电磁感应中的“杆+导轨”类问题大模型解题技巧

1、辅导23:电磁感应中的“杆+导轨”类问题（3大模型）解题技巧电磁感应中的杆+导轨模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三 种观点出发，分角度讨论如下：类型一：单杆+电阻+导轨模型类【初建模型】MN【例题11（2017 淮安模拟）如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨 PQ与水平面的夹角为9 , N Q两点间接有阻值为R的电阻。整个装 置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。将质量为mi阻值也为R的金属杆cd垂直放在导轨上，杆cd由静止 释放，下滑距离x时达到最大速度。重

2、力加速度为g,导轨电阻不计， 杆与导轨接触良好。求：（1）杆cd下滑的最大加速度和最大速度；（2）上述过程中，杆上产生的热量。【思路点拨】：【答案】：（1） gsin 0 ,方向沿导轨平面向下；，方向沿导轨平面向下；（2） mgxsin 9 【解析】：（1）设杆cd下滑到某位置时速度为v,则杆产生的感应电动势 E= BLv 回路中的感应电流I =杆所受的安培力F=BIL根据牛顿第二定律有mgsin 8 = ma当速度v=0时，杆的加速度最大，最大加速度 a=gsin 9 ,方向沿导轨平面向下 当杆的加速度a=0时，速度最大，最大速度Vm=,方向沿导轨平面向下。（2）杆cd从开始运动到达到最大速

3、度过程中，根据能量守恒定律得 mg）sin 8 =Q总+mv2 又Q杆=Q总，所以Q杆 = mgx5in 9 -0【内化模型】单杆+电阻+导轨四种题型剖析题型一（VoW0）题型二（Vo = O）题型三（Vo = 0）题型四（Vo= 0）说明杆cd以一定初速 度Vo在光滑水平轨 道上滑动，质量为 ml电阻不计，两导轨间距为L轨道水平光滑，杆 cd质量为m,电阻 不计，两导轨间距 为L,拉力F恒定倾斜轨道光滑，倾角 为a ,杆cd质里为 两导轨间距为L竖直轨道光滑， 杆cd质量为m 两导轨间距为L示意图力学观占 八、杆以速度V切割磁 感线产生感应电动势E= BLv,电流 I =,安培力F= BIL

4、 =。杆做减速运动： vJ?Fj?aJ,当v =0 时，a = 0,杆 保持静止开始时a=,杆cd 速度v T ?感应电 动势E=BLvt ?I T?安培力F安=81T ,由 FF安 = ma知a J ,当 a = 0 时，v, v rn=开始时a=gsin a , 杆cd速度v T ?感应 电动势E=BLvt ?I T?安培力F 安=81T,由mgsin a -F 安 = ma知 a J ,当 a = 0 时，v 最大，vm=开始时a=g,杆 cd速度v T ?感应 电动势E=BLvf ?I T?安培 力F安=81T,由 mg- F 安=ma 知a J ,当a= 0 时，v最大，vm图像观占

5、 八、能量观占 八、动能全部转化为内能：Q mv2F做的功fs分 转化为杆的动能， fs分转化为内 能：W=并 mvm2重力做的功（或减少 的重力势能）F分 转化为杆的动能，一 部分转化为内能：W=0 mv2重力做的功（或 减少的重力势 能）F分转化 为杆的动能，一部分转化为内能：W= mv2【应用模型】【变式】：此题若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为N。现用沿导轨平面向上的恒定外力F作用在金属杆cd上，使cd由静止开始沿导轨向上运动，求 cd的最大加速度和 最大速度。【答案】：见解析【解析】：分析金属杆运动时的受力情况可知，金属杆受重力、导轨平面的支持力、拉力、摩擦力和安培力五个力的作用，

6、沿斜面方向由牛顿第二定律有：F-mcsin 9 F安一f =ma又F安=81，I= = ,所以F安=81 =f = n N = a mgcos 0故 F-mgsin 0 a mgcos 8 = ma当速度v=0时，杆的加速度最大，最大加速度 am= gsin 0 ii gcos 0 ,方向沿导轨 平面向上当杆的加速度a=0时，速度最大,V m=(F mg sin mg cos_ 2 2B L)2R0类型二：单杆+电容器（或电源）+导轨模型类【初建模型】【例题2】（2017 北京模拟）如图所示，在竖直向下的磁感应强度为 B的匀强磁场中， 两根足够长的平行光滑金属轨道 MN PQ固定在水平面内，相

