解三角形知识点汇总和典型例题

1、解三角形讲义授课对象杨文、黄银授课教师程锐授课时间3月11日授课题目解三角形复习总结课 型复习课使用教具人教版教材教学目标熟练掌握二角形六兀素之间的关系，会解二角形教学重点和难占八、灵活解斜三角形纶受教材人教版必修5第一章教学流程及授课详案解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1 .直角三角形中各元素间的关系：在4中，C= 90 , = c, =b, = a。(1)三边之间的关系：a2+b2=c2。(勾股定理)(2)直角之间的关系：A+ B= 90° ;(3)边角之间的关系：(直角三角函数定义)=，=X =Xc2 .斜三角形中各元素间的关系：在中，A B C为其内角，a、b

2、、c分别表示A B C的对边。(1)三角形内角和：A+ B+ C=兀。(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等X 1( R为外接圆半径)(3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两 边与它们夹角的余弦的积的两倍a2=b2+ c2-2; b2 =c2 + a2-2; c2 =a2 + b2 2。3 .三角形的面积公式：(1)回=m=习=m(、分别表示a、b、c上的高)；(2)巴=0 = 0 = 0;4 .解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元 素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地， 这里所说的元素还可以包括

3、三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型：(1)两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(2)两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5 .三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意 三角形自身的特点。(1)角的变换因为在中，兀，所以()；(尸()=-o_I；(2)判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边 的形式或角的形式.6 .求解三角形应用题的一般步骤：(1)分析：分析题

4、意，弄清已知和所求；(2)建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示 意图；(3)求解：正确运用正、余弦定理求解；(4)检验：检验上述所求是否符合实际意义。二、典例解析题型1:正、余弦定理例1. （1）在日中，已知日，目，后口 ，解三角形；（2）在日中，已知臼，耳，二J ,解三角形（角度精确到回， 边长精确到1）。解：（1）根据三角形内角和定理，.一J 囚K ；根据正弦定理，I ;根据正弦定理，1I（2）根据正弦定理，.I因为回国，所以口，或山当日时，=一-,当m时,点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运

5、算可使用计算器口题型2:三角形面积例2 .在皿中， =,日，g ,求皿的值和三 的面积。11 / 15解法一：先解三角方程，求出角 A的值。解法二：由计算它的对偶关系式的值。+得一得从而以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着 重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为 哪一种解法比较简单呢？题型3:正、余弦定理的综合应用例3.在中，a、b、c分别是/A、/R /C的对边长，已知a、b、c 成等比数列，且a2c2,求/ A的大小及 囚 的值。分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求/ A,需找/A与三 边的关系，故可用余弦定理。

6、由b2可变形为X，再用正弦定理可求 目 的 值。解法一： a、b、c成等比数列，b2。又 a2c2,b22 a2。在中，由余弦定理得： 三 三可，/60。在中，由正弦定理得 上，: b2,/60 ,I 60 =可。解法二：在中， 由面积公式得且也。. b2, /60 ,.2。评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角 之间的关系常用正弦定理。题型4:正、余弦定理判断三角形形状例4.在4中，若2=,则的形状一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2= (A+ B)(A B) =0, .2B另解：角化边点评：本题考查了三角形的基本性质

7、，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径题型5:三角形中求值问题例5.二j的三个内角为 g ，求当a为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。解析：由兀，得=,所以有。2 2 =1 22 + 2= -2( - )2+ ;当=，即时，2取得最大值为。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数 的形式，通过三角函数的性质求得结果。题型6:正余弦定理的实际应用例6. （2009辽宁卷文，理）如图，都在同一个与水平面垂直的平面内，B,距距A处测得B点和D点的仰D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 角分别为 因，区，于水面C处测得B点 点的仰角均为凹，0.1。

8、试探究图中B, D间 离与另外哪两点间距离相等，然后求 B, D的 离（计算结果精确到0.01,旧回1.414,区虫2.449）在中,解:在中，/ 30° , Z 60 一 / 30, 所以 0.1 又/ 180 -60 -60 =60 , 故是底边的中垂线，所以，因此， 1故B, D的距离约为0.33。点评：解三角形等内容提到高中来学习， 又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展， 但也不 可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。三、思维总结1.解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如 A、B、

9、C）,由=兀求C,由正弦定理求a、b；(2)已知两边和夹角(如a、b、c),应用余弦定理求c边；再应用正 弦定理先求较短边所对的角，然后利用 =兀，求另一角；(3)已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A),应用正弦定理求B, 由=兀求C,再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；(4)已知三边a、b、c,应余弦定理求 A B,再由=兀，求角 C2 .三角学中的射影定理：在4 中， 1 一 ,3 .两内角与其正弦值：在 中，一,4 .解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。三、课后跟踪训练1. (2010上海文数18.)

10、若4 山 的三个内角满足=一,则 山 ()(A) 一定是锐角三角形.(B) 一定是直角三角形.(C) 一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由 一及正弦定理得5:11:13由余弦定理得x ,所以角C为钝角2. (2010天津理数7)在中，内角的对边分别是，若J ,二J ,则()(A)目(B)回(C)与(D)日【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由正弦定理得所以 1 - IX ,所以300【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、 余弦定理将边化为角运算或 将角化为边运算。3. （2010湖北理数）3.在 皿 中，151060&#

11、176;，则臼=A 一日 B 目 C mDg【答案】D【解析】根据正弦定理三I 可得士J解得3 ,又因为田，则山，故B为锐角，所以 x ,故d正确.4. （2010广东理数）11.已知分别是的三个内角所对的边，若 1臼，2B, 则.解：由2B及180 知，B =60 .由正弦定理知，I x1 ,即区.由皿知，NI ,则日，LL 5. （2009湖南卷文）在锐角 日 中， 一 I 则 因 的值等于，斗的取值范围为解析 设由正弦定理得L 1由锐角三得-一三三一,又L一三=_,故,6. (2009全国卷I理)在 目中，内角A B、C的对边长分别为回、三、可，已知 I I ,且. 求b分析：此题事实上

12、比较简单，但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差 ，导致找 不到突破口而失分.解法：在 口 中则 由正弦定理及余弦定理有：d =(角化边) 化简并整理得：LJI .又由已知 江三1 =1 .解得X I .7. 在中，已知A、B C成等差数列，求一 | 的值。解析：因为A、B、C成等差数列，又A+ B+ C= 180° ,所以A+ C= 120 , 从而 国 =60 ，故 目 .由两角和的正切公式，得二I所以一 .点评：在三角函数求值问

13、题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未 知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。8. （2009四川卷文）在 自中， 口 为锐角，角所对的边分别为 L=J ,且 I（I）求0的值；（）若 L=1,求目的值。解（I） 日为锐角，k 二J,（）由（I）知叵,国由 X 得一 I ,即 I X I又9. （2010陕西文数17）（本小题满分12分）在中，已知45是边上的一点，10146,求的长.解在中，10146,由余弦定理得I 一，120 ,60在中，10,45 ,60 ,由正弦定理得|,10. （2010辽宁文数17）（本小题满分12分）在日中，目分别为内角巨的对边,且J（I ）求包的大小；（H）若,试判断