讲义_直线与圆的位置关系

1、itiA：板块考试要求A级要求B级要求C级要求直线与圆的W ¥ 方 位置大糸了解直线与圆的位置关 系；了解切线的概念， 理解切线与过切点的半 径之间关系；会过圆上 一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能 利用直线和圆的位置关系解决简单问 题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定1、设OO的半径为r，圆心0到直线I的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表:宀护¥方 位置大糸图形定义性质及判定相离d直线与圆没有公共点.d >r二直线I与O 0相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，唯

2、一公共点叫做切点.d =ru直线I与O0相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线.d <r直线I与O0相交从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示:直线和圆的位置关系相交相切相离Page 1 of 11公共点个数210圆心到直线的距离 d与半径r的关系d crd =rd >r公共点名称交占八、切点无直线名称割线切线无二、切线的性质及判定1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.2. 切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：到圆心距离等于半径的直

3、线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3. 切线长和切线长定理： 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.切线的判定定理设OA为O O的半径，过半径外端 A作I丄0A,贝U O到I的距离d=r, I与O O相切.因此，我们得至U：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注：定理的题设 经过半径外端” 垂直于半径”，两个条件缺一不可.结论是 直线是圆的切线”举例说明：只满足题设的一个条件不是O0的切线

4、.A_APage 2 of 11证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上切线的性质定理及其推论我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足:（1）垂直于切线（2）过切点 （3）过圆心AMTB切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.定理：过圆心，过切点二.垂直于切线OA过圆心，OA过切点A，则0A丄AT 经过圆心，垂直于切线：过切点1 AB过圆心一,为切点2 AB _MT 经过切点，垂直于切线二.过圆心0 ）AM丄MT = am过圆心才M为切点三、三角形内切圆1 .定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内

5、心，这个三角形 叫做圆的外切三角形.2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形.3. 直角三角形的内切圆半径与三边关系图（1 ）中，设a ,b ,c分别为 ABC中£A，B，C的对边，面积为 Ss11则内切圆半径（1） -p，其中 1a b c ；图（2）中"90,则a c四、典例分析：切线的性质及判定Page 3 of 11【例1】【例2】AC如图，直线AB与OO相切于点A ,A例2ADC巩固OO的半径为2，若.OBA =30，贝U OB的长为（）A. 4.3 B. 4C. 2 3 D. 2如图，AB是L O的直径，点D在

6、AB的延长线上，过点D作L O的切线，切点为C，若/ A = 25 ,【巩固】如图，AB与OO相切于点B，线段OA与弦BC垂直于点D , . AOB =60 , BC = 4cm，则切线【例3】AB =如图，若L O的直径AB与弦AC的夹角为30，切线CD与AB的延长线交于点 D，且L O的半【巩固】径为2，则CD的长为（A. 2.3 B. 4.3C. 2BC _ AD 于点 C ,如图，EB为半圆O的直径，点巩固AB =2，半圆O的半径为2，贝U BC的长为【例4】如图，已知以直角梯形 ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相D , C , E .求证：以CD相切

7、.巩固【巩固】如图,已知以直角梯形 ABCD中，以AB为直径的圆与CD相切，求证：以CD为直径的圆与 ABPage 4 of 11相切.【例5】 已知：如图，在 ABC中，AB二AC，以BC为直径的半圆 0与边AB相交于点D，切线DE _ AC ,1垂足为点E 求证：（1 ） ：ABC是等边三角形；（2） A-CE .3【例6】 如图，JABC中，AB =AC , 0是BC的中点，以0为圆心的圆与求证：AC是L 0的切线。C【例7】 如图，已知 AB是L 0的直径，BC为L 0的切线，切点为 B , 0C平行于弦AD , 0A=r。（1）求证：CD是L 0的切线;(2) 求AD 0C的值；9(

8、3) 若 AD 0C r，求 CD 的长。2B【巩固】 如图，已知AB是L 0的直径，BC是和L 0相切于点若 0A =2 且 AD 0C =6，贝U CD =Page 5 of 11BMC【巩固】 如图，MP切OO于点M，直线0P交O0于点A B，弦AC / MP，求证：M0 / BC 【巩固】 如图，AB是半圆（圆心为 0）的直径，0D是半径，BM切半圆于B, OC与弦AD平行且交BM于C。（1）求证：CD是半圆的切线；（2）若AB长为4，点D在半圆上运动，设 AD长为x，点A到直线CD的距离为y，试求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。【例8】如图，AC为L O的直径，B

