有限元平面问题2

1、1Xi1=A = 1xj2J1Xk（由i,j,k轮换性知）yiyj =2XiyjXjyk Xkyi- Xi y XjyXkyj1yk同理可证：Ni Xj, yj UNi Xk, yk i=0(作业：证明：Ni Xj,yj =0i = j =i, j,k )N(xi,yi )=1,Ni(Xj ,yj )=0, Ni(Xk,yk )=0I "0 i = j因 此 N j X, % )=0, Nj (xj, yj )=1, Nj(Xk, yk )= 0n 汕(宀时=匕.J，i 式 jiNk(Xi,yi )=0, Nk(Xj,yj )=0, Nk(Xk,yk )=(2-12)即形函数在自己节

2、点上为1,在其余节点上为0。2.在单元上任意一点，三个形函数之和为1，即Ni x,y Nj x,y Nk x, y =1。证明:1N, x, y N j x, y Nk x, ya,b,Xc, yaj bjX cj yakbk cky2 A-ai aj ak b bj bk x c, Cj ck 丿2 Ab 十-yk6 = Xk Xj小j =yk yi<5 =人-Xkbk = % y jck = Xj Xjy aak =Xjyk-Xkyj LiXkyj -xyk LiXyj -为=2Abi6 二 yj _ yk壯-y yi - yj = 0ci' cj ' c - Xk

3、- Xj .1 亠 I.Xj - Xk 亠 IXj - Xi =0Ni x, y Nj X,y Nk X,y =1由此可见，三个形函数中只有2个是独立的，即第三个可由其余两个 表示。3. ij边上的形函数Nii=i,j,k与节点k的坐标无关（i, j, k轮换），即 在ij边上有：M（x卄 1一二Xj XiJX-X-.Nj（x,y）= （ i，j, k 轮换）（2-14）XjNk（x,y ） = 0证明：设 节点i坐标：Xi,yi，节点j坐标：Xj ,yj。求：ij边的直线方程。y -yi_ x - XiyjXj -Xiy = % 上 ± yj - wXj xixj -Xi =Ck,

4、yj - yi = -bk.直线方程为：bk .y = yi x -人Ck代入N j x, y ,得到：Ni在ij边上的值 计算N j, Nk +bjx + jyi1 1NjX，y =庶引bjX Cj八云丄 X-XiCk12Aj bjX Cj yibjXi - bjXi二丄2A |LJ$、 bkCj:aj bjXiCj yibj x - Xix - XiCk12A12AbkCjbj x - Xi -x - 人-CkbkCj +bjCkX - XiCkajbjXi5% =Nj Xi,% AOXiXjXkYiyjykbjCk bk® = lykXjx；-xuyj Xjyk Xky Xiy

5、 Xjy Xky 2ANj x,y 二X XjCk在ij边上有:Nj x,y =Xj _人在ij边上:NkX，y =AakbkXCky =12Aakg C»；kX-Xi2A 3 mx 切 m丄2AbkbkXkCkyJ= Nk Xi, yi =0由性质2 :Ni x,y = V Nj x,y - Nk x,y = 1 -XjXi即在i ,j边上有:NiX,八 jX - Xj* Nj(x,y )=Xj _ XiNk(x,y ) = 0(2-15)证毕。同理知：（轮换） 在jk边上有：在ki边上有:Ni x, y =0Ni x,八Xj _Xi<Nj(x,y) = 1Xj _XiNk(

6、x,y )= x-XiXj<Nj(x,y)=0Jx-xNk(x,y)=1 为几何表示:五、三角形单元位移函数的收敛性（要点提示：单元位移函数的三条收敛准则及意义）u =：f2x ：心3vF面我们来验证所设的位移函数U 12X3y满足收敛准则（三条）。V4： 5X ： 6y1、单元的位移函数解反映单元的刚体位移（包含有）_ ：:uX 1-ex由几何方程:寻找物体发生刚体位移的条件。_ £Vy -:yY =凤+色xy -cy ex若物体发生刚体位移，则有:ju0.xu为y的任意函数:V0y.:u:Vcxy0.:yjx由xy=o得：儿 y ：f2 x =0cydxdfi y df2

