第三章矩阵的降阶与升阶

1、 矩阵的降阶与升阶1. 矩阵求逆的降阶与升阶 结论当可逆时，可逆，且类似地有：，结论当可逆时，可逆，且类似地有：当可逆时，可逆，且上两结论也可以用广义初等变换按数字矩阵初等变换求逆的方法（）证明如下结论1证明：因为所以可逆，且结论证明：因为所以注意：这里是使用广义初等行变换将化为的,所以在作变换时均应该是”左乘”.上两结果可以将高阶矩阵的求逆转化为低阶矩阵的求逆问题通常将结论称为方阵求逆的第一降阶定理还有一些矩阵求逆的降阶定理，由于其形式比较复杂，不再作介绍例1设，其中均可逆，求解将分块，其中由求逆的第一降阶定理，所以，可得特别地，若，则比如：（）有时，根据需要，可将矩阵作适当的“升阶”，使问

2、题得以解决下边举例说明例2设是阶可逆矩阵，是维列向量，且证明：可逆，并求其逆证明构造阶矩阵，对分块矩阵作广义初等行变换可见可以经过广义初等行变换化为单位矩阵，所以可逆，从而可逆且，由得，所以如何升阶的问题应视原矩阵的形状以及所要解决的问题而定，一般来说比较复杂上例中将矩阵升阶为的做法是比较容易想到的，因为我们希望把的第二项消掉，以充分利用的可逆性例2的方法具有一般意义一般地有例3设是阶可逆矩阵，分别为和矩阵若可逆，证明：可逆，并求其逆证明：构造阶矩阵，对分块矩阵作广义初等行变换所以可逆，且由此可得，可逆，且2.行列式计算中的降阶与升阶一、 行列式的降阶定理设是阶方阵，对其作如下分块： 此分块矩

3、阵所对应的行列式叫分块行列式由广义初等变换与广义初等矩阵的联系可知：，两边取行列式得可得：(1) 用矩阵左乘分块行列式的某一行后加于另一行，行列式不变(2) 用矩阵右乘分块行列式的某一列后加于另一列，行列式不变拉普拉斯定理可以对行列式降阶，但是一般来说，它只适用于一些特殊形式的行列式下边介绍行列式的两个降阶定理第一降阶定理（许尔定理）设是方阵，且可逆，则证明因为（是的阶数），两边取行列式即得欲证第一降阶定理的另一种形式：若方阵中可逆，则推论方阵中可逆，则有如下升阶公式推论是同价方阵，可逆且，则证明由许尔定理注: 若,推论亦然.第二降阶定理是方阵，可逆，则或注: 记忆方法:将等号一边的互换、互换

4、就得另一边. 第二降阶定理中的减号也可换为加号写成,这只需将原式中的令作即可.证明 由第一降阶定理的两种形式即得上述降阶定理得来全不费功夫，但是在行列式的计算中，利用它们有时会收到很好的效果对一个阶行列式，利用降阶定理总可以随意地将其阶数降低为我们所需要的阶数比如：欲使其降低阶，可以考虑其左上角的三阶子式，如果它不为（即可逆），则令其为，得到此行列式的分块行列式，利用第一降阶定理此行列式等于，而这是一个阶行列式和一个阶行列式之积如果左上角的三阶子式等于，考虑位于前三行的其它三阶子式，取其中一个不为零的（当这些三阶子式全为时，由拉普拉斯定理此行列式为），将其换到左上角即可（这样得到的行列式与原行

5、列式至多相差一个符号）例4计算解： 取，则可逆，有第一降阶定理 例5证明：实镜像矩阵的行列式等于，其中是维实列向量，且证明：由第二降阶定理（这里的分别相当于第二降阶定理中的）可见利用降阶定理使问题得到了很大的简化例6设，计算（）解：（分析：先将写成两个方阵之和，再设法凑成的形状，就可以利用第二降阶定理了）此例利用降阶定理将阶行列式直接降为阶行列式，使这个曾被认为是较困难的问题迎刃而解总结此例可得其求解思路：先将一个阶行列式的矩阵分解成两个阶行列式的和，使其中的的行列式和逆较容易求得，而其中的又可写成一个矩阵和一个矩阵的乘积，这里利用第二降阶定理：这样就将计算一个阶行列式的问题转化为计算一个阶行

6、列式的问题了当然在这样做时，应使尽可能小，这样才能收到好的效果例7设是实对称矩阵，是的阶顺序主子式（）证明：如果有（），使而，则证明：用表示所对应的矩阵（），则，其中因为，所以可逆由第一降阶定理，可得同样地，利用第一降阶定理，有 （*）对称，对称，于是由此可见，（*）中第二个行列式所对应的二阶矩阵式对称的，所以 （），可得 （都是实数）二、 行列式计算中的升阶方法有时对某些行列式需将它的阶数放大，使升阶后的行列式易于计算，借以求出原行列式升阶的方法要根据行列式的具体构造而定，比较难以掌握一般来说，只有当其它方法不易解决，或者明显地可用升阶方法解决时才考虑用此法例8 计算行列式分析：此行列式与范

7、德蒙行列式相近，所以考虑借助范德蒙行列式进行运算.解将升阶成下述阶范德蒙行列式此行列式中，只有最后一行含有，按最后一行展开可见的系数为所以只要求出多项式中的系数即可得由根与系数的关系知，中的系数是，所以中的系数是因此例9 计算阶行列式解将加一行一列（将第一行的倍加于行）3.矩阵秩的降阶定理定理（秩的第一降阶定理）若矩阵中可逆，则秩秩秩证明用广义初等变换将化为分块对角矩阵，而初等变换不改变矩阵的秩，所以秩秩秩秩第一降阶定理的另一种形式若矩阵中可逆，则秩秩秩推论（秩的升阶公式）若矩阵中可逆，则秩秩秩例10设分别是矩阵，证明西尔维斯脱（Sylvester）不等式秩秩秩注：此不等式有多种证明方法，而下述利用降阶定理的证明是最简单的证明因为 秩秩，由升阶公式秩秩秩秩秩秩秩当中都可逆时，由上边的第一降阶定理的两种形式可得定理（第二降阶定理）设分别是阶和阶可逆矩阵，分别是和矩阵，则秩秩秩秩注：定理中的等式也可写成秩秩秩秩的形式，只需将看作即可 等号左端的矩阵是的，右端的矩阵是的，此定理可将矩阵的求逆问题转化成矩阵的求逆问题，当与相差较大时，效果是很明显的当然，这里要用此定理求得的秩，的秩必须是容易求的例11是实矩阵，证明：秩秩注：此结果曾在2.2节证明过(19页例2)，这里利用秩的降阶定理可以更简洁的证明证明秩秩（由第二降阶