机械优化设计复习题-答案

1、机械优化设计复习题解答一、填空题1、用最速下降法求f(X)=100(X2- X12)2+(1- XI)2的最优解时，设X® =卜0.5,0.5卩，第一 步迭代的搜索方向为-47.-50卩。2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是寻找搜索方向,二是讣算最优步长。3、当优化问题是凸规划的情况下,任何局部最优解就是全域最优解。4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高一低一高趋势。5、包含n个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。6、函数 丄XHX + MX+C的梯度为HX+B.27、设G为nxn对称正定矩阵,若n维空间中有两

2、个非零向量d°, d1,满足(dWO, 则d°、出之间存在共辄关系。8、设计变量、 口标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素。9、对于无约束二元函数/(“,£)，若在x0(x10,x20)点处取得极小值，其必要条件是昭)=0, 充分条件是 也(XimXm) = 01定。10、库恩-塔克条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。11、用黃金分割法求一元函数/©) =，-lOx + 36的极小点，初始搜索区间(/,” = -10,10,经第一次区间消去后得到的新区间为卜2.36101。12、优化设讣问题的数

3、学模型的基本要素有设讣变量、LI标函数、 约束条件。13、牛顿法的搜索方向dk二-叽,其计算量左且要求初始点在极小点附近位 置。14、将函数 f(X)=x 1 2+x22-xiX2-10xi-4x2+60 表示成-XTHX + BTX +C 的 形 式2沪 牝匕_+ 1。-4匸：+純°15、存在矩阵H,向量di,向量ch,当满足圮皿尸0,向量山和向量ch是关于H共 辄。16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子数列，具有单调递增特点。17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求星 优步长。18、与负梯度成锐角的方向

4、为函数值（下降）的方向，与梯度成直角的方向为函数值（变 化为零）的方向。19、对于一维搜索，搜索区间为Q,中间插入两个点也4 计算则缩短后的搜索区间为（山枷）20、由于确定（搜索方向）和最佳步长的方法不一致，派生出不同的无约束优化问题数 值求解方法。1、导出等式约束极值条件时，将等式约束问题转换为无约束问题的方法有（消元法） 和（拉格朗日法）。2、优化问题中的二元函数等值线，从外层向内层函数值逐渐变（尘）。3、优化设计中，可行设计点位（可行域内）内的设计点。4、方向导数定义为函数在某点处沿某一方向的（变化率）5、在n维空间中互相共辘的非零向量个数最多有（卫）个。6、外点惩罚函数法的迭代过程可在

5、可行域外进行，惩罚项的作用是随便迭代点逼近（边 先）或等式约束曲面。二、选择题1、下面c方法需要求海赛矩阵。A、最速下降法B、共辘梯度法C、牛顿型法D、DFP 法2、对于约束问题min f （X）=+ X2 -4x2 + 4&（x）p卅inog2（X）= 3-x,>0 g3（X）FO根据目标函数等值线和约束曲线，判断x（,）=ruf为，X丄卩2 2 为o DA. 内点；内点B. 外点；外点C. 内点；外点D. 外点；内点3、内点惩罚函数法可用于求解色优化问题。A无约束优化问题B只含有不等式约束的优化问题C只含有等式的优化问题D含有不等式和等式约束的优化问题4、对于一维搜索,搜索区

6、间为a, b,中间插入两个点山、a】vb|,计算出f(ajvf(bj, 则缩短后的搜索区间为A ai, biB bi, bC ai, bD a, bi5、P_不是优化设计问题数学模型的基本要素。A设计变量B约束条件C LI标函数D最佳步长6、变尺度法的迭代公式为xk+,=xk-akHkVf(xk),下列不属于氐必须满足的条件的是C。A. 氐之间有简单的迭代形式B. 拟牛顿条件C. 与海塞矩阵正交D. 对称正定7、函数/(X)在某点的梯度方向为函数在该点的厶。A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四种无约束优化方法中，、在构成搜索方向时没有使用到訂标函数的一阶或二 阶导

7、数。A梯度法B牛顿法C变尺度法D坐标轮换法9、设/(X)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则/(X)在R上为凸函数的 充分必要条件是海塞矩阵G(X)在R上处处BoA正定B半正定C负定D半负定10、下列关于最常用的一维搜索试探方法黄金分割法的叙述，错误的是假设要 求在区间a, b插入两点、a2,且ai<a2<>A、其缩短率为0.618B、ai=b-X (b-a)C、ai=a+X (b-a)D、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。11、与梯度成锐角的方向为函数值方向，与负梯度成锐角的方向为函数值卫方向，与梯度成直角的方向为函数值C方向。A、上升B、下降C、不变D、为零1

