分布列解答题

1、菁优网2014年06月02日2216786的高中数学组卷 2014年06月02日2216786的高中数学组卷一解答题（共30小题）1（2014梅州二模）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润（）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（）求的分布列及期望E2（2013浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取

2、出一个黄球2分，取出蓝球得3分（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量为取出此球所得分数若，求a：b：c3（2013陕西）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手（） 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概

3、率；（） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望4（2013山东）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是设各局比赛结果相互独立（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望5（2013湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（

4、单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望6（2012重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响（） 求甲获胜的概率；（） 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望7（2012浙江）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：

5、取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和（1）求X的分布列；（2）求X的数学期望E（X）8（2012天津）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=|XY|，求随机变量的分布列与数学

6、期望E9（2012四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p（）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；（）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望E10（2012陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间（分）12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完

7、业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望11（2012湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示一次性购物量1至4件5 至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%（）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率（注：将频率视为概率）12（2011天津）学校游园活动有这样

8、一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）13（2009重庆）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响求移栽的4株大树中：（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数的分布列与期望14（2009天津）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三

9、等品从这10件产品中任取3件，求：（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率15（2009四川）为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡（）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡

10、人数为随机变量，求的分布列及数学期望E16（2014镇江一模）甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次（1）求甲同学至少有4次投中的概率；（2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望17（2014湛江一模）某校在一次“诊断性”考试中，对该年级的1000名考生的数学成绩进行统计分析，成绩的频率分布直方图如图所示，规定125及其以上为优秀（1）下表是这次考试成绩的频数人布表，求正整数a，b的值；区间人数115，120）50120，125）a125，130）350130，13

11、5）300135，140）b（2）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（3）在（2）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望18（2014盐城二模）某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的（1）求恰有2人申请A大学的概率；（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E（X）19（2014太原一模）某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为12与18，现将这30株树苗的高度编写成如茎叶图（单位：cm

12、）：在这30株树苗中，树高在175cm以上（包括175cm）定义为“生长良好”，树高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非生长良好”，且只有“B生长良好”的才可以出售（1）对于这30株树苗，如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，再从这5株中任选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？（2）若从所有“生长良好”中选3株，用X表示所选中的树苗中能出售的株树，试写出X的分布列，并求X的数学期望20（2014宿迁一模）某品牌汽车4S店经销A，B，C三种排量的汽车，其中A，B，C三种排量的汽车依次有5，4，3款不同车型某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车

13、型等可能（1）求该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率；（2）记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X，求X的分布列及数学期望21（2014苏州一模）设为随机变量，从棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，=0，当四点不共面时，的值为四点组成的四面体的体积（1）求概率P（=0）；（2）求的分布列，并求其数学期望E（）22（2014石家庄二模）某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：一次购物款（单位：元）0，50）50，100）100，150）150，200）200，+）顾客人数m2030n10统计结果显示：10

14、0位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（每人一件）（注：视频率为概率）（）试确定m，n的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；（）现有4人去该商场购物，求获得纪念品的人数的分布列与数学期望23（2014上海二模）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑

15、球不奖励（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布律和数学期望24（2014汕头二模）某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数X的分布列和均值25（2014仁寿县模拟）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T其范围为0，10，分别有五个级别：T0，2）

16、畅通；T2，4）基本畅通； T4，6）轻度拥堵； T6，8）中度拥堵；T8，10严重拥堵，晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制直方图如图所示（）这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？（）从这20个路段中随机抽出的3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望26（2014青岛一模）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止用X表示取球终止时取球的总次数（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随

17、机变量X的概率分布及数学期望E（X）27（2014齐齐哈尔一模）某学生在高考前1个月买了一本数学高考冲刺压轴卷，每套试卷中有10道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确评分标准是“每题仅选一个选项，选对得5分，不选或选错得零分”假设该生在压轴卷（一）的选择题中确定能做对前6题，第79题每题只能排除两个选项是错误的，第10题完全不能理解题意，只能随意猜测（1）求该生选择题得满分的概率；（2）设该学生选择题的得分为X，求X的分布列和数学期望EX，若该生要想每次选择题的平均得分不少于40分，这样才有更大的机会使整卷得到高分120分以上，问是否还应继续努力以提高正确率？28（2014南

18、通一模）从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量是这两点间的距离（1）求概率；（2）求的分布列，并求其数学期望E（）29（2014丽水二模）已知盒中有n个黑球和m个白球，连续不放回地从中随机取球，每次取一个，直至盒中无球，规定：第i次取球若取到黑球得2i，取到白球不得分，记随机变量为总的得分数（）当n=m=2时，求P（=10）；（）若m=1，求随机变量的期望E（）30（2014锦州一模）一个袋子内装有2个绿球，3个黄球和若干个红球（所有球除颜色外其他均相同），从中一次性任取2个球，每取得1个绿球得5分，每取得1个黄球得2分，每取得1个红球得l分，用随机变量X表示取2个球的总得分，

19、已知得2分的概率为（）求袋子内红球的个数；（）求随机变量并的分布列和数学期望2014年06月02日2216786的高中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2014梅州二模）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润（）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（）求的分布列及期望E考点：离散型随机变量及其分布列；互斥事件与对立事件；离

