向量数乘运算及其几何意义修改

1、特点：特点：共起点，连终点，方向指向被减向量共起点，连终点，方向指向被减向量1.1.向量向量加法加法三角形法则三角形法则: :aABbCabaAbBOCab特点特点: :首尾相接，连首尾首尾相接，连首尾特点特点:同一起点同一起点,对角线对角线b a b Ba ABAab O2.2.向量向量加法加法平行四边形法则平行四边形法则: :3.3.向量向量减法减法三角形法则三角形法则: : 思考：思考：已知非零向量已知非零向量 , 作出作出 和和 , 你能说明它们的几何意义吗？你能说明它们的几何意义吗？ aaaa()()()aaa aBACOaaaNMQPaaaOCOAABBCaaa PNPQQMMNa

2、aa （）（）（）3a -记作 3a 记作 一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，aa|;aa（1 1）（2 2）当）当 时，时， 的方向与的方向与 的方向的方向相同相同； 当当 时，时， 的方向与的方向与 的方向的方向相反相反。aa0aa0特别的，当特别的，当 时，时，00.a一.向量数乘的定义它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：课本课本P90,ex.2P90,ex.23 3练一练练一练: :a3(2 )a3(2 )a6a=abab22ab2a2b2()22abab3 26

3、222,()()(), ,(), aaaa babab ( (1 1) )根根据据定定义义 求求作作向向量量和和为为非非零零向向量量并并进进行行比比较较，看看看看它它们们有有何何关关系系？( (2 2) )已已知知向向量量求求作作向向量量和和并并进进行行比比较较，看看看看它它们们有有何何关关系系？探探究究设设 为实数，那么为实数，那么, (1) ()() ;(2)();(3) ().aaaaaabab 特别的，我们有特别的，我们有()()(),().aaaabab 向量的向量的加加、减减、数乘数乘运算统称为向量的运算统称为向量的线性运算线性运算.对于对于任意向量任意向量 ，以及任意实数，以及任

4、意实数 ，恒有，恒有ab ，1212().abab 12, 结合律结合律分配律分配律分配律分配律运算律：运算律：仍是向量仍是向量例例1.计算：计算：34322332();()();()().(1)(2)(3)aababaabcabc 13 412( )()aa 原原式式233225( )ababab 原原式式解解:二.例题讲解3233252( )abcabcabc 原原式式2 263 ) 3( 342 );3()2(2 )4()0 .abcabcxaxaxabx 计算:(1) （2）已知求141269126abcabc解：（）原式13a2 33244440 xaxaxab（ ）由已知得：34x

5、ab 340 xab即练习练习: :?,),0() 1 (位置关系如何则若baaab?),0(/)2(是否成立则若abaab/ba成立成立课本课本P90,ex.5P90,ex.5练一练练一练: :思考：思考：向量共线定理向量共线定理0.),(,ababa向量与 共线 当且仅唯一一个当有实数使abab即 与 共线ba(0)a （重点）（重点）课本课本P90,ex.4P90,ex.4练一练练一练: :例例2.如图，已知任意两个向量如图，已知任意两个向量 ，试作，试作a b 、2 ,3 .OBab OCab ,OAab 你能判断你能判断A、B、C三点之三点之间的位置关系吗？为什么？间的位置关系吗？为

6、什么？abab2b3bABCO解解: 2 -() 3 -()2ABOBOAababbACOCOAababb 2ACAB , ,A B C故三点共线小结小结:121212122362348:eeABee BCee CDeeAB 已知两个非零向量 和 不共线，如果，求证、 、D三点共线.例例3. .如图：已知如图：已知 ， ，试判断，试判断 与与 是否共线是否共线 ABAD 3BCDE3 ACAEABDECBCAB 33BCAB3AC 3 与与 共线共线 AEACDEADAE 解解：ABCMabD, ,.ABCDMABaADba bMA MB MCMD 例4.如图,的两条对角线相交与点且用表示和1

