数值分析试题卷与答案解析

1、WOR格式数值分析试题填空题(2 0 X 2)1.r 321 21A r,x”=I =La.21丄1-一 3-位有效数字。设x=0.231 是精确值x*=0.229的近似值，则x有2.若 f(x)=xx 3 + 1,贝y f20 ,2 1,2 2,2 3 ,2 4,2 5,26,27=_J3.4.5.6.7.8.9.f20,2 1,2 2,2 3 ,2 4,2 5 ,2 6 ,2 7,2 8 上设，AXAlOO =XI00 =非线性方程f x()=0的迭代函数x在有解区间满足I ()1 1要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取,计算时不会放大4位有效数字(k+1)对任意初始向量(0)

2、及任意向量X;所以f(xi)的误,线性方程组的迭代公式=(k) + (=0,1, ?)x Bx g k专业资料整理WOR格式收敛于方程组的精确解X*的充分必要条件是(B)v1专业资料整理WOR格式12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri ( i=0,1,? ,n)来实现的，其中的残差)/r = (b -a x- a x- ? -a x ai iin,(i=0,1,? ,n) oii112 2 n ii13.在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)数不变号x0 的选取依据为10.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是5xo0.511.52

3、2.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511.牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|v|f(xn)|f(x0)f ” (x0)014.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算二、判断题(10 X 1 )1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX = b 一定可以使用高斯消元法求解。(X )2、解非线性方程 f(x)=0 的牛顿迭代法在单根 x*附近是平方收敛的。( )3、若A :为nv阶方阵，且其元素满足不等式nTanaij (i 1,2,., n)j 1jiTr则解线性方程组 AX = b的高斯塞德尔迭代法一定收敛。(X ) TjJ4、样条插值一种分段插值。()5

4、、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。()ta6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差专业资料整理WOR格式及舍入误差。7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组专业资料整理AX = bWOR格式8、迭代解法的舍入误差估计要从第 步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后步迭代计算的舍入误差。( x )9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差=舍入误差。( )U10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。(X )三、计算题（5X 10 ）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。2xi

5、X2X3Xi X2 X35xi 4X23 x 3 12+ 二11解答:（1，5， 2）最大元5在第二行，交换第一与第二行:5x1 4x23 x 312X1X2卜X3二42X1一X2+X311TT=L21 =1/5=0.2,1 31=2/5=0.4方程化为:5 X14 X 2 3X312严 0.2x 20.4 X 31.6f -+= _j 2.6x 20.2 X 315.81 + =i(-022.6)最大元在第三行，交换第二与第三行:5 x14 x 2 3x3122.6x 20.2 x 315.80.2x 20.4 x 3-1.6 - =IJ专业资料整理WOR格式L32=-0.2/2.6=-0.

6、076923,方程化为:5 x i 4 x 23 X3_122.6x 20.2x 315.8_导0.38462x 30.38466回代得:Xi3.00005X25.99999X31.00010P4 (x)，并写2、用牛顿埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数f(xi)1-13f (xi)15解答：xi012做差商表011-1-21-11323430Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+xi F(xi) Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+34专业资料整理WOR格式2351

7、-2-1P4(x)=1 -2x-3x(x -1)-x(x- 1)(x -1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代法的迭代 公式，并简单说明收敛的理由2xiX2X4 = 1Xi 一X3 5 X4 6X24X3 X4 - 8Xi+ 3 X2 X3=3解答:交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优:2xiX2+X4 =1Xi3x2X 33X2+ 4 X 3 X48Xi-+ A=X35 X 46雅克比

8、迭代公式:丄2X1-X2X41=X13x 2X 3-3+X24 x3X48X1_X35 x 46专业资料整理WOR格式3分，共分（每小题15）(B) 0.5 x 10 s (C) 0.5k1(y k yk 1 )hx*与其位有效数字的近似x =a1 a 2?anx有t值0.0*x 计算机数学基础（2）数值分析试题一、单项选择题1.已知准确值x （） （A）0.5 x 102.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为210MB0(A1210)IH01毘1001521-011421(C)u1410012过(0 ,1),(2,4), (33.性插值函数-aJ13(AV-x-+ 10： x 2)23x102x

9、3.Jr:M3_x 10 *x 2(C)23x102x 3等距二点的求导公式4. 是(=一 卄 氓瓷 1箏.f ( x k ) _ ( y k y 1)(Ah)f ( x1 )t(D) 0.5 x 10 s+ t(i lip)52101410(B)11410012142111410(D)141 -1315,1）点的分段线P(x)=()+j:3鼻x0ex兰2(B)23x J102x3-JUV3-x袍x直(D)2x4 2x 3)f-j1fL=* y-丄f (x k )kyk )hx 10s + 1 (B)1f (x k 1 )( y kh专业资料整理WOR格式f (x k )= d y k +)I

