IIR数字滤波器课程设计方案[]

1、课程设计报告专业班级课 程题 目学 号学生姓名指导教师年 月基于 MATLAB 的 IIR 数字带通滤波器设计一、数字滤波器数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。数字滤波实质上是 一种运算过程，实现对信号的运算处理。输入数字信号(数字序列)通过特定 的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算 的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输出与输入关系 的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完 成对输入数据的处理。时域离散系统的频域特性:家:严,-空：严f产1,其中分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性(或称为频谱

2、特性)，二八是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱二r 经过滤波后.-,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择.，使得滤波 后的，满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。IIR数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型 I十：丫5 亍来实现，其差分方程为：设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、

3、阻带截 止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。、IIR 数字滤波器设计方法IIR数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为假设M N,当M N时，系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个(M-N)的FIR子系统的级联。IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数和.，它是数 学上的一种逼近问题，即在规定意义上(通常采用最小均方误差准则)去逼近 系统的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z平面上去逼 近，就得到数字滤波器。1.用脉冲相应不变法设计IIR数字滤波器利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波 器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。脉冲响应不变法

4、是从滤波器的脉 冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h( n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)，即将ha(t)进行等间隔采样，使h(n)正好等于ha(t)的采样值，满足h(n)=ha( nT)式中,T是采样周期。如果令H(s)是ha(t)的拉普拉斯变换，H(z)为h(n)的Z变换，利用采样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得1 旳1 旳f2 兀、X(Z)z” =1送 Xa(S_jk0s)=l2：XaS_j 宇 kITTIT 丿系统函数为:(1-1)则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的S平面变换成数字滤波器的ZsT平面，这个从s到z的变换z=e是从S平面变换到Z平面的标准变换关

5、系式。频率以内时，即出（沪。冷3）才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响 应，而不产生混叠失真，即1（时、H（e=丄HajI 3 l2tan碣芍tanrm .i ! ndj叮图1-3双线性变换n/T到n/T段1Rez-富JT2式中，T仍是采样间隔。z 平面当Q1由-n/T经过0变化到S 平面n/T时，Q由-%经过0变化到+x，也即映射了整个jQ轴。将式（1-5）写成叮T/2厶卩戸/2c 2 e-ejj島E1-将此关系解读延拓到整个6飞平面和S1平面，令jQ=s，jQ1=s1，则得_s1TsST/2 2tanJsT2再将S11平面fa过以8下标准1变换关系映射到U平面z=

6、es1T从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为:2 1 -z4(1-6)彳T 21 s sz2T_式一乃巧)2与式(1-7)是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换式(1-5)与式(1-6)的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。 首先,把z=ejS可得2 1e如.2+窗.cs = = J tan I= jOT1+e T2 !即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。其次， 将s=(T +jQ代入式(1-8)，得 因此由此看出，企辽0时,半平面映映射射到 ?平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆 外，S平面的虚轴映射到门Z平面的单位圆上。因

7、此，稳定的模拟滤波器经双线 性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。双线性变换法优缺点双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个JQ轴 单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式(1-8)所示，重写如下：上式表明，S平面上Q与Z平面酹怕成非线性的正切关系，如图7-7所示。T12.丿由图7-7看出，在零频率附近，模拟角频率Q与数字频率3之间的变换关 系接近于线性关系；但当Q进一步增加时，3增长得越来越慢，最后当 时，3终止在折叠频率3=n处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过 折叠

8、频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。图1-4双线性变换法的频率变换关系但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式(1-8)及图1-4所示。由(1-7)(1-8)_ 亠：2 j 1| z|0时，I z|1。也就是说，S平面的左这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问只co个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字二 题。首先， 滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数 (这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性)，不然变 换所产生

9、的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如 图1-5所示。后正好映射到所需要的数字频率上。三、IIR 数字带通滤波器设计过程:根据以上IIR数字滤波器设计方法，下面运用双线性变换法基于MATLAB设计一个IIR带通滤波器，其中带通的中心频率为3p0=0.5n，。通带截止频率3p1=0.4n,3p2=0.6n。通带最大衰减ap=3dB。阻带最小衰减as=15dB。阻 带截止频率3s2=0.7n1.设计步骤：(1)根据任务，确定性能指标：在设计带通滤波器之前，首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标：带通滤波器的阻带边界频率关于中心频率3p0几何对称，因此ws1=wp0-(ws

10、2-wp0)=0.3n通带截止频率wc1=0.4n,wc2=0.6n。阻带截止频率wr1=0.3n，wr2=0.7n;阻带最小衰减as=3dB和通带最大衰减ap=15dB用Q=2/T*tan(w/2)对带通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变，得到带 通模拟滤波器H(s)的边界频率主要是通带截止频率3p1,3p2。阻带截止频率3s1，3s2的转换。为了计算简便，对双线性变换法一般T=2s通带截止频率wc1=(2/T)*tan(wp1/2)=tan(0.4n/2)=0.7265wc2=(2/T)*tan(wp2/2)=tan(0.6n/2)=1.3764阻带截止频率wr1=(2/T)*tan(

