变截面高速轴的最优化设计

1、变截面高速轴的最优化设计图3-1 轴的简图1问题描述在图3-1所示的变截面轴上，安装有一个质量为Q的轮子。轴的长度为3,各段长度已知，要求解决的问题是确定在满足动力稳定性条件下，轴的质量最小时的直径和。该问题的分析过程如下：1 选择设计变量。此最优化问题有两个设计变量，即要求确定的轴直径和。2 建立目标函数。以轴的质量作为目标函数，选用材料的密度为，则目标函数如下：3.确定约束条件。当轴的旋转速度达到其临界转速时的角速度或横向振动（弯曲振动）的固有频率时，轴便处于共振状态。在大多数情况下，需要进行这种动力稳定性设计的轴，其质量总小于轮子的质量Q，为了简化计算，在确定时时常忽略，而简化为单自由度

2、的振动问题。因此，轴的横向振动的固有频率为：式中g为重力加速度；u为轴的中间截面处的静挠度。按照图3-1给出的条件，根据材料力学可求得：式中E为材料的弹性模量。为保证轴在工作时的动力稳定性，应使式中K为大于1的安全系数。将u的表达式及代入上式，经过整理后得到动力稳定性所要求的等式约束条件为：另外，根据结构尺寸要求的条件为： 因此，装有一个重轮的变截面高速旋转直轴，当以轴的质量为目标函数时，其最优化设计的数学模型为：图3-3 LINGO程序主界面2 实训目的理解“最优化设计”的概念和方法；了解“最优化设计”的建模方法；了解“最优化设计”问题的解决过程；了解LINGO的编程、方法和求解过程。图3-

3、2 求解结果3 结果演示图3-2为此问题的求解结果。3.2.4 实训步骤选择材料密度，材料弹性模量，应用LINGO程序对问题进行最优化求解，具体操作过程如下： 1. 运行LINGO程序。LINGO程序主界面如图3-3所示。 2. 点击下拉菜单“File”，选择“New”或者单击工具栏中的按钮，新建一个优化实例模型LINGO Model(*.lg4). 3.在LINGO Model窗口建立模型，输入以下程序语句：（注意：每一句后面要以分号“；”作为语句的结束。冒号“：”和分号“；”要在英文状态下输入。）model: L=0.4;Q=2;!轮子的质量p=7.8*103;!材料密度;Mg=(3.14

4、*L*p/4)*(2*d12+d22);!轴的质量;min=Mg;!目标函数;!直径约束条件如下;图3-4 求解状态窗口d11=0.01;d12=0.4;d1>=d11;d1<=d12;!直径约束条件如下;d21=0.01;d22=0.4;d2>=d21;d2<=d22;E=200*109;!料性弹材模量;g=9.8;!重力加速度;w=3000;!轴的转速;k=1.3;!安全系数;(3.14*E*g)/(10.67*Q*l3*w2*k2)-(1/d14)+(2.38/d24)=0;!约束条件;END4.模型建立完成后要对模型进行求解：单击下拉菜单“LINGO”选择“So

5、lve”，或者单击工具栏中的模型求解命令按钮。LINGO程序会弹出“LINGO Solve Status”窗口和“Solution Report”窗口。在“LINGO Solve Status”窗口中列出了求解器的有关信息，如图3-4所示，在“Solution Report”窗口中列出了完整的模型求解过程，如图3-2所示。图3-6 求解结果窗口2压杆的最优化设计1问题描述图3-5所示的空心压杆两端受轴向外载荷P。轴的内径为，外径为，支承间距尺寸为。试确定压杆的结构尺寸、和，以保证在压杆不产生屈服并且不破坏压杆稳定性条件下，压杆的体积和重量最小。该问题的分析过程如下：压杆为细长直杆，承受轴向压力

6、，会因轴向压力达到临界值时突然弯曲而失去稳定性。设计压杆，除应使其压力不超过材料的弹性极限外，还必须使其承受的轴向压力小于压杆的临界载荷。压杆在机械装置中应用的例子较多，例如在液压机构中当活塞的行程足够大时，会导致活塞杆足够长，这种细长的活塞杆便是压杆。根据欧拉压杆公式，对与两端均为铰支的压杆，其临界载荷为图3-5 压杆机构简图式中E为压杆材料的弹性模量；J为压杆横截面的最小惯性矩，EJ为抗弯刚度；L为压杆长度。将欧拉公式推广到端部不同约束的压杆，则上式变为式中为长度折算系数，其值将随压杆两端约束形式的不同而异。当两端铰支时取；一端固定，另一端自由时取；一端固定，另一端铰支时取；两端均固定时，

7、取。由欧拉公式可知，与成正比。合理的设计压杆截面形状，使其材料尽量远离形心分布，就能使J增大而提高压更的抗弯刚度EJ，增大临界载荷。所以在相同截面面积的条件下，管状压杆比实心压杆有更大的临界载荷。以管状压杆的内径，外径，长度作为设计变量，以其体积或重量作为目标函数，以压杆不产生屈服和不破坏轴向稳定性以及其尺寸约束条件，则管状压杆最优化设计的数学模型为式中分别为大于1的安全系数；P为设计给定的外载荷。2 实训目的理解“最优化设计”的概念和方法；了解“最优化设计”的建模方法；了解“最优化设计”问题的解决过程；了解LINGO的编程、方法和求解过程。3结果演示图3-6是此问题的最优化解。1.运行LIN

8、GO程序。LINGO程序主界面如图3-3所示。 2. 点击下拉菜单，选择或者单击工具栏中的按钮，新建一个优化实例模型LINGO Model(*.lg4)。 3.在“LINGO Model”窗口建立模型，输入以下程序语句：Model:min=3.14*(d22-d12)*L/4;! 目标函数；!内径约束条件如下; d1min=0.02; d1max=0.03; d1>=dimin; d1<=d1max;!外径约束条件如下; d2min=0.02; d2max=0.03; d2>=d2min; d2<=d2max;!长度约束条件如下; Lmin=0.1; Lmax=1; L>=Lmin; L<=Lmax;!定义安全系数; a=1.2; b=1.3;!外加载荷20kN; P=20*103; E=200*109; !弹性模量; C=350*106; !材料抗压极限; (4*a*P)/(3.14*(d22-d12)<=C;!不产生屈服的约束条件; u=0.5;!长度折算系数; J=3.14*(d24-d14)/64;!刚度系数; P<=(3.142*E*J)/(b*(u*L)2);END图3-7 求解状态窗口4.模型建立完成后要对模型进行求解：单击下拉菜单“LINGO”选择“Sovle”，或者单击工具栏中的模型求解命