7、距为Lo 一质量为m的导体棒 cd垂直于MN PQ放在轨道而上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。(1)如图1所示，若轨道左端M P间接一阻值为R的电阻，导体棒在拉力F的作用下以 速度v沿轨道做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间 At内，拉力F所做的功 与电路获得的电能相等。(2)如图2所示，若轨道左端接一电动势为 E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻， 闭合开关S,导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度Vr,求此时电源的输出功率。(3)如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为 C,导体棒在水平拉力的作 用下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随

8、时间变化的图像如图 4所示，已知ti 时刻电容器两极板间的电势差为 U。求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。【思路点拨】：(1)导体棒匀速运动一受力平衡一求出拉力做的功。导体棒切割磁感线产生感应电动势 一产生感应电流一求出回路的电能。(2)闭合开关S-导体棒变加速运动一产生的感应电动势不断增大一达到电源的路端电 压一棒中没有电流一由此可求出电源与电阻所在回路的电流一电源的输出功率。(3)导体棒在外力作用下运动一回路中形成充电电流一导体棒还受安培力的作用一由牛 顿第二定律列式分析。【答案】：见解析【解析】：(1)导体棒切割磁感线，E= BLv导体棒做匀速运动，F=F安，又F安=31,其中I =

9、在任意一段时间At内，拉力F所做白功 W= FvAt=F安vAt = At电路获得的电能AE= qE= ElAt = At可见，在任意一段时间At内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。(2)导体棒达到最大速度Vm时，棒中没有电流，电源的路端电压 U= BL%电源与电阻所在回路的电流1=电源的输出功率P= UI =。(3)感应电动势与电容器两极板间的电势差相等 BLv= U由电容器的U-t图可知U= t导体棒的速度随时间变化的关系为 v= t可知导体棒做匀加速直线运动，其加速度 a=由C=禾口 I =,得I =由牛顿第二定律有FBIL = ma可得F= +。【内化模型】单杆+电容器(或电源)+

10、导轨模型四种题型剖析题型一(V0 = 0)题型二(Vo = 0)题型三(Vo = 0)题型四(Vo= 0)说明轨道水平光滑， 杆cd质量为m,轨道水平光滑，杆 cd质量为m，电阻倾斜轨道光滑， 杆cd质量为m,竖直轨道光滑， 杆cd质量为m电阻不计，两导 轨间距为L不计，两导轨间距 为L,拉力F恒定电阻不计，两导 轨间距为L电阻为R,两导 轨间距为L示意图力学观点S闭合，杆cd 受安培力F,a =,杆cd速度 vf?感应电动 势E感=BLvt ?I J?安 培力 F= BIL J? 加速度a J ,当 E感=£时，v最 大，且vm=开始时a =,杆cd 速度vf?E=BLvt，经过

11、At 速度为v+ A v,E' =BL(v+ Av) , Aq=C(E' E) =CB必v, I =CBL句 F 安=CBL2a, a=,所以 杆匀加速运动开始时a = gsin a ,杆 cd 速 度vT?E=BLvt，经过 At 速度为v+ Av,E' =BL(v +Av) , A q = qE，一§ =CBLA v, I = CBLa F 安=CBL2a, mg5in 民-F安=ma a=, 所以杆匀加速运动开始时a= g,杆 cd 速度 vf?E= BLvt，经过 At 速度为v+ A v,E' =BL(v+Av), A q=C(E -E)=C

12、BLX v, I =CBLa F 安= CBL2a, mg- F 安 =m a=,所以杆匀加速运动图像观点能量观点电源输出的电能转化为动能：1 A f2%= m%F做的功fS分转 化为动能，fs分 转化为电场能：W2 , L=mv+ Ed重力做的功fs 分转化为动能， FS分转化为电 场能：W= mv +Ed重力做的功fs 分转化为动能， FS分转化为电 场能：W= mv+Ec【应用模型】【变式】：例题2第(3)问变成，图3中导体棒在恒定水平外力F作用下，从静止开始 运动，导轨与棒间的动摩擦因数为 小，写出导体棒的速度大小随时间变化的关系式。【答案】：v = t【解析】：导体棒由静止开始做加速

