2整数根问题及应用(2014-2015)教师

1、 2015年中考解决方案整数根问题及应用学生姓名：上课时间：整数根问题及应用中考说明知识点基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范

2、围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题中考必做题板块一 一元二次方程的整数根问题有理数根问题方程（，、均为有理数）的根为有理数的条件是：为有理数【例1】 已知关于的一元二次方程有有理根，求的值。【答案】原方程的根为有理根所以为完全平方式，因此，整理得解得或【例2】 为给定的有理数，为何值时，方程的根为有理数？【答案】【解析】要使得方程的根为有理数，须为完全平方式，故关于的方程的判别式为，即，当时，原方程的根为有理根整数根问题【例3】 已知，且关于的二次方程有两个整数根，求整数【解析】由原方程由整数解可知，必然是一个完全平方数又可知，又为奇数，故此时原方程的两个

3、实数根为：，不妨设，则，故满足为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注意【答案】【巩固】一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程，试求的值及此直角三角形的三边长【答案】由题意得，该方程的根均为整数必为平方数，令（为正整数）整理得，与同奇同偶因此或解得或当时，方程为，解得或直角三角形斜边为当时，方程为，解得或直角三角形斜边为【例4】 若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的值有_个【解析】当时，得；当时，得，当时，解得，当时，是整数，这时；当时，是整数这时综上所述，时原方程的解为整数【答案】【巩固】若为正整数，且关于的方程有两个相异正整数根，求的值【解析】原方程变形

4、、因式分解为，即，由为正整数得；由为正整数得所以使得，同时为正整数，但当时，与题目不符，所以，只有 为所求【答案】【例5】 已知关于的方程的两根都是整数，求的值【解析】本题的难点在于并不是整数，如果在采用求根公式，然后讨论是否为完全平方数，难度不小，因此本题采用韦达定理来求解【答案】设方程的两个根为、根据题意得，将代入，整理得、均为整数 的值为或当时，当时，当时，当时，综上所述，或【巩固】已知关于的方程的两根都是整数，求的值【解析】设两个根为，由韦达定理得从上面两式中消去得或即或所以或点评：利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于，的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的【答案】

5、0或【例6】 已知关于的一元二次方程（1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）当为何整数时，原方程的根也是整数【答案】(1)证明： = = = ， 无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. （2） 解关于x的一元二次方程，得 . 要使原方程的根是整数，必须使得是完全平方数.设，则. 和的奇偶性相同，可得或解得或. 将代入，得符合题意. 当时 ，原方程的根是整数.板块二 一元二次方程的应用【例7】 某个体户以元资金经商，在第一年中获得一定的利润，已知这元资金加上第一年的利润在第二年共获利润元，而且第二年的利润率比第一年多，则第一年的利润是多少元？【答案】设第一年的利润

6、为元，根据题意得解得，（舍）答：第一年的利润为元【巩固】某商品两次价格下调后，单价从元变成元，则平均每次调价的百分率为（ ）A. B. C. D.【答案】B【例8】 两个农妇一共带个鸡蛋上市场，两人带蛋数不同，但是卖得钱数一样，于是，第一个农妇对第二个说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得个铜板。”第二个农妇答道：“但是你的鸡蛋如果换给我，我就只能卖得个铜板。”试问，这两个农妇各有多少个鸡蛋？【答案】解：设第一个农妇有个鸡蛋，则第二个农妇有个鸡蛋，根据题意得，第一个农妇卖鸡蛋得到个铜板，第二个农妇卖鸡蛋得到个铜板，解得，（舍）答：第一个农妇带有个鸡蛋，第二个农妇带有个鸡蛋【例9】 一个六位自然数

7、，把它的左端的第一个数字移到它的右端所得到的新的六位数是原六位数的倍，求原六位数【答案】设原六位数的左端的第一个数字为，后五位数为，则原数为，新六位数为根据题意，得，而只能取或当时，；当时，答：原六位数为或【解析】题中要移动的仅是原六位数左端的第一个数字，其余不动，所以我们应该把六位数分为两部分，即左端第一位为一部分，其余为第二部分，并分别设出这两部分【例10】 现有男、女工人，其中全体男工和全体女工可用同样的天数完成同样的工作，若将男工人和女工人数对调一下，则全体男工天能完成的工作，让全体女工去做需天才能完成，问男、女工各有多少人？【答案】解法一：设男工人人，则女工人为人；有设全体男工人和全

8、体女工人各用天完成此项工作，则男工人每天完成工作的，而女工人每天完成工作的；交换人数后，全体男工人每天完成工作的，全体女工人每天完成工作的，即或（舍去），答：男工人有人，女工人有人方法二：设男工人有人，女工人则有人，又设同一工作男工人需做天，女工人需做天，这样，一个男工人，一个女工人一天各完成全部工作的， 【例11】 某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只需交元电费，如果第一个月的用电量超过度，则这个月除了仍要交元电费外，超过部分还要按每度元缴费该厂某户居民月份用电度，超过规定的度，则超过部分应交电费_元（用表示）下表是这户居民月份、月份的用电情况和缴

