完整版8动物繁殖问题

1、一、实验目的了解矩阵的方幕和矩阵的特征值的应用二、实验内容1 .动物繁殖的规律问题2 .冏品的市场占有率问题3 .常染色体遗传问题三、实验仪器和设备1 .计算机假设干台装有 matlab6.5及以上版本软件2 .打印机四、实验要求1 .独立完成各个实验任务；2 .实验的过程保存成.m文件,以备检查;3 .实验结果保存成.mat文件五、实验原理当矩阵的列数与某一个列向量元素个数一致时,用矩阵乘以向量将得到另一向 量,这就是向量的线性变换.当矩阵是方阵时,线性变换可持续进行.即,用矩 阵乘以一个向量得一个新的向量,用同一矩阵再乘以新的向量又获得另一新的向 量,这种运算的本质是用矩阵的方幕乘以最早的

2、哪一个向量.在线性代数 应用中称为矩阵的方幕问题,它和矩阵的特征值问题有密切关系. 对它的研究导 致了矩阵对角化方法,这类方法在生物学研究等方面应用广泛.本章介绍的几个 实际问题包括动物繁殖的规律问题、 商品的市场占有率问题、常染色体遗传特征 问题.一动物繁殖的规律问题某农场饲养的某种动物所能到达的最大年龄为 15岁,将其分为三个年龄组：第 一组05岁；第二组610岁；第三组1115岁.动物从第二个年龄组开始繁殖 后代,第二个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖 4个后代,第三年龄组的动物在 其年龄段平均繁殖3个后代.第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个 年龄组的存活率分别为0.5和0.25

3、.假设农场现有三个年龄段的动物各 1000头, 计算5年后、10年后、15年后各年龄段动物数量.20年后农场三个年龄段的动 物的情况会怎样？ 根据有关生物学研究结果,对于足够大的时间值 k,有 /叫犷人是 莱斯利矩阵L的唯一正特征值)o请检验这一结果是否正确,如果正确给出适当 的k的值.如果每五年平均向市场供给动物数 c=s s s T,在20年后农场动物不至灭绝的 前提下,c应取多少为好？ 1 .问题分析和数学模型由题设,在初始时刻05岁、610岁、1115岁的三个年龄段动物数量分别为：)M.=1000,_ =1000, 一 =1000以五年为一个年龄段,那么某一时刻三个年龄段的动物数量可以

4、用一个向量X=x1 x2 x3 T表示.以五年为一个时间段,记X(k) = x1(k) x2(k) x3(k) T为第k个时间段动物数分布向量.当k= 0, 1, 2, 3时,X(k)分别表示现在、 五年后、十年后、十五年后的动物数分布向量. 根据第二年龄组和第三年龄组动 物的繁殖水平,在第k个时间段,第二年龄组动物在其年龄段平均繁殖 4个后代, 第三年龄组动物在其年龄段平均繁殖 3个后代.由此得第一个年龄组在第 k+1 个时间段的数量如下秒=4染+3烦同理,根据第一年龄组和第二年龄组的存活率,可得等式谈J 05承=0.25 套)建立数学模型如下卜产=4x尹+3君制铲=.5呼1(k = 0,

5、1, 2, 3) (1)工仍叫 na n工时或写成矩阵形式L3 u UQ UJL 3 J ( k = 0, 1, 2, 3)由此得向量X(k)和X( k+1)的递推关系式X(k+1) = LX( k) (3) 其中,矩阵'043"£=0,5000 0.25 0 称为莱斯利矩阵.由式(3)可得X(k+1) = L k+1X (0)2 .程序和计算结果为了计算5年后、十年后、十五年后农场中动物的数量,输入初始数据和莱斯利 矩阵在MATLA呻键入下面命令x0=1000;1000;1000;A=0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0;x1=A*x0x2=A*x1x3=A

6、*x2x4=A*x3可得数据结果x1 = 7000 500 250x2 = 2750 3500 125x3 = 14375 1375 875x4 = 1.0e+003 *8.1250 7.1875 0.3438(x4的数据结果中,1.0e+003是科学计数法.表示用103乘后面的每一个数)为了计算莱斯利矩阵的特征值,键入下面命令eig(A)得数据ans =1.5000 -1.3090 -0.1910这说明矩阵A的唯一正特征值为=1.5为了验证图y阳运行下面程序x=1000;1000;1000;d1=1.5;A=0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0;y=A*x;y1=d1*x;k=1;wh

7、ile max(abs(y-y1)>.1x=y;y=A*x;y1=d1*x;k=k+1;end可知,当K=291时,有结论*卬、4万阳成立.3 .问题解答与进一步思考根据数学模型计算将数据结果填写如下表1k(现在)k=1 (五年后)k二2(十年后)k二3(十五年后)k=4(20 年后)x1100070002750143758125x21000500350013757187.5x31000250125875343.8从表中数据变化,如果没有其它的原因,估计农场的动物总数量会逐步增加.在验证生物学研究的结论 尤的D七乙丫时,当k=291可以得到如下结论x = 1.0e+054 *3.3121