11、ws1/2)=tan(0.3n/2)=0.5095图1-5双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射1 !|双线性变换后,I arg 卜0( j!特o_L_可以通I八J仃；:|o波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的 一、节 过频率的预畸来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变g，然后经变换对于分段常数的滤口曰器,ns)心wr2=(2/T)*tan(ws2/2)=tan(0.7n/2)=1.9626阻带最小衰减a S=3dB和通带最大衰减a p=15dB(3)运用低通到带通频率变换公式 入=(QA2)-(Q0A2)/(B*Q)将模拟带通滤波器指标转换为模拟低通滤波器指标。B=

12、wc2-wc1=0.6499n ormwr1=(wr1A2)-(w0A2)/(B*wr1)=2.236n ormwr2=(wr2A2)-(w0A2)/(B*w r2) )=2.236n ormwc1=(wc1A2)-(w0A2)/(B*wc1)=1n ormwc2=(wc2A2)-(w0A2)/(B*wc2)=1得出，normwc=1, normwr=2.236模拟低通滤波器指标：normwc=1 normwr=2.236,ap=3dB,as=15dB(4)设计模拟低通原型滤波器。用模拟低通滤波器设计方法得到模拟低通滤波器 的传输函数Ha(s)。借助巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切

13、比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等。(5)调用Ip2bp函数将模拟低通滤波器转化为模拟带通滤波器。(6)利用双线性变换法将模拟带通滤波器Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z).2.程序流程框图：开始读入数字滤波器技术指标将指标转换成归一化模拟低通滤波器的扌 设计归一化的模拟低通滤波器阶数N和3db截止频率模拟域频率变换，将G(P)变换成模拟带通滤波器H(s)用双线性变换法将H(s)转换成数字带通滤波器H(z)输入信号后结束显示相关结果3.MATLABS序:MATLAB程序如下:clear wp1=0.4*pi。wp2=0.6*pi。As

14、=15b T=2。数字带通滤波器技术指标%计算带通滤波器的阻带下截止频率。wc2=(2/T)*tan(wp2/2)。wr2=(2/T)*tan(ws2/2)。%频率预畸变normwr1=(wr1A2)-(w0A2)/(B*wr1)normwr2=(wr2A2)-(w0A2)/(B*wr2)normwc1=(wc1A2)-(wOA2)/(B*wc1) normwc2=(wc2A2)-(wOA2)/(B*wc2) ifabs(normwr1)abs(normwr2)normwr=abs(normwr2)else normwr=abs(normwr1)end normwc=1。%N=buttord(

15、normwc,normwr,Ap,As,s)N和3db截止频率bLP,aLP=butter(N,normwc,s) G(p)bBP,aBP=lp2bp(bLP,aLP,wO,B)。 拟带通滤波器H(s)b,a=bilinear(bBP,aBP,O.5)。带通滤波器H(z)w=linspace (O,2*pi,5OO)。h=freqz(b,a,w)。subplot(2,1,2)。wp0=0.5*piAp=3。ws2=0.7*pi。ws1=wp0-(ws2-wp0)。wc1=(2/T)*tan(wp1/2)wr1=(2/T)*tan(ws1/2)w0=(2/T)*tan(wp0/2)B=wc2-w

16、c1。%带通滤波器的将指标转换成归一化模拟低通滤波器的指标%带通到低通的频率变换。%设计归一化的模拟低通滤波器阶数%计算相应的模拟滤波器系统函数%模拟域频率变换，将G(P )变换成模%用双线性变换法将H(s)转换成数字plot(w,abs(h)。grid onxlabel(w(rad)ylabel(|H(jw)|) title(频谱函数)subplot(2,2,1)。plot(w,20*log10(abs(h) axis(0,2*pi,-120,20) grid onxlabel(w(rad) ylabel(20*lg|H(jw)|(db) title(20*lg|H(jw)|-w)四运行结果

17、及分析：图程序运行结果：normwr=2.2361由设计流程计算得normwr=2.236与运行结果相同低通原型的每一个边界频率都映射为带通滤波器两个相应的边界频率。根 据通带截至频率和阻带截至频率与频谱函数曲线比较，满足设计要求。 五总结：通过这个实验，对设计带通数字滤波器的整个过程有了很好的掌握。其中 双线性变换法，巴特沃斯设计模拟滤波器的运用，也比较熟悉了。通过对数字带通滤波器的设计，熟悉了MATLAB的运行环境，初步掌握了MATLAB语言在数字信号处理中一些基本库函数的调用和编写基本程序等应用； 熟悉了滤波器设计的一般原理，对滤波器有了一个感性的认识；学会了数字高 通滤波器设计的一般步骤；加深了对滤波器设520246w(rad)频谱函数123456wfrad)计中产生误差的原因以及双线性 变换法优缺点的理解和认识。总之，使