8、2、二维LI标函数的无约束极小点就是_£。A、等值线族的一个共同中心B、梯度为0的点C、全局最优解D、海塞矩阵正定的点13、最速下降法相邻两搜索方向dk和dk+i必为B向量。A相切B正交C成锐角D共辄14、下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是A可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题。B惩罚因子是不断递减的正值C初始点应选择一个离约束边界较远的点。D初始点必须在可行域内三、问答题（看讲义）1、试述两种一维搜索方法的原理，它们之间有何区答：搜索的原理是：区间消去法原理区别：（1）、试探法：给定的规定来确定插入点的位置，此点的位置确定仅仅按照区间 的缩短如何加快，而不顾及函数值的分

9、布关系，如黄金分割法（2）、插值法：没有函数表达式，可以根据这些点处的函数值，利用插值方法建立函数 的某种近似表达式，近而求出函数的极小点，并用它作为原来函数的近似值。这种方法 称为插值法，乂叫函数逼近法。2、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？答，基本原理是将优化问题的不等式和等式约束函数经过加权转化后，和原U标函数结 合形成新的LI标函数一一惩罚函数求解该新LI标函数的无约束极值，以期得到原问题 的约束最优解3、试述数值解法求最佳步长因子的基本思路。答主要用数值解法，利用讣算机通过反复迭代讣算求得最佳步长因子的近似值4、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点。答：最

10、速下降法此法优点是直接、简单，头儿步下降速度快。缺点是收敛速度慢，越到 后面收敛越慢。牛顿法优点是收敛比较快，对二次函数具有二次收敛性。缺点是每次迭 代需要求海塞矩阵及其逆矩阵，维数高时及数量比较大。5、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式，并说明公式中各变量的意义， 并说明迭代公式的意义。6、什么是共辄方向？满足什么关系？共辄与正交是什么关系？四、解答题1、试用梯度法求目标函数f（X）=1.5xI2+0.5x22-x1x2-2xI的最优解，设初始点x（o）=2, 4 选代精度沪0.02 （迭代一步）。解：首先计算LI标函数的梯度函数=p * xl - x2 - 2 L x2 xl计

11、算当前迭代点的梯度向量值”理>)=7身；-*梯度法的搜索方向为S (k：，=-歼，因此在迭代点x(°)的搜索方向为12, 6丁在此方向上新的迭代点为：X (k十I)(k：，+ aS <k? =X (0) + aS <0>-24 121-el=-2 + 12a46a -把新的迭代点带入LI标函数，口标函数将成为一个关于单变量ct的函数Fa)f(x(g) = f( -廿；严)=1.5(-2 + 12a)2 + 0.5(4- 6a)2 - (-2 + 12a)(4-6a)- 2(-2 +12a) = F(a)令=-180 + 612« = 0,可以求出当前

12、搜索方向上的最优步长a专 0.2941新的迭代点为x(°+as=1.5292122354肖前梯度向量的长度IIVf| = <12x12+6x6 = 13.4164 >匕因此继续进行迭代。笫一迭代步完成。2、试用牛顿法求f( X )=(xi-2)2+(xi-2x2)2的最优解，设初始点x<0)=2JTo解1：（注：题口出题不、t初始点已经是最优点，解2是修改题口后解法。） 牛顿法的搜索方向为S（k）=-沪-切®因此首先求出X前迭代点X（0）的梯度向量、海色矩阵及其逆矩阵4 *xl - 4*x2 4 8*x2 - 4*xl 4-4-.-48 £ 2

13、1'*11 1-sa = Hr%。=J不用搜索，当前点就是最优点。以下修改求解(0)解2：上述解法不是典型的牛顿方法，原因在于题U的初始点选择不半。 题目的初始点，以体现牛顿方法的典型步骤。以非最优点x（0»=1,2t作为初始点，重新釆用牛顿法计算牛顿法的搜索方向为S（k）= -沪-呵因此首先求出当前迭代点的梯度向量、以及海色矩阵及其逆矩阵梯度函数:4 *xl - 4*x2 - 4 8*x2 - 4*xl初始点梯度向量:V(f)=海色矩阵:海色矩阵逆矩阵:护（旷=常；'“I前步的搜索方向为:炉2(旷呻一击阿價新的迭代点位于当前的搜索方向上:X (k+1)二X <