7、x dydx等式两侧分别为x和y的函数，要使其相等只有:dfi y = df2 xdydx=const积分:i（y ）=u° 2（X）=V。式中U°, V。为积分常数故位移:即：（不难证明）以上两项是发生刚体位移的充要条件。因为这是 * =；：y =xy的情形。故:u0 -x方向的刚体位移 v0 -y方向的刚体位移 -刚体转动的转角事实上，将位移函数改变形式为:ct +a ct ot-3535 2x-y -y2 2a +ota a35.5 -J3.xx 6 y2 2显然可看出:（其它系数意义后述）-体现x方向的刚体位移（与x,y无关） -体现y方向的刚体位移（与x,y无关）

8、3 -体现绕Z转的刚体转动2、单元位移函数解反映单元的常应变xy显然:；：x_ ；:vju: v=r .:y；:x11：!：' -3*5-：3222 -体现了单元沿y6 -体现了单元沿xyxy:u2；x_:v6:yj u.:v3' -：l 5.y；xx方向的常应变 y方向的常应变叫+。5 -体现了单元的剪应变为常量由此看出,但单元的各应变均为常量。故三角形单元在位移函数:u =% +ot2x yv =°4 Fxfy下个典的各个应变量均为常量。故称；为常应变单元。3、显然，设单元的位移函数在单元内部连续，在边界与相邻单元协调。I+®y是单元内部的连续函数。下面

9、考察下边界上协调（一致）v =口4 +口5乂 +%y的问题。由形函数的第3条性质，我们证明：对于相邻的两个单元 q ,e2, ij为公共边界。ij边上的式。对于单元对于单元Ij为单元NiNjNkx XNi X,y =11Xj _XiN:“X XjNj x, y-Xj _XiNk x, y = 0ei，其位移函数为:e2，其位移函数为:© ， e?的公共边界。Xj 一 XiX 一 Xixj _ xi分别写出两个单元在公共边上的位移表达ueie2Ue?vNiUiNiViNiUiNjUj NkUkNjVjNjUjNjVj由形函数的性质 3我们知道:仅与节点 i有关。NmUmNmVm(*)(

10、* )因此，对于e:Ue2对于e2 :e2VX-Xi、Xj Xi 丿Ui+.UjXj - XieiVX XiX XiX XjXj_ Xi 丿UjX XiUjXj - Xx-XiXjXi 丿VjX Xi VXj - Xi与节点 k,m 无关，仅与 i, j 节点坐标及ui ,vi有关。Xi,Xj-已知常数 ui ,vi -节点位移唯一边界上X唯一确定u,v由uei和ue2比较及Vei和Ve2比较知：在公共边界上各点，ij上位移u,v是唯一的。由上知：三角形单元的位移函数满足收敛性条件。u = ： ： 2x： 3yv 4： 5X： 6yNote:用三角形单元计算则位移是连续的。而应力、应变是阶梯的

11、。位移法（假 设位移）的结果位移要好（比应力准确）。2-5三角形单元的刚度矩阵（单刚）提示：我们已经建立了三角形单元的位移函数；导出了三角形单元的形函 数；并用形函数来表示其位移函数；最后，我们证明了三角形单元位移函数的 收敛性。下面我们要推导三角形单元的单元刚度矩阵。在推导单刚前我们还有些准备工 作要做。一、三角形单元的应变矩阵Bu = Nm + N ju j + Nkuk将位移函数写出来:v = Nivi Njvj Nkvk其中:1 , 、2 =云 aj 6x Cjy (“ 门出把位移函数u,v代入几何方程:u1 ,biUibjUjbkUk:x2A-V1CiViCjVjCkVk:y2A:u

12、:V1+CiUiCjUjCkU|y:x2A-'-CiUibi ViCjUjbjVjCkxy（单元上任一点的应变）xykbVibjVjbkVk一丄I 2A写成矩阵的形式就是:uix:bi0bj0bk°】111ll"y卜=|0Ci0Cj0ck H2A11JbiCjbjCkbk !ViUjVj(2-16)(2-17)【B】 =式中：bi2A 0_Cicibibj0Cjbjbk0CkCkbjlBj 1''Bj ( 2-19)式（2-16）表示单元节点位移 £ 与单元应变的关系。矩阵Vkk(2-18)B】称为应变矩阵。式（2-18）表示应变矩阵为常数