7、11222MCACab 1111()2222MDMBDBabab 1111()2222MAACabab 1111()2222MBDBabab :. ABCDACABADabDBABADab 解 在中() 如图所示，D是 ABC的边AB上的中点，则向量CD11221122 BCBABCBAC BCBA BCBA练习练习:ADCBA3334220 ( ) A.ba(a),a,b B.mab,nab,m / /n C.a,b ab. D.abcabc 1 1. .下下列列各各式式叙叙述述不不正正确确的的是是为为非非零零向向量量 则则共共线线则则若若共共线线, ,则则存存在在唯唯一一的的实实数数 使使

8、得得, ,则则练习练习:C1321123333ABCDABD=2DB, CD=CA+ C ,( ) A. B. C.- D.- AB2 2. .在在三三角角形形中中, ,已已知知 是是边边上上一一点点, ,若若则则A33 ., , , ,( ). . . . oABCDA B Ca b cODAabcB abcC abcD abc已已知知一一点点 到到平平行行四四边边形形的的 个个顶顶点点的的向向量量分分别别为为则则向向量量等等于于B4.,.2.ABCDEFADBCABDCEF 如图 在任意四边形中、分别是、的中点求证：AEBDFC1212124. e eeeekek 6 6 . .设设 ，是

9、是两两个个不不共共线线的的向向量量，而而和和2 2共共线线，求求实实数数 的的值值12124 eeeke 解解：和和2 2向向量量共共线线12124,() ekeee 存存在在实实2 2使使得得数数8k 24k 0() a a 5 5. .求求已已知知向向量量的的 单单位位向向量量. .12124 ekeee 即即2 2小小 结结一、一、实数与向量可以实数与向量可以相乘相乘，其积仍是向量，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减但实数与向量不能相加、相减. .实数除以向量实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量. .0a00a a(0)a baa

10、b教材教材P91ex.2.2A组组9、10、 12、13和和B组组3；课后作业课后作业向量数乘向量数乘习题课习题课思考思考1 1：如图，设点如图，设点M M为为ABCABC的重心，的重心，D D为为BCBC的中点，那么向量的中点，那么向量 与与 ， 与与 分别有什么关系？分别有什么关系？B Duuu rB Cuuu rA Duuu rD Muuuu rABCDM对于任意一个三角形：对于任意一个三角形：三角形的三角形的高的交点高的交点叫叫三角形的三角形的中线的交点中线的交点叫叫三角形的三角形的角平分线的交点角平分线的交点叫叫三角形的三角形的中垂线的交点中垂线的交点叫叫唉！心真多！你可别心多烂了肺

11、哈！唉！心真多！你可别心多烂了肺哈！三角形的三角形的外角平分线的交点外角平分线的交点是是 既然是既然是“旁人的心旁人的心”，就少管！，就少管！记忆法：记忆法：垂者高也，垂心；垂者高也，垂心；重重（中），谐音，重心；（中），谐音，重心；内切圆的内切圆的圆心，内心；圆心，内心；外接圆的圆心，外心外接圆的圆心，外心垂心垂心；重心重心；内心内心；外心外心 。旁心。旁心。思考思考1 1：如图，设点如图，设点M M为为ABCABC的重心，的重心，D D为为BCBC的中点，那么向量的中点，那么向量 与与 ， 与与 分别有什么关系？分别有什么关系？B Duuu rB Cuuu rA Duuu rD Muuuu

12、 rABCDM12B DB C=uuu ruuu r3A DD M= -uuu ruuuu r三角形重心性质定理：三角形重心性质定理：三三角形的重心把中线分成两角形的重心把中线分成两部分，它到顶点的距离是部分，它到顶点的距离是它到对边中点距离的它到对边中点距离的2倍倍1.,1.,3 .DABCBCBDBCABaACbAD 是中边上一点 且设则1.,1.,3 .DABCBCBDBCABaACbAD 是中边上一点 且设则1(2)3ab. MPMNQPNQ2. .ABACBDCD . DCADAB. ADODOA. MPMNQPNQ2. .ABACBDCD . DCADAB0. ADODOA. MPMNQPNQ2. .ABACBDCD . DCADAB00. ADODOA. MPMNQPNQ2. .ABACBDCD . DCADAB00. ADODOACB . MPMNQPNQ2. .ABACBDCD . DCADAB00. ADODOACB 013.,/ /,4,1 2 3 4 5 ABCADABDEBCACEABCNABaACbAEBCDEDBEN 在中且与边相交于点的中线AM与DE相交