10、 h(C) .(D)f ( x 二1 .艷 J1 )( y kiyk )h5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是yk 1(y p yc )那么yp, yc - 为（11+X+(Ay p yk严hf (xk , y k )y pykhf (x k 1 ,)1 J(B)-+hf ( x k , yycykhf (xk 1 , yk )*yc护k p )Tb3K|Lhf ( x k ,(Cy pykf ( xk , y k )y pykyk )(D)ycykf ( xk , y p )ycykhf ( x k 1 , y p).二、填空题（每小题分，共15z3分）设近似值x1, x2

11、满足(x1)=0.05，那么6.(x2)=0.005(x1x2 )=三次样条函S(x)满足：S( x)在区间a,b内一阶连续可分别).数7.y k )S(xk)=yk (已知),k=0,1,2, 导，? ,n且满足上是S（x）在每个子区间xk,xk+1 8.牛顿-科茨求积公 式(x)dxanAk f ( x贝UAk =9.解方程f（x）=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内,则在有根区间内= *任意取一点作为初始值，迭代解都收敛.10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报校正公式是yk+1 =预报值：y k 1 yk hf ( x k , y k )，校正值:三、计算题（每小题15

12、分，共60分）T +4-=11. 用简单迭代法求线性方程组8x13x22x3204 x 1 11x2X333专业资料整理WOR格式4位小数.6xi3x212x336.取初始值（0,0,0）T，计算过程保留专业资料整理WOR格式已知函数值 f(0)=6，f(1)=10，f(3)=4612. 数的四阶均差和二阶均差 (4， 1，3) ,f(4)=82, f(6)=212 ，求函 f(0,1,3,4,6)13. 将积分区8等分，用梯形求积公式计算定积间分用牛顿法115的近似值，取 x=10 或14. 求111 x 2 dx，计算过程保留 4位小数.1为初始值，计算过程保留 4位小数.四、证明题(本题

13、10分)* -15. 证明求常微分方程初值问题y f ( x, y)y( x 0 ) y。在等距节点a=x0x1 ? xn=b处的数值解近似值的梯形公式为y1k+1_k+1,X其中 h=xk+1 xk (k=0,1,2,? n 1)计算机数学基础(2)数值分析试题答案、单项选择题(每小题3分，共15分)1.A2.B3.A4.B5.D、填空题(每小题3分共15分)x27.3次多项式6. 0.05+0.005 x110. yk +h f (x k , y k ) f ( xk 1 , y k 1 ) hf(xk+8. b a9._(x)r11 , y k 1 ).12十+b 于三、计算题(每小题1

14、5分，共60分)11.写出迭代格式x1( k1)0 0.375x2(k)0.25x3(k)2.5x2( k0. 363 6x 1( k)00.090 9xJk)3专业资料整理WOR格式1)x3( k1)0. 5xi( k )0.25x2(k)0 3乂0)=(0,0,0)T专业资料整理WOR格式x1) - 00.375 0 - 0.2502.5 - 2.5x1) - -0.363 600 0.090 90 3 - 3I=厶 試一詆 +. + 二。x1)0.50 0.25 0033=(2.5, 3 ,得到X3)t=+廡二X ； +x 2)00.37530.2532.52.875二5Ck +匕x2(

15、2)0.363 62.500.090 93 32.363 7-:XSr.*x3(2)0.52.50.25 3031.000 0=(2.875,2.363 7,1.000得到X0) T=. 帛.哀k:4-=x 3)二 00.3752.363 70.251-l-L2.5二 3.136 4以3)-0.363 62.8750 0.090 91 3 -2.045 6x3(3)0.52.8750.252.363 7030.971 6=(3.136, 0.971 6)得到 X4, 2.045 6 T.12.计算均差列给出.Xkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/348236

16、61/32126529/311/151/15f(0,1,3,4,6)=115f(4,J, 3)=613.1 X,=0.25 分占丿八、,x2=1.5 , x3 =1.75, x4 =2.0f(x)=2h 2x0=1.0x1=1.25x5=2.25 ,8x6 =2.50，x7=2.75,x8 =3.0.6,f(1.75)=2.015函数值：f(1.0)=1.414 2, f(1.25)=1.600 8, f(1.5)=1.802 86, f(2.0)=2.236 1,专业资料整理WOR格式f(2.25)=2.462 2f(2.75)=2.926 2,f(3.0)=3.162 3专业资料整理,f(

17、2.50)=2.692 6WOR格式f (x)dx1h-f(x 0 )f (X 8 )22( f(x 1 )f ( x 2 ) f ( x 3 ) f ( x 4 ) f ( x 5 ) f ( x 6 ) f ( x 7 )(90.25 X 1.414 2+3.162 3+2X (1.600 8+1.8028+2.015 6+2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)=0.125X (4.576 5+2X 15.736 3)=4.506 114.设x为所求，即求x 2 115=0的正根.f(x)=x 2 115因为 f (x)=2 x , f ( x)=2, f(10)

18、 f (10)=(100-115) X 20取 x0=11.有迭代公式xk+1 =xk ( x k )2 xk115 Xk11511f = x k(xk -)115=10.727?严,2Xk2Xkx1=32 2 1110. 727 3x2=色2115=10.723 810.72710. 723 8x3=2115=10.723 810.723x* 10.723 8四、证明题(本题10分)15. 在子区间xk+1 ,xk上，y(xk+1 )xk-y( xk )= x对微分方程两边关于+x积分，得f ( x, y( x)dxk用求积梯形公式，有y(xk+1 )-y( xk )=k , y( x k