8、 1.1040 0.1840这说明多年以后,动物数量是大得非常惊人的.如果每个五年平均向市场供给动物 c=s s s T,分析动物数分布向量变化规律 可知X(1) = AX(0) - cX(2) = A1) - cX(3) = A2) - cX(4) = A3) - c所以有X(4) = A4X(0) - ( A3 + A2 + A + I )c考虑二十年后动物不灭绝,应有X(4) > 0即(A3 + A2 + A + I )c < A 4X(0)由于c是常数向量,故可简单求解不等式组,可取 c= 152 152 152 T这说明当五年平均向市场供给三个年龄段的动物各 152头可以

9、使20年后有各年 龄段的动物生存.如果将这一限制作为约束条件,而求c的各分量之和最大,这 将是一个线性规划问题,可用单纯形法求解(或利用数学软件见第七章).(-)冏品的市场占有率问题有两家公司R和S经营同类的产品,它们相互竞争.每年R公司保有1/4的顾客, 而3/4转移向S公司；每年S公司保有2/3的顾客,而1/3转移向R公司.当产 品开始制造时R公司占有3/5的市场分额,而S公司占有2/5的市场分额.问两 年后,两家公司所占的市场分额变化怎样,五年以后会怎样？十年以后如何？是 否有一组初始市场分额分配数据使以后每年的市场分配成为稳定不变？问题分析和数学模型根据两家公司每年顾客转移的数据资料,

10、形成以下转移矩阵1323根据产品制造之初,市场的初始分配数据可得如下向量3525所以一年后,市场分配为3525两年后,市场分配为&=盟"4以向量Xn记第n年后市场分配的分额,那么1-43 - 4设有数据a和b作为R公司和S公司的初始市场分额,那么有a + b = 1为了使以后每年的市场分配不变,根据顾客数量转移的规律,有13 a2 b 这是一个齐次方程组问题.如果方程组有解,那么应该在非零解的集合中选取正数解作为市场稳定的初始分额.2、程序和计算结果为了知道两年、五年、十年后市场分配的情况,在MATLA叶键入下面命令A=1/4 1/3;3/4 2/3x0=3/5;2/5x2=

11、AA2*x0x5=AA5*x0x10=AA10*x0可得数据结果x2 = 0.3097 0.6903x5 = 0.3077 0.6923x10 = 0.3077 0.6923由此得下表表2R公司的市场分额S公司的市场分额两年后31%69%五年后31%69%十年后31%69%为了求a和b作为R公司和S公司稳定的初始市场分额,需要求解齐次方程组.键入下面命令format ratrref(A-eye(2)得数据结果ans =1 -4/900由此得化简后的方程a - 4/9 b = 0结合约束条件a + b = 1覆行a= 4/13=31%b= 9/13=69%这是使市场稳定的两家公司的初始分额,也正

12、好与表4-1中的数据相吻合.3、问题的解答和进一步思考在R公司和S公司的市场初始分额分别为60%口 40%勺情况下,根据计算结果, 两年后情况变化较大：S公司大约占31% R公司大约占69%而五年以后与两年 以后比拟变化不大：S公司大约占30.8%, R公司大约占69.2%.十年后的情况与 五年后的情况比拟大约不变.市场已经趋于稳定.是否所有市场初始分配分额,在经过假设干年后均会趋于稳定状态.三常染色体遗传问题假定所考虑的遗传特性由两个基因 A和a来支配,人类的眼睛染色体是通过常染 色体遗传来限制,例如 AA及Aa型产生棕色眼睛,aa型的是兰色眼睛.在常染 色体遗传中,一个个体从它的亲本的每一

13、基因对中遗传一个基因,以形成它自己特殊的基因对：AA, Aa, aa.亲本的两个基因中的哪一个传给后代纯属时机问题, 如果一个亲本是Aa型,后代从这个亲本遗传获得 A基因或a基因的时机是等可 能的.例如,一个亲本是aa型,另一个亲本是Aa型,后代总是从aa亲本接受 一个a基因,再从Aa亲本以等概率或是接受一个 A基因或是接受一个a基因, 结果后代为aa型或者Aa型的概率是相同的.对于各种亲本基因型,后代的可能 基因型的概率可列表如下表4.3亲本 后代AA-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aaAA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21例 假定一

14、个农民有一大片作物,它由三种可能基因型 AA, Aa及aa的某种分布所组成.农民要采用的育种方案是：作物总体中的每种作物都总是用基因型AA的作物来授粉,我们要导出在任何一个后代总体中三种可能基因型的分布表达 式.解记a n n = 0 , 1, 2, 为在第n代中AA基因型作物所占的分数,bn 为在第n代中Aa基因型作物所占的分数,cn为在第n代中aa基因型作物所占 的分数.a0, b0, c0表示基因型的原始分布,且a0 + b0 + c0 = 1由于用基因型AA的作物来授粉,分析基因表前三列数据可知,从上一代的 基因型分布产生的下一代的基因型分布可用以下递推公式求出：其中,第一式说明,基因

