向量与夹角课件2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第2章

空间向量与立体几何

2.4.3向量与夹角问题1：杂技《达瓦孜》表演多在露天进行,表演者手持长约6米的平衡杆,不系任何保险带,在绳索上行走,表演中,平衡杆和钢丝绳就像是分处不同平面的两条直线,行走过程中平衡杆和钢丝绳有夹角吗？这个夹角有何特点?平衡杆和钢丝绳有夹角,这个夹角是异面直线所成的夹角问题2：随着科技的发展与推动,战争利器火炮也在更新进化,在战争中有更高效率的火力支援,火炮在地面射击时,由于空气对弹丸的作用,最大射程角是不一样的.下图所说的射程角是什么？直线与平面所成的角

夹角是二面角问题3：舰载机的偏流板为了发挥最佳效果,它与舰艇夹板的夹角也是有夹角的,经过论证，夹角大小一般会选取45°、60°或75°.那么这里所说的夹角是什么呢?偏流板

已知两条异面直线a，b，经过空间一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′，b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．1.异面直线的夹角：2.斜线和平面所成夹角：

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

3.二面角的平面角：

在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．

思考：在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？同一平面内两条直线的夹角可由平面向量的夹角公式求出．

1．直线与直线的夹角我们重点来解决不共面的两条直线（即异面直线）的夹角问题．

两异面直线的夹角公式:

设两条异面直线

a

与

b

所成的角为

θ，它们的方向向量分别是

v1，v2；设

v1与

v2的夹角为φ．例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1．E，F分别是棱B1C1和C1D1的中点．求直线AD1与EF所成的角．求解两异面直线的夹角利用空间向量的方法来进行求解建立空间直角坐标系,并写出各点的坐标,再求出对应直线的向量坐标表示,最后根据公式求解例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1．E，F分别是棱B1C1和C1D1的中点．求直线AD1与EF所成的角．例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱B1C1，D1C1，的中点．求AD1与EF所成的角．

求直线与直线所成角θ的余弦值的步骤：方法归纳①当直线

l

与平面α平行或者在平面α内时，直线

l

与平面α所成角为0；③当直线

l

与平面α相交，但不与平面α垂直时，如图所示，直线

l

与该直线在平面α内的投影

l′

所成的角

θ就是直线

l

与平面

α

所成的角，②

当直线

l

与平面α垂直时，直线

l

与平面α所成角为

；其取值范围为

．实际计算时，有时不容易确定

l

在平面α内的投影

l′

，我们可以借助向量来解决．2．直线与平面所成的角

当直线

l

与平面α相交，但不与平面α垂直时，设它们所成的角为

θ，

v

是直线l的一个方向向量，

n

是平面α的一个法向量，v

与

n

的夹角为φ．例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为

a．求直线AB与平面A1BD所成的角

θ的正弦值．求解直线与平面所成角的正弦值空间向量建立空间直角坐标系写出各点的坐标对应直线的方向向量以及对应平面的法向量根据公式求解例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为

a．求直线AB与平面A1BD所成的角

θ的正弦值．例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为

a．求直线AB与平面A1BD所成的角

θ的正弦值．求直线与平面所成角θ的正弦值的步骤：方法归纳我们知道，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形为二面角．二面角的大小可用它的平面角来度量.3．两平面所成的角如图，AB⊥EF，CB⊥EF，则∠ABC就是二面角α

-

l

-

β或A

-

EF

-

C的平面角

．

αβ两个平面相交会形成四个二面角，一般规定较小的二面角为两平面所成的角，由此可知两个平面所成角的取值范围为[0，]．①当两个平面平行时，它们所成的角为0．①当两个平面垂直时，它们所成的角为

．设两个平面α1和α2所成的角为θ，平面α1，α2的法向量分别为

n1和

n2，记<

n1，n2>

=

φ，如图，则θ与φ有如下关系：①平面α1，α2所成角θ的余弦值为

平面α1，α2的法向量分别为

n1和

n2，记<

n1，n2>

=

φ，则

②二面角α1-l

-α2的平面角

γ

的余弦值为要点归纳例3如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为

A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)．

求二面角D-BC1-C的余弦值．提示：先求出两平面的法向量，再根据公式求解.例3如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为

A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)．

求二面角D-BC1-C的余弦值．结合图形，确定角的大小求平面与平面所成角θ的余弦值的步骤：求二面角α-l

-β的平面角

γ

的余弦值的步骤：方法归纳1.若平面α的一个法向量为n1=(1，0，1)，平面β的一个法向量是n2=(-3，1，3)，则平面α与β所成角的大小为A.30° B.45° C.60° D.90°解：因为n1·n2=(1，0，1)·(-3，1，3)=0，所以α⊥β，即平面α与β所成角的大小为90°.√2.斜线l与它在平面α上的射影l'的方向向量分别为a=(1，0，1)，b=(0，1，1)，则斜线l与平面α所成角的大小为A.30° B.4