20、散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有专题：计算题分析：（）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果（2）根据顾客采用的付款期数的分布列对应于的可能取值为200元，250元，300元得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望解答：解：（）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，（）根据顾客采用的付款期数的分布列对应于的可

21、能取值为200元，250元，300元得到变量对应的事件的概率P（=200）=P（=1）=0.4，P（=250）=P（=2）+P（=3）=0.2+0.2=0.4，P（=300）=1P（=200）P（=250）=10.40.4=0.2的分布列为 200250300P0.40.40.2E=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大2（2013浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规

22、定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量为取出此球所得分数若，求a：b：c考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有专题：概率与统计分析：（1）的可能取值有：2，3，4，5，6，求出相应的概率可得所求的分布列；（2）先列出的分布列，再利用的数学期望和方差公式，即可得到结论解答：解：（1）由题意得=2，3，4，5，6，P（=2）=；P（=3）=；P（=4）=

23、；P（=5）=；P（=6）=故所求的分布列为 2 3 4 5 6 P（2）由题意知的分布列为 1 2 3 PE=D=（1）2+（2）2+（3）2=得，解得a=3c，b=2c，故a：b：c=3：2：1点评：本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算能力，属于中档题3（2013陕西）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手（） 求

24、观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有专题：概率与统计分析：（I）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1=，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；（II）由题意，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望解答：解：（）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1=，P

25、（A）=，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为；（） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙选中3号歌手的概率为，当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P（X=0）=（1）（1）2=，当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时，这时X=1，P（X=1）=（1）2+（1）（1）+（1）（1）=，当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时，这时X=2，P（X=2）=（1）+（1）+（1）=，当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时，这时X=3，P（X=3）=（）2=，X的分布列如下：X0123P数学期望EX=0×+1&#

26、215;+2×+3×=点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，求出相应的概率4（2013山东）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是设各局比赛结果相互独立（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有专题：概率与统计分析：（1）甲队获胜有三种情形，3：0，3：1，

27、3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；（2）X的取值可能为0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可解答：解：（1）甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜3：0，概率为P1=（）3=；3：1，概率为P2=C（）2×（1）×=；3：2，概率为P3=C（）2×（1）2×=甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率：（2）乙队得分X，则X的取值可能为0，1，2，3由（1）知P（X=0）=P1+P2=；P（X=

28、1）=P3=；P（X=2）=C（1）2×（）2×=；P（X=3）=（1）3+C（1）2×（）×=；则X的分布列为X3210PE（X）=3×+2×+1×+0×=点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题5（2013湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1

29、234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有专题：概率与统计分析：（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望解答：解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的

30、作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X

31、=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=所求的分布列为 Y5148 45 42 P数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=46点评：本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题6（2012重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响（） 求甲获胜的概率；（） 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；

32、离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有专题：计算题分析：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（Ak）=，P（Bk）=（k=1，2，3）（） 记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（）+P（），利用互斥事件的概率公式即可求解；（） 投篮结束时甲的投篮次数的可能值为1，2，3，求出相应的概率，即可得到的分布列与期望解答：解：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（Ak）=，P（Bk）=（k=1，2，3）（） 记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（）+P（）=×+=；（） 投篮结束时甲的投篮次数的可能值为1，2，3P（=1）=P（A1）+P（）=

33、P（=2）=P（）+P（）=P（=3）=P（）=的分布列为 1 2 3 P期望E=1×+2×+3×=点评：本题考查互斥事件概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，理解变量取值的含义，属于中档题7（2012浙江）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和（1）求X的分布列；（2）求X的数学期望E（X）考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）X的可能取值有

34、：3，4，5，6，求出相应的概率可得所求X的分布列；（2）利用X的数学期望公式，即可得到结论解答：解：（1）X的可能取值有：3，4，5，6P（X=3）=；P（X=4）=； P（X=5）=；P（X=6）=故所求X的分布列为X3456P（2）所求X的数学期望E（X）=3×+4×+5×+6×=点评：本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算能力，属于中档题8（2012天津）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1

35、或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=|XY|，求随机变量的分布列与数学期望E考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有专题：计算题分析：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），故P（Ai）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）；

36、（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3A4，利用互斥事件的概率公式可求；（3）的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得的分布列与数学期望解答：解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），P（Ai）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3A4，P（B）=P（A3）+P（A4）=（3）的所有可能取值为0，2，4，由于

37、A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（=0）=P（A2）=P（=2）=P（A1）+P（A3）=，P（=4）=P（A0）+P（A4）=的分布列是 0 2 4 P数学期望E=点评：本题考查概率知识的求解，考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题9（2012四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p（）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；（）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望E考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离

38、散型随机变量及其分布列菁优网版权所有专题：计算题分析：（）求出“至少有一个系统不发生故障”的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为，可求p的值；（）的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得的分布列与数学期望解答：解：（）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，则；（）的可能取值为0，1，2，3P（=0）=；P（=1）=；P（=2）=；P（=3）=；的分布列为 0 1 2 3 P数学期望E=0×+1×+2×+3×=点评：本题考查概率知识的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题10（2012陕西）某银行柜台设有一个服务窗

39、口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间（分）12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，可得Y的分布列，A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且

40、第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟，由此可求概率；（2）确定X所有可能的取值，求出相应的概率，即可得到X的分布列及数学期望解答：解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：Y12345P0.10.40.30.10.1（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟

41、；第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟所以 P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22（2）X所有可能的取值为：0，1，2X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y2）=0.5；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；所以X的分布列为X012P0.50.

