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1、第三讲 导数（中值定理部分）1设在上连续，在内可导，且；证明至少存在一点，使得。证明：作，由Rolle定理知，至少存在一点，使得，因为，故有，即。（本题思路：由得，疑似某个函数与相乘后求导，不难看出该函数的导数比原函数低1次且为2倍，考虑是，即。）2设在上二阶可导，为内三点，且；证明在上至少存在一点，使得。证明：因为，且在上满足Rolle定理条件，故至少存在一点，使得；同理由于，故至少存在一点，使得；综上，在区间上可导且，故至少存在一点，使得。3设在上连续，在内二阶可导；连接点和的直线与曲线交于点（），证明至少存在一点，使得。证明：由Lagrange中值定理可知在上，存在，使，在上，存在，使，

2、所以。在上，由Rolle定理，至少存在一点，使。4设在上，且可导；证明存在一点，使得。证明：因为，作，在上运用Lagrange中值定理，存在一点，使得，即得。（本题思路：由得，故取。）5设在上可微，且，证明：存在，使。证明：（这里再次【特别提醒】本题中可微，即可导，只是说存在，但不一定连续，所以不能使用零点定理。本题思路参考“例题讲解5”的第4题）因为，不妨设，由极限的局部保号性，存在，使得，因为，则，所以不是在上的最小值；同理存在，使得；所以也不是在上的最小值；综上，在上的最小值不在端点取得，而在内取得，又在内可导，故至少存在一点，使得。对于，情形同理可证。6设在上可导，且；证明存在一点，使

3、得。证明：（1）若，则、至少有一个为0，如果，则，由Rolle定理，存在一点，使得；如果，取，有；（2）若，不妨设，由极限的保号性，存在，使得，所以在上的最大值不在端点而在内取得，故存在一点，使得。当，时同理可证。综上，存在一点，使得。7设在上连续，在内可导，且，试证：对任意给定的正数和，在内存在不同的，使得。（本题思路：由得，其中恰好是区间的长度，而且、，故取作为区间的一个分点，同时从、两个不同中值来看，它们应当在的两个分区间内取，故分别在和内考虑。）证明：取，因为，所以，运用Lagrange中值定理，在上，存在，使得，则；和上，存在，使得，则，上面两式相加得，即，故有。8设在上有三阶导数，且，又设，试证明在内至少存在一点，使。证明：，；因为，由Rolle定理，存在一点，使得；又，故存在一点，使得；又，故存在一点，使得。9设，、为自然数，则存在，使。证明：，因为，由Rolle定理，存在一点，使得；即，因为，故，即得。10设在上连续，在内可导，且；证明至少存在一点，使得。（本题思路：，与常见的某个函数与相乘后求导形式恰恰相反，因此需要另

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