13、矩阵（b =yi -yk,G =xk -Xj ），再次证明三节点三角形单元为常应变单元。三角形单元的应力矩阵 S1由物理方程知：用矩阵表示:L. xycyxy_ E1 - u2E1 - u2E2x ；y1 - uE1 - u2-|1xy1001_p2 一xy(2-20)或缩写为：七? -D（ 2-21）lD】=(2-22)得到：；:一-D- D ' -B H其中：2其中：1 - u10称为弹性矩阵（仅与弹性常数有关）把H B < ： /代入物理方程才/ - D E: /，令 D IB 1 (2-23)则有：:( 2-24)式（2-24）表示应力与节点位移的关系。S由式（2-23）

14、给出，称为三角形单元的应力矩阵。显然，弹性矩阵 D 1及应变矩阵B1都是常量矩阵。故应力矩阵 S1也是一个 常量矩阵。因此三节点三角形单元的应变和应力都是常量。三、三角形单元的单刚建立了应力与节点位移的关系式（2-24），我们就可以推导单刚了。我们用虚功原理来推导。一般来说，有限元的单刚最普通的方法是用变分原理来推导。求泛函的变分（functional泛函的函数）。（在力学上就是最小泛解的变分原理）。由于我们尚未解除变分原理且对于弹力问题，用虚功原理推导就可以了。有人证明了用虚功原理推导和用最小泛解的变分原理来推导单刚，对于弹性力学的问题结果是一致的。'变分原理来推导：推理 严密；数学

15、基础扎实；偏于纯理论研究:虚功原理来推导：力学 概念直观、清楚；容易 接受；偏于使用下面我们用虚功原理来推导三节点三角形单元的单刚。1.单刚的推导（单元是平衡的：对其应用虚功原理）如图所示，三角形单元的节点位移和节点力为:1ib e节点位移：二 j = Ui Vi UjvjukV 卩节点力：e二 FjFxiFyi Fxiyi xjFyjFxkFyk?TF-给定一组虚位移：（每个单元都可能有虚位移） 移，其唯一的条件就是约束所允许）1i（虚位移是人为假设的任意位二 jUi V iUj Vj Uk vj%e产生虚应变：则单元的外虚功为：（节点力）Fxi ' Uj FyVjFj Uj Fyj

16、 ' Vj Fxk' Uk Fy Vk单元的内力虚功为:eT exy xy tdxdy = A ：f ：f tdxdyT1 F ie由虚功原理知：eT * tdxdy我们设法把等式右侧的应力和虚应变换成位移和虚位移表示:一D代入虚功方程右侧：U A 磁eT 缶tdxdy = a（B 虹F）D 】B bFtdxdy = JJ A極尸 bD 】4血 tdxdy及 都与x,y无关。在有限元中当我们研究一个单元时单元内的任一点位移可由节点位移表示，是 x,y及节点位移的函数节点位移我们认为是已知量。故有：严;F H l h A l-B T D IB tdxdy L尹 B T D :B】

17、可能是x,y的函数令：k e = ABT D IBtdxdy（2-25）则：* F = k 了仏（2-26）式（2-25）为三角形单元的单刚。式（2-26）为三角形单元的单元刚度方程。由于B, D均为常数矩阵。故有：kT = A t IbT D 1B1（2-27）书上P72已将k e各项展开。（把m-； k ）大家可看一下。2.单刚k e的物理意义把单刚分块，则单元刚度方程可写成:eFiIIFjIIFkkjekeki；k ；(2-28)展开得：打；二kU kj.-：；k加;F j ; - kjr : i kjj : j * S ；：k:Fk : = kkr - i ' kkj - j

18、kkk ' k显然：ki；表示当q =1门j = / =-0时在i节点产生的节点力 Fiekj表示当 冷=1,.=0时在i节点产生的节点力 Fi；3.单元k；的性质（与外力无关）ki； >01） k F是6 6的对称矩阵，即kij； = kj；（互等定理）且主元非负，且 2）k；是奇异矩阵：（最简单的想法，最笨的做法是证明|k】e |=0） k；是6汉6方阵，我们这样做： 把1）、3）、5）三个加在一起。（见P123）c2bjbi1 卩CjCbkbi=bi bibjbkCi - CjCkbi =yj -yk "bj dy pk * yjG =Xk XjCj =Xi -X

