第二部 一元函数积分学

1、第二部 一元函数积分学第1章 不定积分1理解原函数与不定积分概念。这里要解决下面几个问题：（1）什么是原函数？若函数的导数等于，即，则称函数是的原函数。（2）原函数不是唯一的。由于常数的导数是0，故都是的原函数（其中是任意常数）。（3）什么是不定积分？原函数的全体（其中是任意常数）称为的不定积分，记为=。（4）知道不定积分与导数（微分）之间的关系。不定积分与导数（微分）之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它本身；先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即=,=,，例1 在某区间上，如果F（x）是f（x）的一个原函数，c为任意常数，则下式成立的是（ ）。A. B. C. D. 解 如果F（x

2、）是f（x）的一个原函数，则F（x）c都是f（x）的原函数，故有，即正确的选项是C。例2 如果，则f（x）=（ ）A. 2sin2x B. 2cos2x C. 2sin2x D. 2cos2x解 根据不定积分的性质可知 f（x）=正确的选项是D。例3 设是函数的一个原函数，则（ ）。 A B. C. D. 解 因为是函数的一个原函数，即有=，故=故正确的选项C。例4 设的一个原函数是，则（ ）。 A. B. C. D. 解 因为的一个原函数是，故（故正确的选项B。例5 设函数, 则=( )。A. x2+c B. C. D. 解 因为，故，于是=故正确的选项B。例6 已知=sinx+c，则f（x

3、）=( )A. B. xsinx C. D. xcosx 解 对=sinx+c两端求导，得故f（x）=，正确的选项是C。2.熟练掌握不定积分的计算方法。常用的积分方法有（1）运用积分基本公式直接进行积分；（2）第一换元积分法（凑微分法）；（3）分部积分法，主要掌握被积函数是以下类型的不定积分：幂函数与指数函数相乘；幂函数与对数函数相乘；幂函数与正（余）弦函数相乘；例7（）。 AB. C. D. 解 两种方法，其一是凑微分直接计算：其二是求导计算：四个备选答案中都含有项，对它求导 与被积函数比较可知，是的原函数。 正确的选项是B。例8 计算下列积分（1）（2） （3） （4） 解 （1） = =

4、 （2）因为所以= （3） 设，利用分部积分公式， （4）设，利用分部积分公式，= =第2章 定积分 1了解定积分的概念，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果要区别不定积分与定积分之间的关系。定积分的结果是一个数，而不定积分的结果是一个表达式。奇偶函数在对称区间上的积分有以下结果： 若是奇函数，则有若是偶函数，则有例1 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( ) A BC D 解 由牛顿¾¾莱布尼兹公式可知，正确的选项是B。 例2 已知，那么常数a=（ ）。解 因为 故，即正确的选项是A。 例3 =( )。A. ln(x2+1) B. ln(x2+1) C. ln(x2+1)

5、2x D.ln(x2+1)2x解 根据变上限定积分的性质可知ln(x2+1) 故正确的选项是A。例4 积分= 。解 在对称区间上求定积分，首先要考虑被积函数的奇偶性，可以利用奇偶函数在对称区间上的积分的性质简化计算。因为是偶函数，故=应该填写：1 例5 。解 因为是奇函数，故0应该填写：02.熟练掌握定积分的计算方法。常用的积分方法有（1）运用积分基本公式直接进行积分；（2）第一换元积分法（凑微分法）；注意：定积分换元，一定要换上、下限，然后直接计算其值（不要还原成原变量的函数）（3）分部积分法，主要掌握被积函数是以下类型的定积分：幂函数与指数函数相乘；幂函数与对数函数相乘；幂函数与正（余）弦

6、函数相乘；例6 计算下列定积分（1） （2）（2） （4）解 （1） 利用，于是= = 注意，（2） 利用=，可知 或设，则时，;时，原积分 （3）用分部积分法 = （4）用分部积分法=- = 3知道无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分。例7 广义积分= 。 解 因为=应该填写： 例8 下列无穷积分中收敛的是（ ） A B C D解 因为=发散；=1所以正确的选项是B。 第3章 积分应用1 掌握用定积分求简单平面曲线围成图形的面积。求平图形面积的一般步骤：(1) 画出所围平面图形的草图；(2) 求出各有关曲线的交点及边界点，以确定积分上下限；(3) 利用定积分的几何意义（即上述各式），确

7、定代表所求的定积分。y = x2y = 4xx = 1y xo例1 求曲线与直线及所围成平面图形的面积。解 首先画出所围区域面积的草图。曲线的交点是（0，0），（1，1），（1，4）。 所求面积为 另外,如果要求曲线与直线及所围成平面图形的面积。则曲线的交点是（1，1），（1，4），（4，16），所求面积为 92熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。例2 生产某产品的边际成本为 (万元/百台)，边际收入为 （万元/百台），其中x为产量，若固定成本为10万元，问（1）产量为多少时，利润最大？（2）从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解 （1）边际利

8、润 令 ，得 （百台）又是的唯一驻点，根据问题的实际意义可知存在最大值，故是的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大。（2）利润的变化 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元。 例3 已知某产品的边际成本为(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 解：因为总成本函数为=当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18，即C(x)= 又平均成本函数为 令 ， 解得x = 3 (百台)。该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台)3了解微分方程的几个概念：微分方程、阶、解（通解、特解）线性方程等；掌握简单的可分离变量的微分方程的解法，会求一阶线性微分方程的解。 例4 求解初值问题 解 分离变量 于是通解为 lny= 。 因x=0时，y=2，故有ln2=c。所求初值问题的解为 lny=，即y=2。