9、是L O外一点,D点，DE二DC，作EF _ AC于F点，交（1）求证：BC是L O的切线；（2）EM =FM。AB交L O于E点，过E点作L O的切线，交BC于AD于M点。BDC【例9】如图，割线ABC与L O相交于B、C两点，D为L O上一点,E为BC的中点，OE交BC于F，DE 交 AC 于 G， . ADG AGD。（1）求证：AD是L O的切线；（2）如果 AB =2，AD =4，EG =2，求 L O 的半径。【例10】A如图，已知点E在 =ABC的边AB上，以AE为直径的OO与BC相切于点D，且AD平分【巩固】BAC .求证：AB是圆的直径,ABC 二EBCAC _ BC .BC

10、是它的弦，过 C作圆的切线CD，过B作则B【例11】如图，已知Rt ABC中，/ABC =90，以AB为直径作 O O交AC于D，过D作O O的切线 DECPage 6 of 11交BC于E .求证：BE =CE .【巩固】如图，已知OO的弦AB垂直于直径CD ,垂足为F ,点E在AB上，且EA=EC ,延长EC到点P ,连结PB，若PB=PE，试判断PB与OO的位置关系，并说明理由.D【例12】如图，点P在L O的直径BA的延长线上， AB=2PA , PC BL O于点C ,连结BC .(1)求.P的正弦值；(2 )若L O的半径r =2cm，求BC的长度.AOB【巩固】在Rt ABC中，

11、.ACB =90 , D是AB边上一点，以 连结DE并延长，与BC的延长线交于点F .(1)求证：BD =BF ;(2 )若 BC =6 , AD =4，求 O O 的面积.BD为直径的【例13】如图所示，AB是OO直径，OD丄弦BC于点F ,(1 )判断直线BD和OO的位置关系，并给出证明;(2)当 AB =10, BC =8 时，求 BD 的长.【巩固】已知：如图，O O的直径AB =8cm , P是AB延长线上的一点，过点 P作OO的切线，切点为C ,连接AC .Page 7 of 11【例14】(1 )若.ACP =120，求阴影部分的面积；(2 )若点 P在AB的延长线上运动，ZCP

12、A的平分线交 AC于点PC =4 .tan 60= 4 3 /S阴影=S qpc - S扇形boc = 8. 3的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出/丄的32度数.在平行四边形 ABCD中，AB =10, AD二m , D =60，以AB为直径作OO ,(1)求圆心O到CD的距离(用含m的代数式来表示);(2 )当m取何值时，CD与O O相切.B【例15】已知：如图,O O的直径AB与弦CD相交于E ,交于点F .(1) 求证：CD / BF .3(2) 连结BC，若O O的半径为4 , cos BCD =三,4BC二BD , O O的切线BF与弦AD的延长线相【巩固】 如图，

13、在 ABC中，乙C =90 , AC =3 , BC =4 . O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点 D , E，连结DE .(1 )当BD =3时，求线段DE的长;(2)过点E作半圆O的切线，当切线与 AC边相交时，设交点为形.Page 8 of 11典例分析：切线长定理及切线性质的应用【例16】在Rr ABC中，.A =90，点O在BC上，以O为圆心的O分别与若AB =a , AC b，则L O的半径为()a babC、竺a +bD、AB =9，则四CD = 4，【例17】如图，AB_BC , DC_BC , BC与以AD为直径的L O相切于点 E ,边

14、形ABCD的面积为DOE的大小是否保持不变，并说明理由。【例20】BD =4，贝U ：ABC的面积AD【例18】如图，过L O外一点P作L O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连结AB，在AB、PB、PA 上分别取一点 D、E、F，使 AD =BE ，BD =AF，连结 DE、DF、EF，则.EF =()1 iA、90 - . PB、90 PC、180 PD、45 -2 2【例19】如图，已知：ABC中，AC二BC , NCAB=> (定值)，L O的圆心O在AB上，并分别与 AC、BC相切于点P、Q。(1)求.POQ ;(2 )设D是CA延长线上的一个动点，DE与L O相切于点P

15、age 9 of 11【例21】正方形ABCD中，AE切以BC为直径的半圆于 E，交CD于F ,贝U CF : FD =()A、1 ：2B、13C、1 4D、2 ：【巩固】 如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆, 于F，交BA的延长线于G , GA =8。(1) 求.G的余弦值；(2 )求AE的长。【例22】如图，AB是半L O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动(不与点 M重合)，点Q在半L O上运动，且总保持 PQ = P0，过点Q作L O的切线交BA的延长线于点C。(1)当.QPA=60时，请你对.：QCP的形状做出猜想，并给予证明；(2 )当QP_AB时，. QCP的形状是 三角形；(3) 则(1) (2)得出的结论，请进一步猜想，当点