3an 1(I)证明：数列工 1是等比数列；(n)数列2的前n项和anan2.设数列an的前n项和为Sn 2n2, bn为等比数列，且a1 ”力2信2 a1) 4.an(I)求数列an和bn的通项公式；(n)设Cn ，求数列Cn的前n项和Tn.bn三、分组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或 常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可2、已知数列an的通项公式为an n 3n,则它的前n项的和Sn ,1

19、 J J1、3：求数列12，24,38，?，(n 下工？的前n项和。四、裂项相消法求和例1 在数列an中，ann2,又bn ,求数列bn的刖n项的和.n 1an an 1 一 、Sn练习1、设数列an的前n项的和为Sn，点(n,)(nN*)均在函数y 3x 2的图像上n(1)求数列an的通项公式；(2)设bn 3一,Tn是数列bn的前n项的和，求 Tnanan 13、数列an的通项公式为an(nN*),则它的前10项的和S10 =1114 、 1 3 3 5(2n 1)(2n 1)一 一，一 1 一5 .已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn,a3 - S3 6.(I)求数列an的通项公式;

20、-1(II)求和：一 Si1S21Sn等差等比应用例1.在等差数列 an中，a3 a? 37,则a? a4 a6 a8练习1.设an为等差数列，公差 d = -2Sn为其前n项和.若S10Su ,则a二A.18B.20C.22D.242.已知各项均为正数的等比数列an, aa2a3=5 , a7a8a9=10 ,贝U a4a5a6=(A) 5、2(B) 7(C) 6(D) 4.23 .等差数列an的前n项和为且S3 =6 , a1=4 ,则公差d =4 .等差数列an的前n项和为Sn,若 ai=2, S3 = 12 ,贝U a6 =5 .数列an是等差数列,若 ai+ 1a3 + 3a5 +

21、5构成公比为q的等比数列，则6 .正项等比数列,1an中, a2a42a41181,则a3a57 .等比数列an的前n项和为Sn,已知S3a2 10al ,a5 9,则 a11(A)-31（C）98 .已知等差数列an的公差为3,若a1，a3,a4成等比数列,则a2等于（A. 9B. 3C.-39 .设等差数列an的前n项和为Sn,Sm12,Sm0,Sm13,则mA.3B.4C.5D.610 .已知数列 an为等差数列，且a2 a313,那么则a4a5a6等于（）(A) 40(B) 42(C)43(D) 4511.知数列an为等差数列，Sn是它白前n项和.若a1 2, S3 12,S4()A.

22、 10B. 16C. 20D. 24,、，一2412.在等比数列an中，首项a1 一，a41 2x dx,则公比3113 .若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和Sn =14 .等比数列an中a1512，公比 q ；,记na1a |an(即n表示数列an的前n项之积),n取最大值时n的值为()A. 8B. 9C. 9 或 10D. 11数列大题训练1、已知等差数列K 满足：a3 7, a5 ay 26, an的前n项和为Sn .,c八,1* 一 _(i)求an及Sn ； ( n)令bn=(n N),求数列 bn的刖n项和Tn .an 12 .函数f(x)对任意XR都有 f

23、(x) f(1 x).1.1. n 1求 f(一)和 f (-)f (一)的值(n N*);2 n n12(2)数列an满足：an f(0) f(-) f(-) nnn 1f()f(1),数列an是等差数列吗？请给予证明. n3.已知数列an满足 a1，a2 a1，a3 a2, ,an an 1,，1是首项为1、公比为-的等比数列.3求an的表达式；(2)如果bn (2n 1)% ,求数列bn的前n项和.4、数列an的前n项和记为Sn ,a1 1,an 12Sn 1(n D ( I )求an的通项公式;(H)等差数列bn各项为正，前n项和为Tn, T3 15,又al b，a2坛a b3成等比数

24、列，求Tn .5、已知数列an是等差数列，且 a3 5,a5 9, &是数列an的前n项和.(n)若数列bn满足bn(I )求数列 an的通项公式an及前n项和Sn ；,且Tn是数列 bn的前n项和，求bn与Tn .6.设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数 n,an与2的等差中项等于 &与2的等比中项.（1）求数列an的通项公式；.1 an 1 an（2）令 bn （= 3）（n N*）,求证：bi b2 b3bn 1 n.2 anan 11.，7、已知数列3是等差数列，a?6a18；数列bn的前n项和是Tn,且Tn b 1 .2（i）求数列 an的通