13、运动，电容器所带电荷量不断增加，电路中将形成充电电流，设某时刻棒的速度为 v,则感应电动势为：E= BLv电容器所带电荷量为：Q= CE= CBLv再经过很短一段时间 At,电容器两端电压的增量和电荷量的增量分别为AU= AE=BLA vAQ= CA U= CBLA v流过导体棒的电流：I = = = CBLa导体棒受到的安培力：f i = BIL = C百L2a导体棒所受到的摩擦力：f 2= n mg由牛顿第二定律得：Ff i f 2 = ma联立以上各式解得：a =显然导体棒做匀加速直线运动，所以导体棒的速度大小随时间变化的关系式为:v= t 0类型三：双杆+导轨模型类【初建模型】【例题3

14、】(1)如图1所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度 为B的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计，导轨间的距离为l ,两根质量均为m电阻均为R的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与 导轨保持垂直。在t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小包为F的力作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动，试分析金属杆甲、乙的收尾运动情况。(2)如图2所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，导轨上横放着 两根导体棒ab和cd,构成矩形回路。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，设两导 体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，棒 cd静止

15、，棒ab有指向棒cd的初速度。若两导 体棒在运动中始终不接触，试定性分析两棒的收尾运动情况。【思路点拨】：(1)金属杆甲运动产生感应电动势一回路中有感应电流一乙受安培力的作用做加速运动 一可求出某时刻回路中的总感应电动势一由牛顿第二定律列式判断。(2)导体棒ab运动，回路中有感应电流一分析两导体棒的受力情况一分析导体棒的运动 情况，即可得出结论。【答案】：见解析【解析】：(1)设某时刻甲和乙的速度大小分别为 vi和V2,加速度大小分别为ai和a, 受到的安培力大小均为R,则感应电动势为：E= Bl(v1 V2)感应电流为：I二对甲和乙分别由牛顿第二定律得：F F1 = ma, F1 = ma当

16、V1 丫2=定值(非零),即系统以恒定的加速度运动时 a1 = a2解得a1 = a2=可见甲、乙两金属杆最终水平向右做加速度相同的匀加速运动，速度一直增大。(2)ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，回路中 产生感应电流。ab棒受到与运动方向相反的安培力作用做减速运动，cd棒则在安培力作用下做加速运动，在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路中总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续 加速。两棒达到相同速度后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相 同的速度v水平向右做匀速运动。【内化模型】三大观点透彻解读双杆模型示意图力学观点图像观点能量观点导

17、体棒i受安培力的作用做加 速度减小的减速运动，导体棒2 受安培力的作用做加速度减小 的加速运动，最后两棒以相同 的速度做匀速直线运动棒i动能的减少量 =棒2动能的增加 量+焦耳热两棒以相同的加速度做匀加速 直线运动外力做的功二棒i 的动能十棒2的动 能+焦耳热【应用模型】XXXX【变式】：若例题3(1)中甲、乙两金属杆受包力作用情况如图 所示，两杆分别在方向相反的包力作用下运动(两杆不会相撞)，试分 析这种情况下甲、乙金属杆的收尾运动情况。【答案】：见解析ai和甲、乙受到【解析】：设某时刻甲和乙的速度分别为 vi和V2,加速度分别为 的安培力大小均为Fi,则感应电动势为：E= Bl(viV2)

18、 感应电流为：I二对甲和乙分别应用牛顿第二定律得：Fi-BIl =ma, BIl F2= ma当Vi V2=定值(非零),即系统以恒定的加速度运动时 a1 = a2解得：ai = a2 =可见甲、乙两金属杆最终做加速度相同的匀加速运动，速度一直增大。辅导23:电磁感应中的“杆+导轨”类问题(3大模型)解题技巧训练题i.如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距 l=,左端接 有阻值R=Q的电阻。一质量m=、电阻r=Q的金属棒MNt置在导轨上，整个装置置于 竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度 B=。棒在水平向右的外力作用下由静止开始以 a=2m/s2的加速度做匀加速运动，当

19、棒的位移 x = 9m时撤去外力，棒继续运动一段距离后停 下来，已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比 Q : Q= 2 ： i。导轨足够长且电阻不计， 棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求：(i)棒在匀加速运动过程中，通过电阻 R的电荷量q；(2)撤去外力后回路中产生的焦耳热Q;制产 外力做的功W。号匕(2) (20i7 常州检测)如图所示，水平面内有两根足够长的平行导轨FLi、L2,其间距d=,左端接有容量C= 2000 口的电容。质量20g的 P 导体棒可在导轨上无摩擦滑动，导体棒和导轨的电阻不计。整个空间存在着垂直导轨所在平 面的匀强磁场，磁感应强度 B= 2T。现