19、kck = Xj - xib bj bk = 0, G 5ck = 0 ' 0同理可证：7 j = 0i =2,3,4,5,6.k e是奇异的。3） Ik e的影响因素A. 单元的几何参数：大小A （平缓过渡问题），厚度t,方位（节点坐标差）Xi,%B. 单元的材料特性：E,01A “2至此，我们已经推出了单刚，并对 u 进行了讨论。有了单刚后我们就可以利用平衡条 件建立总刚了。36结构刚度矩阵一总刚提示：推导出单元的刚度矩阵，就意味着我们有了单元上节点力 与节点位移的关系。与一维的问题相同，我们下一步工作就是要找到 结构的总刚度矩阵。建立以结构节点位移为未知数的结构刚度方程。一、节点

20、的平衡方程（内力与外力的平衡）我们仍然用一个简单的直观的例子来推导总刚度方程，然后不失一般性的推广到一般的结构。<4)力结构离散如图所示，取出节点3来研究节点的平衡。首先写出各单元的单元刚度方程。F11Ikiik13(1)ki41 q'A1(1)TR =k31k33k343单元（1）,1 F4 jk4ik43k44AI4r (2)(2)Fik11k12k13f 1I I1111f2二k2ik22k231 2单元（2）Fak31k32k3313f21 1(3)k22k251 1F 5k52k55单元（3）1 _ 1k321F3k35F3II(4)k331k351 1F5k531k5

21、5单元（4）1厂11 f4-k431k45对节点3列出平衡方程k33k44(3)2I5I3(4)3I5I4外力:P3Px3t 卜内力:lFx3F3- .Fy3fzezj eFx3Fy3由平衡条件：P 'f 平衡方程二、总刚的形成（先写方程，再定义总刚）结构的总刚度矩阵可由结构全部节点的平衡方程写出。我们仅以例中的结构， 第3节点的平衡方程说明如何建立该结构的第三个方程（子块）按节点形式展开节点 3的平衡方程：p(FE tF3 =(k + k33(3)ek35、5（i）（i）355注意到：丐八j i =1,-5则（按节点重排）：匕丄幅+膚社1 +唸+k3汕2 +（展+k33）+k33）+

22、k3?4 +（昭+ k3汕4 +此+席学5Py3把该结构的总刚中第 3个子块写出:fRlIJ1P2P31111,2P4k322,3k331-41l| II宀Z1,4在总刚度方程中，总刚矩阵的第3行仔块）的元素为第3个节点全部相关单元的单刚中对应下标的元素（子块）之和。（相关节点一若i,j同属于e则i ,j为相关节点；相关单元一与节点i相连的单元为i的相关单元）同理，由结构其余节点的平衡方程，可以得到总刚的全部内容：P2P3P4P5石knk12zk13k140111,2k21瓦k221,2工k230k25卜112,32,3送k31为k32Zk33为k34为k3512I1,22,31/1,43,4

23、k (1)1 k410zk43送k44k45（4）11,41,4丨20k52zk53kk54迟k55ll1 _!-3,43,41234I5杆系结构的总刚中kij只解来自某一单刚。而平面问题kij可能来自两个单 刚。更一般地，对于一个结构，若将其离散为m个单元，n节点则有：ki1riII1|P2r1 k2ik22k2ik2jk2nrA211：r1 :99aaaa:1r：11r1II1IRr1 ki1L-ki2k k kin2i 1仁> =I :aaiaa*:r1 11'Rjr|kjikj2k 0jik 0jjkjnIr1 ji1 :aaaaa*:1rr1:广1knikn2kniknjknn _A-n丿k1i1其kj为2 2子块Pyikiikink12vFR 二 Rx或者写为:k1总刚形成方法:1对角线子块kjj为：节点i相关单元（c）的单刚中kjj（e）求和。即2非对角线子块kj :若i, j为相关节点时：$=送kft至多2个单元求和）对平面问题若i, j为非相关节点时：Kj = 0ij主子块看点 副子块看线 实际上，程序是按单刚中对应下标求和进行的。因此，通俗一点就是:三、总刚度矩阵的性质1总刚k为对称矩阵。'kij'kji（子块）可由单刚对称性及总刚形成的方法看ki3 = k3i e =