25、项公式；（n）求证：数列 bn是等比数列；（出）记Cn an bn ,求cn的前n项和Sn8.已知数列 an的前n项和Sn满足2S 3an 1 ,其中n N . .3n 求数列 an的通项公式； （II）设anbn ，求数列bn的前n项和为Tn.n n* *1.一 一一. Sn 9.已知数列an的首项为a1 1,前n项和s,且数列 是公差为2的等差数列.n(1)求数列an的通项公式；(2)若bn1)nan ,求数列bn的前n项和Tn.一 1八10、已知数列an满足a-,2an 1 an1.(1)求an的通项公式；(2)证明:aa2an 1I . n11.已知数列an的前n项和是Sn,且Sn12

26、 an(1)求数列an的通项公式;(2)设 bn log3(1 Sn 1)(n N ),求适合方程b1b2b2b3bnbn 125的正整数n的值.511、【解析】a12al2d(n)数列大题训练（答案）（i）设等差数列 an的公差为d ,因为,解得a1 3,d 2 ,所以an 310d 26由（I ）知 an.12n+1 ,所以 bn- - ana37 , a5 a72( n 1)=2n+1,22(2n+1)1426 ,所以有n(n-1)2Sn- 3n+ 2- n +2n。2n(n+1)4 n n+1),1_11 所以 Tn- 1 (1-1+142 23+III+n n+1)-14(1-n+1

27、)=4(n+1)bn的前n项和Tn =4(n+1)12. (1)因为 f (-) f (121f(-)21f(-)2一 1故 f (-)2八 11令 x ,得 f(一)f(11) nf(1) nf(n(2):f(0)1f(-)nf(jnf(1)，而 anf(1)f(U)n两式相加得2anf(0)f(1)1 fnf(U)nf(1) f(0)所以ann 1T(nN*),又an1an，故数列an是等差数列.3.(1) a11,2时,anan(3)n 1，故ana1a1)(a3a?)(an an 1)1 2231 n 1 (-)n 13an3 2(11手)(nN*).(2)因 bn(2n1)an3(2

28、n故&b1b2bn*1(2n1)(3Tn32332n3n1-Tn 31323233筝)33342n 13n 12111112n 1111-Tn2(三-3-4/）-n 1-(1n3333333333一得_ 2n1) F故Tn(2n1)2八3 2n ,故 Sn 2(n14、解：（I ）由an2Sn1可得an2Sn 1 1(n2)两式相减得:an1an2an,an 13an(n 2)又 a22 sl3，a23a1故an是首项为1,公比为3的等比数列 an3n1（n）设故可设b1bn的公比为由题意可得(5 d 1)(5 d15得,1包2可得3, a3b1等差数列bn的各项为正,5、（I ）设数

29、列an的公差为d , .an a1 (nSn(a1 an)nTn b b2 b3(12) (26. （1）由题意可知:所以Sn11 (an89) (5 3)由题意可知:1)d 1 2(n(1 2n 1)n2bn3) (3 ;)a3%b2ba15,可得b2d12,d210Tn2d4d整理得：（an1)2n(1nI b13n*_l)25,解得：a1,d9,/Sn,；Sn12_n 2n5分1n(n 1)N*）,整理得Sn8(an 2)2,1 an)(an22).故 an 1Sn 1 Sn1 an 4） 0,由题意知即数列an为等差数列，其中a12,d(2)令 cn bn 1,则 Cnananan 1

30、2)故 b1b2bn nC1C21(1 3)J 1、(3 5)2n 1故 b1b2b3bnn.1(an 182)2 (an2122)8(an2 an 1 a n 2an).an 1 an4.故 an2 2ncn2n 10,而 a12.故 an 1an4,a11)(n1)d4n2.7、解：（i）设an的公差为d ,则：a2 a d ,2n 11)1.2n 12n 12n 1a5 a1 4d ,* *a154 1 3,冏,. a26, a5 18.an 2 4(n 1)4n(H)当n 1时,bi2时,Jn1bn = 7 bn3(ID)由2)可知:Snc1c2in,3Sn- ,Sn13Sn(3)23Sn(1)2 13, ,Sn1,5d 6,，a1 2, d 4 .4d 184分1二 bn，Tn12是以一为首项,cn 1121二 bn1, 21广 1小二万口n 1bn)7bncn(3)311(3)n1131 n4(n 1) (-)n31一 ,232 an1 .4a2(II)-