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文档简介
1、函数的值域 一、知识点内容和要求: 掌握求某些函数的值域的常用方法了解函数最值的概念,掌握某些函数求最值的常用方法 二、教学过程设计(一)复习 函数的定义域 值域的概念(二)新课 函数的值域函数的值域决定于函数的定义域和对应法则,求值域对应先求定义域,确定函数的值域,常用的方法或技巧有:利用函数的单调性观察分析;利用互为反函数的定义域与值域的互换关系;利用配方法;利用换元法;利用判别式法;利用函数同象数形结合等。1、利用函数的值域(1) (2)解:(1)x2,y0, 值域2,+)(2) 2、求反函数法例2、求下函数的值域:(1) (2)解:(1)法一:y1 值域(-,1)
2、v(1,+)法二:求:函数的反函数为: x1 (反函数的定义域(-,1)v(1,+)函数的值域为(-,1)v(1,+)(2)(-1,1练习:求下列函数值域:值域(-,-3)v(-3,1)v(1,+) 值域-1,1) 3、配方法例3、求下函数值域(1) 1,+)(2) 值域:0,(3) 值域:,+) 4、换元法例4、求函数此题所给出这类无理函数,一般采用换元法,转化为二次函数的条件最值来求值域,也可利用判别别式法求值域,但变形可能引起值域的变化,因以必须进行检验。解法一、换元法当t=1时,y有最大值4函数值域为(-,+4 解法二、判别式法函数定义域为由所给函数,
3、变形整理可得:xRy4,而当y=4时,x=3函数的值域为(-,4 5、判别式 (注意换用,再扩大范围)例5、求下列函数的值域(1) (2)解:(1)定义域:R 由所给函数,可得:若y0,若y=0,x=0R值域为(2)v(0,+) 练习:求下列函数的值域(1) 值域9,+)(2) 值域(0,32(3) 值域(4) 值域(-,-1(5) 值域 2、函数的最值1、定义:设函数y=f(x)定义在区间Z上,若对于任意xZ,存在Z,满足;。注意:最值与值域相关,对整个区间而方,极值或边界点;值域是开区间,无最值;单调函数值只能在边界处取到。2、求最值的常用方法与求值域方法
4、类似。(1)与二次函数有关的最值。例1、求下列函数的最值解:(1)当x=-1时,y最小值=-3(2)当x=0时,y最小值=-1;当x=3时,y最大值=29;(3)当x=-2时,y最小值=-1;当x=-3时,y最大值=5;(4)当x=-1时,y最小值=-3;当x=2时,y最大值=15;(5)当x=-1时,y最小值=-3;无最大值。例2、求下列函数的最值。(1)(2)(3) 当x=1时,y最小值=1,当x=3时,y最大值=2(4) 当x=2时,y最小值=16。例3、求函数 x0,1若a0时,当x=0时,y最小值=0,当x=1时,y最大值=1-2a;若a1时,当x=0时,y最小值=0,当x=1时,y
5、最大值=1-2a;若0a时,当x=a时,y最小值=,当x=1时,y最大值=1-2a;若a1时,当x=0时,y最小值=,当x=a时,y最大值=0。例4、aR,求的最小值。提示:换元,设,a2时,当x=0,y最小值=2-4aa2时,当,y最小值=。例5、已知,且xt,t+1,讨论f(x)的最值情况。解:,xt,t+1,当时,函数在x=2时,有最小值-1,在x=t处有最大值f(t);当 时,函数有最小值f(2)=-1,有最大值;当时,函数有最小值f(2)=-1,有最大值f(t+1);当t1时,函数为减函数,最小值为f(t+1),最大值为f(t);当t2时,函数为增函数,最小值为f(t),最大值为f(t+1)。例6、设x+2y=3 (x0,y0)求的最大值。提示:代入消元,并注意确定x,y的取值范围,当x=3时,取最大值9。 作业:1、求下列函数的值域:(1) (2X4) (,1)(2) (-10,1v3,+)(3) 2、求下列函数的最值。(1) x-3,0 (1)y最大值=-6,y最小值=-36;(2) xR (2)y最小值=-,无最大值;(3) (3)y最大值=,y最小值=0;(4) (4)y最大值=2,y最小值=-1。3、已知f
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