9、费情况：月份用电量（度）交电费总数（元）3月80254月4510根据上表的数据，求电厂规定的度为多少【答案】由于，所以该户居民月份超过部分应缴电费元从表中可知，月份缴电费元，超过元，所以可以知道3月份用电超过度；而月份交电费元，可知月份用电未超过度3月应缴费整理得，解得或月份用电未超过度，所以【例12】 甲、乙两人分别从、两地到地，甲从地到地需个小时，乙从地到地需小时分。已知、两地之间的距离比、两地间的距离远千米，每行千米，甲比乙少用分钟。求、两地间的距离假设、这三条道路为直的，试判断、两地之间距离的取值范围【答案】设、两地间的距离为千米，则、两地的距离为千米，甲从到每行千米需时小时，乙从到每

10、行千米需时小时根据题意得化简为解得，（不符合题意，舍去）即、两地之间的距离为千米千米，千米由三角形三边之间的关系可得即 即千米千米【例13】 年比年又上升，而年和年连续两年比上一年降低，那么年的营业额比年的营业额（ ）A.降低了 B. 没有变化 C.上升了 D.降低了【解析】注意题目要求，还有注意是比较“年的营业额与年的营业额”【答案】设年的营业额为元，则年的营业额为元，年的营业额元，所以年的营业额为因此年的营业额比年的营业额降低了所以选择【例14】 商场将每件进价为元的某种商品原来按每件元出售，一天可售出件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销量可增加件问商场经营该商品原来一天可获

11、利润多少元？若商场经营该商品一天要获利润元，则每件商品售价应为多少元？【答案】若商店经营该商品不降价，则一天可获利润（元）设后来该商品每件降价元，依题意，得整理得解得，当时，售价为元当时，售价为元答：商店经营该商品一天要获利润元时，每件商品应售价为元或元【例15】 如图所示，在一个长为米，宽为米的矩形广场上，修建三条同样宽的道路，若使每块草坪的面积都是平方米，则道路宽为多少？【解析】注意：是“每块草坪的面积是平方米”【答案】设道路的宽为米，根据题意得米整理得，解得或不符合题意，舍答：道路宽为米【例16】 如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长米，下底长米，上下底相距米，在两腰中点连线（虚线

12、）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等。设甬道的宽为米用含的式子表示横向甬道的面积为_平方米当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽【答案】横向甬道的面积为：依题意得整理得，解得，（不符合题意，舍去）甬道的宽度为米【例17】 如图，有长为米的篱笆，一面用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间有一道篱笆的长方形花圃如果花圃的面积为平方米，求花圃的宽的长花圃的面积能围成平方米吗？如果能，请求出这时花圃的宽的长，若不能，请说明理由花圃的面积能围成平方米吗？若能，请求出这时花圃的宽的长，若不能，请说明理由【解析】注意【答案】设花圃的宽米，则当，解得，当时，不符合题意舍

13、的长为假设能围成，则有，整理得解得，当时，；当时，符合题意故可以围成，这时宽米假设能围成，则有，整理得，解得，当时，不符合题意，故不能围成【例18】 一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，轮感染后，被感染电脑会不会超过台？【答案】设每轮感染中平均一台电脑感染台，根据题意得，解得或（舍）所以每轮感染中，平均一台电脑感染台经过三轮感染，一共有台电脑，超过了台电脑【巩固】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，每个支干长出多少小分支？【解析】设每个支干长出个小分支，则主干有个，

14、支干有个，小分支有个【答案】设每个支干长出个小分支根据题意得解得、（舍）答：每个支干长出个小分支【例19】 如图，中，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动（点到达点运动停止）如果点，分别从点，同时出发秒（）为何值时，？为何值时，可使得的面积等于？【答案】根据题意，知、根据勾股定理，得，即整理得解得（舍）或根据三角形的面积公式，得，则，解得或当或秒时，的面积等于课后作业1. 某市年年底人口万，人均住房面积为平方米，计划在年，年两年内平均增加人口万人，为了使年底人均住房面积达平方米，问该市两年内住房平均增长率必须达到百分之几？（，）【解析】略【答案】设该市两年内住房平均

15、年增长率为，则化简得解得，（不符合题意，舍去）所以2. 当是什么整数时，关于x的方程的两根都是整数？【解析】设方程的两整数根分别是，由韦达定理得 由消去，可得则有 或解得： 或由此或0，分别代入，得或【答案】或3. 已知关于的一元二次方程求证：原方程总有两个实数根请找出的一个合适的值，使这个方程的两个根都是整数，并求出这两个根【答案】原方程总有两个实根由求根公式得，不妨设，此时方程的两根为，4. 某商店购进一种商品，单价元，试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：，若商店每天销售这种商品要获得元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？【答案】

16、根据题意得，整理得解得，件答：每件商品的售价应定为元，每天要售出这种商品件5. 小明将勤工俭学挣得的元钱按一年定期存入儿童银行，到期后取出元用来购买学习用品，剩下的元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共元，求这种存款的年利率【答案】设存款的年利率为，则存款一年本利和为元取出元后，剩余元再存一年，本利和为，根据题意得，方程化简得，解得，（舍去）所以，这种存款的年利率为6. 设方程有整数解，试确定整数的值，并求出这时方程所有的整数解【解析】若，则，此时方程无整数解；若，方程有整数根，则，即，的两根为，故，解得只能取，当时，方程有整数解和；当时，方程无整数解；当时，方程有整数解【答案】当时，方程有整数解和；当时，方程无整数解；当时，方程有整数解7. 如图所示，某海军基地位于处，在其正南方向海里处有一重要目标,在的正东方向海里处有一