20、用一沿导轨方向向右的恒力 巳 =作用于导体棒，使导 体棒从静止开始运动，经t时间后到达B处，速度v = 5m/s。此时，突然将拉力方向变为沿 导轨向左，大小变为F2,又经2t时间后导体棒返回到初始位置 A处，整个过程电容器未被 击穿。求(i)导体棒运动到B处时，电容C上的电量；(3) t的大小；(4) F2的大小。3.如图所示，两根竖直固定的足够长的金属导轨 ab和cd XIx Ll相距L=,另外两根水平金属杆 MNffi PQ的质量均为m 10kg, rf 7它 工, 可沿导轨无摩擦地滑动，MN干和PQ杆的电阻均为R=。(竖直金丹 月 ,属导轨电阻不计)，PQ干放置在水平绝缘平台上，整个装置

21、处于垂直导轨平面向里的磁场中，一2g 取 10m/s。(1)若将PQ杆固定，让MNff在竖直向上的恒定拉力F=的作用下由静止开始向上运动， 磁感应强度B=,杆MN的最大速度为多少？(2)若将MNW固定，MNf口 PQ的间距为d=,现使磁感应强度从零开始以=s的变化率 均匀地增大，经过多长时间，杆 PQ对地面的压力为零？4.如图所示，两平行且无限长光滑金属导轨 MN PQ与水平面的夹角为9 =30° ,两 导轨之间相距为L=1m,两导轨M P间接入电阻R=Q,导轨电阻不计。在abdc区域内有 一个方向垂直于两导轨平面向下的磁场I ,磁感应强度为R=1T,磁场白宽度X1 = 1m,在cd

22、连线以下的区域有一个方向也垂直于两导轨平面向下的磁场H ,磁感应强度为 B=。一 个质量为m= 1kg的金属棒垂直放在金属导轨上，与导轨接触良好，金属棒的电阻r=Q。若将金属棒在离ab连线上端X。处自由释放，则金属棒进入磁场I恰好做匀速直线运动。金 属棒进入磁场II后，经过ef时系统达到稳定状态，cd与ef之间的距离X2=8mr(g取10m/s2)(1)求金属棒从开始静止到在磁场R中达到稳定状态这一过程中电阻R产生的热量；(2)求金属棒从开始运动到在磁场II中达到稳定状态所经过的时间。辅导23:电磁感应中的“杆+导轨”类问题(3大模型)解题技巧训练题参考答案1 .【答案】：(1);；(3)。【

23、解析】：(1)设金属棒做匀加速运动的时间为 At,回路中磁通量的变化量为 A，回路中产生的平均感应电动势为，则由法拉第电磁感应定律得=,其中 A=Blx设回路中的平均电流为，则由闭合电路欧姆定律得=通过电阻R的电荷量q=At联立以上各式，代入数据解得q=。(2)设撤去外力时棒的速度为v,在棒做匀加速运动的过程中，由运动学公式得 v2=2ax 设棒在撤去外力后的运动过程中安培力做的功为W由动能定理得 W。一mV撤去外力后回路中产生的焦耳热Q= W代入数据解得Q=。(3)由题意知，撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q : Q= 2 ： 1,可得Q =在棒运动的整个过程中，由功能关系可知W= Q+Q

24、=。2 .【答案】:(1)1 X10 2C; (2) ; (3)。【解析】：(1)当导体棒运动到B处时，电容器两端电压为 U= Bdv= 2XX5V= 5V 此时电容器的带电量q= CUh 2000X 106 x 5 C = 1 X 10 2Co棒在F1作用下有F1BId = ma,又 I = = , a=联立解得：a = = 20 m/s 2贝 U t =。(3)由(2)可知棒在F2作用下，运动的加速度a2=,方向向左，又 a1t2= 一 a1t 2t 1a2(2t)2将相关数据代入解得F2=。3 .【答案】：(1)s ; (2)10s。【解析】：(1) MN干切割磁感线产生的感应电动势为Ei = BoLv由闭合电路