高中数学必修五求数列通项公式2附经典例题和详细答案

1、数列专项数列专项-3-3类型类型 构造数列法：构造数列法：形如形如（其中（其中均为常数且均为常数且）型的递推式：型的递推式： qpaann1, p q0p （1）若时，数列为等差数列; 1p na（2）若时，数列为等比数列;0q na（3 3）若）若且且时，数列时，数列 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等构造等1p 0qna比数列比数列来求来求. .方法有如下两种： 法一：法一：设,展开移项整理得,与题设1()nnap a1(1)nnapap比较系数（待定系数法）得1nnapaq,即1,(0)()111nnqqqpap appp1()11nnqq

2、ap app构成以为首项，以为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公1nqap11qapp式求出的通项整理可得1nqap.na法二：法二：由得两式相减并整理得即qpaann11(2)nnapaq n11,nnnnaapaa构成以为首项，以为公比的等比数列.求出的通项再转化1nnaa21aap1nnaa为类型类型（累加法）（累加法）便可求出.na例例 1010.在数列中，且，求数列的通项公式。 an21a231nnaana例例 1111.在数列中，且，求数列的通项公式。 an121a3321nnaana形如形如型的递推式型的递推式：1( )nnapaf n(1)p 当当为一次函数类型（即等差数列

3、）时：为一次函数类型（即等差数列）时：( )f n法一：法一：设，通过待定系数法确定的值，转1(1)nnaAnBp aA nBA B、化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项1aABpnaAnB公式求出的通项整理可得naAnB.na法二：法二：当的公差为时，由递推式得：，( )f nd1( )nnapaf n两式相减得：，令得：1(1)nnapaf n11()nnnnaap aad1nnnbaa转化为类型类型求出 ，再用类型类型（累加法）（累加法）便可求出1nnbpbdnb.na例例 12.12.在数列中，且，求数列的通项公式。 an21a2431naannna当当为指数函数类型

4、（即等比数列）时：为指数函数类型（即等比数列）时：( )f n法一：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以1( )(1)nnaf np af n为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求1(1)afp( )naf n出的通项整理可得( )naf n.na法二：法二：当的公比为时，由递推式得：，( )f nq1( )nnapaf n，两边同时乘以得，由两式相1(1)nnapaf nq1(1)nna qpqaqf n减得，即，在转化为类型类型便可求出11()nnnnaa qp aqa11nnnnaqapaqa.na法三：法三：递推公式为（其中 p，q 均为常数）或（其中nnnqpa

5、a11nnnaparqp，q, r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，1nqqqaqpqannnn111引入辅助数列引入辅助数列（其中） ，得：再应用类型类型的方法解决。 nbnnnqab qbqpbnn11例例 1313.在数列中，且，求数列的通项公式。 an21annnaa231na当当为任意数列时，可用为任意数列时，可用通法通法：( )f n 在两边同时除以可得到，令，则1( )nnapaf n1np111( )nnnnnaaf npppnnnabp，在转化为类型类型（累加法）（累加法） ，求出之后得.11( )nnnf nbbpnbnnnap b例例 1414.在数列中

6、，且，求数列的通项公式。 an21anaann31na类型类型 对数变换法：对数变换法：形如形如型的递推式：型的递推式：1(0,0)qnnapapa在原递推式两边取对数得，令得：1qnapa1lglglgnnaqaplgnnba，化归为型，求出之后得（注意：底数不一1lgnnbqbpqpaann1nb10 .nbna 定要取 10，可根据题意选择） 。例例 15.15. 已知数列满足，求数列的通项公式。 an513nnaa71ana例例 16.16. 已知数列满足，求数列的通项公式。 an5132nnnaa71ana类型类型 倒数变换法：倒数变换法：形如形如（为常数且）的递推式：的递推式：两边

7、同除于，转化为11nnnnaapaap0p 1nnaa形式，化归为型求出的表达式，再求；111nnpaaqpaann11nana还有形如还有形如的递推式，的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归1nnnmaapaq111nnmmaq ap为型求出的表达式，再求.qpaann11nana例例 17.17. 已知数列满足，求数列的通项 an311a)2(11naaaannnnna公式。例例 18.18. 已知数列满足，求数列的通项公式。 an11a1311nnnaaana类型类型 形如形如型的递推式：型的递推式：nnnqapaa12法一：法一：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解。方法为：设1