15、型 AA的所有后代都是AA型基因,基因型Aa的后代, 有一半是AA型.这一递推公式的矩阵表示为X(n) = MXn - 1) ( n = 1,2,)其中11口1/2 O'".I" 1G-0 0 °JJL由递推公式可得X(n) = MXn - 1) = M 2X( n - 2)=Mn X(0)计算上式有两种方法,即直接计算和将矩阵对角化的计算方法.对角化方法需要 将矩阵M对角化,需要找出一个可逆矩阵 P和一个对角阵D,使M = PDP - 1于是M n = PD nP - 1, ( n =1,2,)其中,端 0 0 D" = 0 虏 000嵋 d1

16、, d2, d3,是M的特征值.所以,只需求得 M的特征值和对应的特征向量,就 可使M对角化.在MATLAM境中输入命令M=1 1/2 0 ; 0 1/2 1 ; 0 0 0;p d=eig(M)得数据结果P =1 -985/1393 881/21580 985/1393 -881/10790 0 881/2158d =I 0 00 1/2 00 0 0这说明,M的三个特征值为di = 1 , d2 = 1/2 , d3 = 0所以可取三个特征值对应的特征向量分由于特征向量乘一非零数仍是特征向量,别为"100D= 0 1/2 0000可逆矩阵II 1 1产=0 -1 -20 01为了

17、求逆矩阵,使用命令P=1 1 1 ; 0 -1 -2 ; 0 0 1; inv(P) 可得数据结果ans =1 1 10 -1 -20 0 1所以“I 1 1P-1 =0-1-20 01由前面递推公式,得 X(n) = PD nP - 1X(0) 而11001-2111in 0 O'00I10-1 -2 0 (1/2)* 001001 0/2尸 1 (l/Z)(1/2 户(1/2 严故'11-(1/2严.= 0(1/2)"(1/2严 X 网000所以%11-(1/2)"1-(1/2+Q.囚=0 (1/2/C1/2/-1 比%000% '/ + 4+&

18、amp;-.犷(1/2广=./2)%+./2广0这是原始基因型分数表示第n代作物总体中三种基因型分数.显然,当n-oo时, 有an一(a0 + b0 + c0)=1 , bn-0, cn-0这说明在极限情况下,总体中所有作物都将是基因型AA的.假设一片彳物是由AA Aa,及aa基因型的某种分布组成,且作物总体中每种 作物不是全部都用基因型 AA授粉,而是用每种作物自身的基因型来授粉.求任 何一个后代总体中三种可能基因型的分布表达式.六、实验任务1 .某一种甲虫最多可活两年.且其年龄群体分配数的矩阵如下：'006'A= 1/2 0 00 1/3 0 i如果有600只在第一年龄群体

19、,300只在第二年龄群体,100只在第三年龄群体, 那么年复一年各年龄群体的甲虫数目是否会改变,从数学上给以解释.2 .假设某一个城市的气候不是下雨就是干旱. 根据以前所保存下来的记录可知, 干旱天之后下雨天为的可能性为1/3,而下雨天之后为下雨天的可能性为 1/2. 试建立数学模型分析气候变化情况.3 .某实验性生产线每年一月份进行熟练工人的人数统计；然后将其1/6的熟练 工人支援其他生产部门,缺额由招收非熟练工人补齐.新、老非熟练工人经过培 训及实践至年终考核有2/5成为熟练工人.设第n年一月份统计的熟练工人和非 熟练工人所占的百分比分别为xn和yn记为向量xn , yn T(1)试推导向

20、量xn , ynT和xn+1, yn+1T的关系,并写成矩阵形式；(2)当x1 , y1T=0.5 , 0.5 T时,求第10年一月份统计的熟练工人和非熟练 工人所占的百分比.5在一城市的某商业区内,有两家有名的快餐店“肯德基分店和“麦当劳分 店.据统计每年“肯德基保有其上一年老顾客的1/3 ,而另外的2/3顾客转移到“麦当劳；每年“麦当劳保有其上一年的老顾客的1/2 ,而另外的1/2顾客转移到“肯德基.用二维向量X k = xk yk T表示两个快餐店市场分配的情况,初始的市场分配为X0 = 1/3 2/3 T如果有矩阵L存在,使得Xk+1 = LXk,那么称L为状态转移矩阵.写出Xk=xk ykT和Xk+1=xk+1 yk+1T的递推关系式,以及状态转移矩阵 Lo(2)根据递推关系计算近几年的市场分配情况； 求可逆矩阵P和对角矩阵A使得L=PAP 1.对于足够大的时间值k,有 Xe电( 4是状态转移矩阵L的唯一正特征值)o请检验这一结果是否正 确,并给出适当的k的值6 .某厂生产A, B两种品牌的味精,顾客的喜好决定了这两种味精的市场占有率. 在生产中可根据占有率调整比例, 获得最正确收益.该厂做市场调查后发现,一般 情况下,顾客假设购置A牌,下次有80%勺可能卜t购置A牌；假设购