湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试数学(理)-含答案

1、武昌区2020届高三年级元月调研考试理科数学注意事项:1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21 .已知集合 A=x|x -x-2 <0B =x | a -2 <x <a,aHb=x|-i<x<o,则 aU

2、b =A. (-1,2)B. (0,2)C. (2,1)D. (-2,2)2,已知复数z满足一z7=i ,则z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知an是各项均为正数的等比数列,a1 =1 ,a3 =2a? +3,4.n .2A . 3n 1B. 3C. 2nAD. 2T已知 a =logo.i 0.2b =log1.10.2 ,0.2c =1.1，则 a , bc的大小关系为A . a Ab AcB. a >c >bC. c >b >aD. c >a >b5.等腰直角三角形ABC 中，NACBAC=BC =2 ,点P

3、是斜边AB上一点，且BP = 2PA,那么 CP CA CPCB 二B. -2C. 2D. 46.某学校成立了 A、B、C三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A学习小组的概率是A- 64B. 32C. -43 2 117.已知数列an的前n项和s =3n2 * 4 _1n ,设bn =,22an an 1Tn为数列bn的前n项和.若对任意的n WN:不等式Tn<9n+3恒成立，则实数 K的取值范围为A .（二,48）B.（-二,36）C.（-二,16）D. （16，二）8.已知过抛物线y2 =

4、4x焦点F的直线与抛物线交于点 A|AF |二2|FB|,抛物线的准线l与x轴交于点CAM _Ll于点M ,则四边形AMCF的面积为A.詈B 5 2B. 2C. 5,2D. 10.2E为边AB的中点，将MDE沿直9.如图，已知平行四边形 ABCD中，/BAD =60一，AB=2AD线段BM的长是定值;存在某个位置，使DE_LAC ；存在某个位置，使MB 平面 ADE .其中，正确的命题是B.C.D.10.函数 f（x） =Asin（歙+中）（A>0, G>0,的部分图象如图所示，给出下列说法:函数f(x)的最小正周期为冗;直线x=-三为函数f(x)的一条对称轴;12点(红,0)为函

5、数f(x)的一个对称中心; 3函数f(x)的图象向右平移个单位后得3到y =72 sin2x的图象.其中正确说法的个数是B. 2C. 3D. 4线DE翻折成 "DE .若M为线段AC的中点，则在 AADE翻折过程中，给出以下命题:11.已知Fi, F2分别为双曲线F2且倾斜角为60。的直线与双曲线的右支交于A, B两点，记 MF1F2的内切圆半径为ri, ABFF2的内切圆半径为2,则D的值等于2A. 3B. 2C. 33D. 22x 212 .已知函数 f (x) =xexIn xx _2 , g(x) =-+ln x _x 的最小值分别为 a , b,则xA . a =bB .

6、a <bC. a>bD. a, b的大小关系不确定二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13 . (2x+、)6的展开式中，x工=1的左、右焦点，过项的系数是 . .x14 .已知一组数据10, 5, 4, 2, 2, 2, x ,且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则x所有可能的取值为.2215 .过动点 M作圆C : (x-2)十(y2) =1的切线，N为切点.若| MN RMO |( O为坐标原点)，则|MN |的最小值为.16 .用M i表示函数y =sinx在闭区间I上的最大值，若正数 a满足Mo,a =72Ma,2a,则a的值为.三、解答题：共70分

7、。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60分。17 .(本题12分)在 MBC中，已知 ab ，AC=7, D是BC边上的一点，AD =5 , DC=3.2(1)求 B ；(2)求MBC的面积.18 .（本题12分）如图，在直三棱柱 ABC -AiBiCi中， AC _L AB ,AiA =AB =AC =2 , D , E , F 分别为 AB , BC , BiB 的中点.(1)证明：平面 AiCiF _L平面BiDE ;(2)求二面角B -BIE -D的正弦值.19 .（本题I