19、) f (x k 1 , y( x k 1 )将 y(xk), y(xk+1 )用 yk,yk +1替代，得到专业资料整理WOR格式y(xk+1 ) yk+1 =yk +f(xk,yk)+ f( xk+1,yk+1 )( k=0,1,2,?,n - 1)专业资料整理WOR格式数值分析期末试题、填空题（250益20分）_ 15-2(1)设 A =-210则A13。3一 821（2）对于方程2x1 -5 X2 3二 102.5组Jacobi迭代法的迭代矩阵是10 X14 X23- 2.50*的相对误(3) 3*x V的相对误差约是x差的1倍。）求方程f （ x）根的牛顿迭代公式是Xn 1Xn一 X

20、n(5 (x)(6 n）设x1 ，则差商0,1,2,3(7)（8度，)设n矩阵已知A0G的特征值是11n，则矩阵oG的谱半:_(G ) maxi，则条件数Cond1为了提高数值计算精Jr I当正数x充分大时，应将ln（ xn个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少1 次。1)改写为ln（ x+1)2X 。拟合三点(x1 , f ( x1y（10）（x3 ）的水平直线是)-，(x 2_, f ( x2)，(x3 , f(Xi )。3 i 12 x 1 X2X31、（10分）证明：方程组X1X2X3 使用Jacobi迭代法求解不收敛 性。专业资料整理WOR格式Xi1X22 X 3 1专业资料整理

21、WOR格式证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为0.50.5Bj0.50.5Bj的特征多项式为0.50.5det( I21.25)0.50.5Bj的特征值为1.25i1.25i， 一故(Bj )-1.25 1,因而迭代法不收敛 性。三、(10 分)定义内积试在解:H10(x)Span 1,x1，(x )中寻求对于f ( X)二 1g) f ( x) g( x)dx0.-x的最佳平方逼近元素P( x)。ll11q) ，(0, f )dx 10xdx 101, 1)x 2 dx01 2xdx 一031x xdx0法方程%”51 1亠h15 -J-2 -1=2Co31 1C12O235解得C 012所

22、求的最佳平方逼近元素为15o1512p( x)1515专业资料整理WOR格式四、（10 分）给定数据表-1 0 1x-2专业资料整理WOR格式y-0.10.1试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。0.40.91.6解：y( x) - c 0ci x2C2 xC3 x12481501001111=A1 000，ata010034_100340 J-11111034013012483A y ( 2.9,4.2,7,14.4)T法方程A Ac A Ty的解为c 00.4086 ， c 10.39167 ， c 20.0857 ， c 30.00833得到三次多项式y( x ) 0.4086 0.3

23、9167 x 0.0857 x0.00833 x2误差平方和为30.000194五.(10 分)依据如下函数值表x0124f (x)19233f (2.2)，并在假设建立不超过三次的Lagrange插值多项式，用它计算(4)(x)1下，1 x37 x 27 x 1884-1x 32 x28-x33估计计算误差。解:先计算插值基函数I 0(x) .( x 1)( x 2)( x 4)(0 1)(0 2)(-0 4)-I 1(x)丄 x 0)( x 2)( x 4):(匸 0)(1 2X1 4)-专业资料整理WOR格式l 2(x) ( x 0)( x 1)( x 4)(2 0)( 2 1)( 2

24、4)专业资料整理WOR格式l 3(x) 金 x 0)( x二1 x 2 + x(4 0)( 4- 1)( 4 2)24812所求Lagrange 插值多项式为L3 ( x)i )l i 二 I 0(x) ( x)9l i ( x)23l(x)3l 3(x)45x 2-1f (2.2)L3 (2.2)25.0683据误差公式R 3 ( x)f-(4 )(x4!X。)(xX1 )( xx2 )( x11 x 34及假设1得误差估计:R3 ( x)六.(10 分)J|f ( 4)()(2.2 0)(2.2 1)( 2.24!2)(2.2 4)0.95040.03964!由矩阵乘法可求出1011037

25、102 C=110 2 0J 0 1 0 1iJ 2111|u22u23u24一1243-31321Lu33 u34 -X40Uij和4243u44ij11121101 il31321121 I41424311 0101 j10201020u22u23u24101u33u34-21u442解下三角方程组专业资料整理WOR格式得原方程组的解为Xi 1,X21 1r y!510 1y2312 1y3170 10 1j .y41I117再解上三角方20X1501x 2321x 3jiT|6 1Lbmy 23 , y 3 程组1 012 x 44七.（10 分）试用Simpson公式计算积分12e x dx1的近似值，并估计截断误差解:2_2二(eee x dxIf4e5护2 )2.026316i 1(4)1123624f(8765)e xxxxxI I 1:f ( 4)1 1max f (x) - _ 198.431 x2截断误差为