8、nnaa，比较系数得，可解得，于是)(112nnnnkaahkaaqhkpkh,h k、是公比为的等比数列，这样就化归为型。1nnakahqpaann1法二：法二：可用特征方程的方法求解：我们称方程：x2-Ax-B=0 为数列的特征方程 （i）当方程有两个相异的实根（或虚根）p、q 时，有：，其中nnnqcpca21c1与 c2由已知的 a1、a2确定。 （ii）当方程有唯一的实根 p 时，有其中 c1 与 c2 由已知的 a1、a2nnpcnca)(21确定。 例例 19. 已知 ，求的通项公式。nnnaaaaa12212,3,2na例例 20.已知 ，求的通项公式。nnnaaaaa23,3

9、,21221na类型类型 IXIX 不动点法不动点法为了求出递推数列的通项，我们先给出如下两个定义：dtcbtatnnn1定义定义 1 1：若数列满足，则称为数列的特征函数.nt)(1nntft)(xfnt定义定义 2 2:方程=x 称为函数的不动点方程，其根称为函数的不动点.)(xf)(xf)(xf下面分两种情况给出递推数列通项的求解通法.dtcbtatnnn1(1)当 c=0,时,由, ,dtcbtatnnn1dbtdatnn1记,，则有 （k0）, ,kdacdbctktnn1数列的特征函数为=kx+c,nt)(xf由 kx+c=xx=,则kc1ctktnn1)1(11kctkkctnn

10、数列是公比为 k 的等比数列,1kctn.11)1(1nnkkctkct11)1(1nnkkctkct(2)当 c0 时,数列的特征函数为：=nt)(xfdxcbxa由xdxcbxa0)(2bxadcx设方程的两根为 x1,x2,则有:0)(2bxadcx, ,0)(121bxadcx0)(222bxadcx(1)12)(1xadcxb(2)222)(xadcxb又设(其中,nN*,k 为待定常数).212111xtxtkxtxtnnnn由 212111xtxtkxtxtnnnn2121xtxtkxdtcbtaxdtcbtannnnnn(3)212211xtxtkdxtcxbatdxtcxba

11、tnnnnnn将(1)、 （2）式代入(3)式得:2122221121xtxtkaxtcxcxataxtcxcxatnnnnnn 212211)()(xtxtkxtcxaxtcxannnn21cxacxak数列是公比为(易证)的等比数列.21xtxtnn21cxacxa021cxacxa=21xtxtnn1212111ncxacxaxtxt.12121111212111211nnncxacxaxtxtcxacxaxtxtxxt例例 21.21. 已知数列an中，a1=3，求an的通项。1241nnnaaa例例 22.22. 已知数列an中，a1=2，求an的通项。3121nnaa总之，求数列通

12、项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式.na答案详解答案详解例例 10.)( 13Nnann例例 11.)(9)32(31Nnann例例 12.)( 2232Nnnann例例 13. )(2-341-Nnannn例例 14.)(41231211Nnnann例例 15.)(37415511Nnannn例例 16.)(237415161511Nnannnn例例 17.)(21Nnnan例例 18.)(231Nnnan例例 19.)( 1Nnnan例例 20.)( 121Nnann例例 21.)(323221212Nnann

13、nnn例例 22.)( 1)32(1Nnann数列专项数列专项 3-3-巩固习题巩固习题一、选择填空一、选择填空1.1.（20102010 全国卷全国卷 2 2）(6)如果等差数列 na中，3a+4a+5a=12，那么1a+2a+7a=（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 352.2.（20102010 安徽）安徽）(5)设数列na的前 n 项和2nSn，则8a的值为（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）643. (2011(2011 年高考四川年高考四川) )数列 na的首项为3， nb 为等差数列且1(*)nnnbaa nN .若则32b ，1012b ，则8a ( ）

14、 A）0 （B）3 （C）8 （D）114.(20(201111 年高考全国卷年高考全国卷设nS为等差数列 na的前n项和，若11a ，公差2d ，则k A）8 （B）7 （C）6 （D）5242kkSS5.（2009 广东卷 理）已知等比数列na满足0,1,2,nan，且25252 (3)nnaan，则当1n 时，2123221logloglognaaa A. (21)nn B. 2(1)n C. 2n D. 2(1)n6.（2009 陕西卷）设等差数列 na的前 n 项和为ns,若6312as,则na 7.7. (2011(2011 广东卷广东卷) )等差数列 na前 9 项的和等于前 4