42、490.01EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是明确变量的取值与含义11（2012湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示一次性购物量1至4件5 至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%（）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（）若某顾客到达收银台时前面

43、恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率（注：将频率视为概率）考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有专题：应用题分析：（）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可确定，y的值，将频率视为概率，故可求相应的概率，由此可得X的分布列与数学期望；（）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，Xi（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P（A）=P（X1=1且X2=1）+P（X1=1且X2=1.5）+P（X1=1.5且X2=1），由于各顾客的结算相互独立，且Xi（

44、i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，故可得结论解答：解：（）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；将频率视为概率可得P（X=1）=0.15；P（X=1.5）=0.3；P（X=2）=0.25；P（X=2.5）=0.2；P（X=3）=0.1X的分布列 X 1 1.5 2 2.5 3 P 0.15 0.3 0.25 0.2 0.1X的数学期望为E（X）=1×0.15+1.5×0.3+2×0.25+2.5×0.2+3×0.1=1.9（）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，Xi（i=1，2）为该顾客前面第

45、i位顾客的结算时间，则P（A）=P（X1=1且X2=1）+P（X1=1且X2=1.5）+P（X1=1.5且X2=1）由于各顾客的结算相互独立，且Xi（i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，所以P（A）=0.15×0.15+0.15×0.3+0.3×0.15=0.1125故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为0.1125点评：本题考查学生的阅读能力，考查概率的计算，考查离散型随机变量的期望，属于中档题12（2011天津）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个

46、箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有专题：计算题；综合题分析：（I）（i）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，事件数是C52C32，摸出3个白球事件数为C32C21C21；由古典概型公式，代入数据得到结果，（ii）获奖包含

47、摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据（i）求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算要正确，因为第二问要用本问的结果（II）连在2次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望解答：解：（）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai（i=，0，1，2，3），则P（A3）=，（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A2A3，又P（A2）=，且A2、A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=；（）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2P（X=0）=（1）2=，P（X=1）=C21（1）=，P（X=2）=（）2=，所

48、以X的分布列是X的数学期望E（X）=0×点评：此题是个中档题本题考查古典概型及共概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力13（2009重庆）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响求移栽的4株大树中：（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数的分布列与期望考点：离散型随机变量及其分布列；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）甲两株中活一株符合独立重复试验，概率为，同理可算乙两株中活一株的概率，两值相乘即

49、可（2）的所有可能值为0，1，2，3，4，分别求其概率，列出分布列，再求期望即可解答：解：设Ak表示甲种大树成活k株，k=0，1，2Bl表示乙种大树成活1株，1=0，1，2则Ak，Bl独立由独立重复试验中事件发生的概率公式有P（Ak）=C2k（）k（）2k，P（Bl）=C21（）l（）2l据此算得P（A0）=，P（A1）=，P（A2）=P（B0）=，P（B1）=，P（B2）=（1）所求概率为P（A2B2）=P（A1）P（B1）=×=（2）解法一：的所有可能值为0，1，2，3，4，且P（=0）=P（A0B0）=P（A0）P（B0）=×=，P（=1）=P（A0B1）+P（A1B

50、0）=×+×=，P（=2）=P（A0B2）+P（A1B1）+P（A2B0）=×+×+×=，P（=3）=P（A1B2）+P（A2B1）=×+×=P（=4）=P（A2B2）=×=综上知有分布列从而，的期望为E=0×+1×+2×+3×+4×=（株）解法二：分布列的求法同上，令1，2分别表示甲乙两种树成活的株数，则1：B（2，），2：B（2，）故有E1=2×=，E2=2×=1从而知E=E1+E2=点评：本题考查离散型随机变量的分布列、期望、独立重复试验的

51、概率等知识，以及利用概率知识分析问题、解决问题的能力14（2009天津）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品从这10件产品中任取3件，求：（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有专题：计算题分析：（）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从10件产品中任取3件的结果为C103，满足条件的事件是从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73k，写出概率，分布列和期望（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包

52、括三种情况，一是恰好取出1件一等品和2件二等品，二是恰好取出2件一等品，三是恰好取出3件一等品，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果解答：解：（）由题意知本题是一个古典概型，由于从10件产品中任取3件的结果为C103，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73k，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P（X=k）=，k=0，1，2，3随机变量X的分布列是 x 0 1 2 3 pX的数学期望EX=（）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出

53、3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1A2A3而，P（A2）=P（X=2）=，P（A3）=P（X=3）=，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=+=点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的类型题目15（2009四川）为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡（）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（）在该