8、2分）22已知椭圆E：勺+4 =i（a bA。）的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦 a b点到椭圆上的点的最短距离为i.（i）求椭圆E的方程；（2）若不过原点的直线l与椭圆交于 A , B两点，求AOAB面积的最大值.20 .（本题i2分）某健身馆在20i9年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户.为预估 2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了20i9年7、8两月i00名客户的消费金额，分组如下：0,200), 200, 400),图：,得到如图所示的频率分布直方（i）请用抽样的数据预估 2020年7、8两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组

9、区间的中点值作代表）；（2）若把20i9年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”.经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？健身达人非健身达人总计男10女30总计(3)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案.方案一：每满 800元可立减100元；方案二：金额超过 800元可抽奖三次，每次中奖的概率为-,且每次抽奖互不影响，中奖 12打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择

10、哪种优惠万案.附:P ( K2 之k)0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722.7063.8416.6357.8792n(ad -bc)K(a b)(c d)(a c)(b d)21 .(本题12分)已知函数 f (x) =ex +x -e -1 .(1)若f (x)至ax -e对x R R恒成立，求实数 a的值；(2)若存在不相等的实数 x1 , x2,满足f (x1)+ f (x2) =0 ,证明：x1 + x2 < 2 .(二)选考题：共 10分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。22 .选彳4-4:坐标系与参数方程(

11、本题10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x = -t, 2.2 y=2 Tt(t为参数).在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为 P2=9 23 2cos 2(1)写出Cl的普通方程和C2的直角坐标方程;B两点，求|MA| JMB |的值.(2)若Ci与y轴交于点M , Ci与C2相交于A、23 .选彳4-5:不等式选讲(本题10分)(1)已知f(x)斗xa|+|x|,若存在实数x,使f(x)<2成立，求实数a的取值范围;(2)若 m>0, n>0,且 m+n=3,求证： + >3 .m n武昌区2020届高三年级元月调研考

12、试理科数学参考答案及评分细则、选择题:题号123456789101112答案DABDDDACBCAA二、填空题:13. 24014. -11 , 3, 1716.三或以48三、解答题: 17.（本题12分）在"BC 中，已知 AB=5, AC =7, D 是 BC 边上的一点， AD =5 , DC=3.（1）求 B ;（2）求MBC的面积.解：（1）在 MDC中，由余弦定理，得 cos/ADC =-, 2所以 ZADC =120 :从而 ZADB =60 12在 MBD中，由正弦定理，得 sinB=J,所以B=451-2（2）由（1）知 /BAD =75 :且 sin75o=栏上也

13、. 4125（. 3 3）所以 S 跳bdAB AD sinZBAD =,A 28115 3S却c =- DA DC sin /ADC = ,所以 SABC =SaBD +SDC = . （ 12 分）一 一 一818.（本题12分）解：（1）因为 AC_LAB, DE AC ,所以 DE _LAB .因为AA _L平面ABC , DE仁平面ABC ,所以AA, _L DE .因为 AbQaA =A ,所以 DE _L平面 AA1B1B .因为AF u平面AABB ,所以DE _LAF .易证 DB _LAF ,因为 DB1 1口正=D ,所以AF _L平面BQE .因为AF U平面A1clF

14、 , 所以平面 A1C1F _L平面B1DE . （ 4分）(2)方法一：过 B作BH j_BiD ,垂足为H ,过H作HG J_BiE于G ,连结BG , 则可证ZBGH为二面角B B1E D的平面角.在Rt4BBD中，求得BH,5在RtABBE中，求得2、2BG =,6所以 sin/BGH =BH =些.(12 分)BG 5方法二：建系，设(求)点的坐标，求两个法向量，求角的余弦，求正弦19.(本题12分)b解：(1)由jc、3, 及 a2 =b2+c2 ,得 a =2 , b=d3.a -c =1,22所以，椭圆E的方程为土+匕=14分)43(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx

15、+m(m=0),代入椭圆方程，整理，得2_2_2_(4k3)x 8kmx 4m -12 =0.由 >0 ,得 4k2 -m2 +3>0.8km以 A(Xi, y1), B(x2,yz),则 Xi x2 -24k2 324m -12Xi X2 =2 4k 3于是 | AB |= . 1，k2 (xi，k)2 -4xiX2 =43 -1，k2.4k2 - m2 34k2 3又，坐标原点O到直线l的距离为d =1-所以，iOAB 的面积 S=L|ab |d =233，|m| -24k2 -m2 34k2 3因为|m|£m_4k2 33 m2(4k2 -m2 3)m2 (4k2

16、- m2 3)所以,当直线S =12所以，4k2 324k2 31S |AB|d < .3.2l的斜率不存在时，设其方程为| AB |d|m| .12 -3m2 _ 3 24AB面积的最大值为 v13 .同理可求得12分)20 .(本题12分)_解：(1)因为 x=(100X0.00050 +300X0.00075 +500X0.00100+700M0.00125 + 900X 0.00100 +1100父0.00050)父200 =620 (元),所以，预估2020年7、8两月份人均健身消费为 620元. (2分)(2)列联表如下：健身达人非健身达人总计男104050女203050总计

17、3070100 与性别有因为K2 =幽10咨二202幽_ =4.762 >3.841 ,因此有95%的把握认为“健身达人” 50 50 30 70关系.(6分)(3)若选择方案一：则需付款 900元；若选择方案二：设付款 X元，则X可能取值为700, 800, 900, 1000.-3 1 3P(x =700)=C；( )3 2P(x =900) =C3(1)32 1 23P(x=800)=C；()2 =,28入0 1 31所以P(x =1000)=(万)3 =-= 850 (元)12分)E(X) =700 - 800 - 900 1000 -8888因为850 <900 ,所以选

18、择方案二更划算.21 .(本题12分)解：(1)令 g(x) = f (x) (ax -e) =ex +(1 -a)x -1,则 g x) =ex +1 _a .由题意，知g(x) >0对x R恒成立，等价 g(x)min >0.当aE1时，由g(x) 30知g(x) =ex十(1a)x 1在R上单调递增.1因为g(_1)=1_(1 _a)_1 <0,所以a <1不合题意； e当 a >1 时，若 xE(-0o,ln(a -1),贝U g (x) <0 ,若 xw (ln(a -1),-Hc),贝U g'(x)>0 ,所以，g(x)在(-, l

19、n(a-1)单调递减，在(ln(a-1),也c)上单调递增.所以 g(x)min =g(ln(a -1) =a 一2 (1 - a) ln(a -1) _0.记 h(a) =a -2 +(1 -a) ln(a -1) (a >1),则 h'(a) =ln(a -1).易知h(a)在(1,2)单调递增，在(2,F 单调递减，所以 h(a)max =h(2) =0 ,即 a -2 +(1 -a) ln(a -1) <0.而 g(x)min =a-2+(1 -a)ln(a-1)>0,所以 a2+(1a)ln(a1) =0,解得 a =2. (6 分)(2)因为 f(xi)

20、+ f (xz) =0 ,所以 ex1 +ex2 +xi +x2 =2(e +1).x1 x2% %因为 ex1+ex2之2e2 ,x1丰w 所以ex1+ex2>2e2 .t令 x1 +x2 =t ,贝U 2e2 +t -2e -2 <0.tt记 m(t) =2e，+t -2e -2 <0 ,则 m(t) =e2 +1 >0 ,所以 m(t)在 R 上单调递增.t又 m(2) =0 ,由 2e2 +t -2e-2 <0 ,得 m(t) <m(2),所以 t <2 ,即 x1 +x2 <2. (12 分)另证：不妨设x1<x2,因为f(x)=ex+1>0,所以f(x)为增函数.要证 必十照<2 ,即要证x2 <2x1 ,即要证f (x2) <f(2 x。.因为 f (xi) + f(X2)=0 ,即要证 f (xi) + f (2-Xi) >0 .记 h(x) = f(x) +f (2 _x) =ex +e2- -2e ,则