15、 项的和.若141,0kaaa，则k 8.1,13111aaaannn 则其通项为9（2009 宁夏海南卷理）等差数列na前 n 项和为nS。已知1ma+1ma-2ma=0，21mS=38,则 m=_10.重庆卷理）设12a ，121nnaa，21nnnaba，*nN，则数列 nb的通项公式nb= 二 、解答题二、解答题二、解答题1111等差数列 na是递增数列，前 n 项和为nS，且931,aaa成等比数列，255aS 求数列 na的通项公式.1212 已知数列 na的前n项和nS满足1,) 1(2naSnnn求数列 na的通项公式。1313 已知数列na满足112 313nnnaaa ，求

16、数列na的通项公式。1414 已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。1515 已知数列na满足1123 56nnnaaa ，求数列 na的通项公式。1616 知数列na满足11228(1)8(21) (23)9nnnaaann，求数列na的通项公式。1717 已知数列na满足111(14124)116nnnaaaa，求数列na的通项公式。1818 已知数列na满足1172223nnnaaaa，求数列na的通项公式。 答案详解答案详解1.【答案】C C【解析解析】本题考查了数列的基础知识。本题考查了数列的基础知识。 34512aaa， 44a 12717417 (

17、)7282aaaaaa 2.【答案】 A【解析】887644915aSS.【方法技巧】直接根据1(2)nnnaSSn即可得出结论.3.答案：B解析：由已知知128,28,nnnbnaan由叠加法21328781()()()642024603aaaaaaaa .4【答案】D【解析】22111(2 1)(1 1)kkkkSSaaakdakd 12(21)akd2 1 (21) 244245kkk 故选 D。5【解析】由25252 (3)nnaan得nna222，0na，则nna2， 3212loglogaa 2122) 12(31lognnan ，选 C. 6解析:由6312as可得 na的公差

18、d=2,首项1a=2,故易得na 2n.答案:2n7【答案】10【解析解析】由题得由题得1061031) 1(123442899kdddkdd8 8 解解：取倒数：11113131nnnnaaaana1是等差数列，3) 1(111naan3) 1(1n231nan9 9 解析由1ma+1ma-2ma=0 得到1212212120,0,22138102mmmmmmmaaaaaSmam又。答案 101010 解析 由条件得111112222222111nnnnnnnnaaabbaaa且14b 所以数列 nb是首项为 4，公比为 2 的等比数列，则114 22nnnb1111 解解：设数列 na公差

19、为)0(dd931,aaa成等比数列，9123aaa ，即)8()2(1121daadadad120d， da 1255aS 211)4(2455dada由得：531a，53dnnan5353) 1(53点评点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。1212 解解：由1121111aaSa当2n时，有,) 1(2)(211nnnnnnaaSSa1122 ( 1),nnnaa ,) 1(22221nnnaa，. 2212 aa11221122( 1) 2( 1)2 ( 1)nnnnnaa .) 1(2 323) 2(1 2) 1(2)2() 2() 2

20、() 1(21211211nnnnnnnnn经验证11a也满足上式，所以) 1(23212nnna1313 解：由12 31nnnaa 得12 31nnnaa则11232211122112211()()()()(2 31)(2 31)(2 31)(2 31)32(3333 )(1)33(1 3)2(1)31 3331 331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn 所以31.nnan14 解：因为112(1)53nnnanaa，所以0na ，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1) (2)2 1(1)122(1 1)52(2 1)52(2 1) 5 2(1 1

21、) 5 32 (1)3 2 533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn 所以数列na的通项公式为(1)123 25!.n nnnan 15 解：设1152(5 )nnnnaxax将123 5nnnaa 代入式，得123 55225nnnnnaxax ，等式两边消去2na，得13 5525nnnxx，两边除以5n，得352 ,1,xxx 则代入式得1152(5 )nnnnaa由1156510a 及式得50nna ，则11525nnnnaa，则数列5 nna 是以1151a 为首项，以 2 为公比的等比数列，则152nnna，故125nnna16 解：由1228(1)(21) (23)nnnaann及189a ，得2122322243228(1 1)88 224(2 1 1) (2 1 3)99 25258(2 1)248 348(2 2 1) (2 23)2525 49498(3 1)488 480(2 3 1) (2 33)4949 8181aaaaaa 由此可猜测22(21)1(21)nnan，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n 时，212(2 1 1)18(2 1 1)9a ，所以等式成立。