14、k + «S <k) =X (0) + aS <0>把新的迭代点带入LI标函数，LI标函数将成为一个关于单变量cc的函数F0=(a + I)2 + (3a + 3)2=F(a)令警= 20a+ 20=0,可以求出当前搜索方向上的最优步长a= 1新的迭代点为X二X+ aS <0)=当前梯度向量的长度l|Vf|= 712x12+8x8 = 14.4222 >比因此继续进行迭代。笫二迭代步:4 *xl - 4*x2 - 48*x2 4*xlV(f (Z)=IIVf| = 0<E因此不用继续计算，第一步迭代已经到达最优点。这正是牛顿法的二次收敛性。对正定二

15、次函数，牛顿法一步即可求出最优点。3、设有函数f(X)=xi2+2x22-2xix2-4xH试利用极值条件求其极值点和极值。解：禅先利用极值必要条件0.0.2 *xl - 2 *x2 - 44 * x2 - 2 * xl 求得:;H：L是可能的极值点。再利用充分条件沪。正定(或负定)确认极值点。护(0=-24|2| = 2 > 02-2-24= 8-4 = 4 > 0因此V(f)正定,X* =：；=；是极小点，极值为f(X*)=-84、求 LI 标函数 f( X )=XI2+X1X2+2X22 +4x1+6x2+10 的极值和极值点。 解法同上5、试证明函数 f( X )=2xi2

16、+5X22 +X32+2X3X2+2X3X1-6x2+3 在点h 1, -2t 处具有极小值。 解：必要条件：4*xl + 2* x3?(0=10*x2 + 2 * x3 - 6.2*xl + 2 * x2 + 2*xl将点1, 1,2T带入上式，可得0?(f)= 0 0充分条件卜 0 2?2(f)= 0 10 2.2 2 2.|4| = 4 > 0=40> 04020102=80 - 40 - 16=24 > 02220(0正定。因此函数在点1, 1，-2T处具有极小值 6、给定约束优化问题min f(X)=(xi-3)2+(X2-2)2s.t. gi(X)=xi2X22

17、+ 50 g2(X)=xi 2x2+40 g3(X)= x&0 g4(X)=X20验证在点X =2, l7 Kuhn-Tucker条件成立。解：首先，找出在点X=2, 1丁起作用约束: gi(X) 0g2(X) =0g3(X) 2g4(X) =1因此起作用约束为gl(X)、g2(X)o然后，计算标函数、起作用约束函数的梯度，检查LI标函数梯度是否可以表示 为起作用约束函数梯度的非负线性组合。心）=2* xl - 6 2 * x2 - 4.-2 *xl2 *x2.求解线性组合系数V（f） = XlV（gl） + A2V（g2）得到入1=寸,入2= £均大于03O因此在点x =2

18、. if Kuhn-Tucker条件成立7、设非线性规划问题min f(X) = (x, - 2)2 + 卅s.t. gl(X) = xl>0 g2(X) = x2>0 g3(X) = Xj2 -Vj + 1 > 0用K-T条件验证x=l,0为其约束最优点。 解法同上8、已知U标函数为f（X）=xi+x2,受约束于:gl（X）=-X!2+X2>0g2（X）=Xl>0写出内点罚函数。解:内点罚函数的一般公式为.min s6（x,ra）=F（x）+rS 7 "=1 Su xERn其中：r<i>>r'2'>r（3）. &

19、gt;r（k）->0 是一个递减的正值数列 r（k）=cr（ki）, 0<C<l因此罚函数为：0（X, r3） =Xl + x2 + r 匕云+9、已知目标函数为 f（X）=（x1-l）2+（x2+2）2受约束于:gl（X）=-X2-Xl-l>0g2（X）=2-xrx2>0g3（X）=Xl>0g4（X）=X2>0试写出内点罚函数。解法同上10、如图，有一块边长为6m的正方形铝板，四角截去相等的边长为x的方块并折转， 造一个无盖的箱子，问如何截法（x取何值）才能获得最大容器的箱子。试写出这一优 化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。11、某厂生产一个容积为8000cm3的平底无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材 料最少，试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。12、一根长/的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形，问应以怎样的比例 截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化设计问题的数学模型以 及用MATLAB软件求解的程序。4、设以2的比例截取