圆锥曲线的焦半径巧用

1、5=a + X e, R 右=a- x e,R 左=X e + a, R 右=x e- a ( x 0),R 左=-(X e + a), R 右=-(x e- a) ( x 0, b 0)右支上的一点，Fi, F2是其左右焦点.2则有左准线方程为 X .由双曲线的第二定义得，左焦半径为| PFi | e(xo2a)eX0 a；c(|PF2|亦可由第二定义求得).C以Fi为顶点，由 |PFi|- |PF2| =2a,得 |PF2| = |PF2卜 2a = ex0 - a.例i已知Fi, F2是椭圆E的左、右焦点，抛物线一个交点，如果椭圆E的离心率e满足|PFi| = e | PF2 |,贝U

2、e的值为(J2f-/3(A) Y (B)2 (3(C)计解法 i 设 Fi (- c, 0 ), F2(c , 0), P(X0 , y0),F2为焦点，设P为椭圆与抛物线的)(B) 243(D)272于是，抛物线的方程为y2 = 2 (4 c)(x + c),抛物线的准线I: X =-23 C，椭圆的准线m： x 2设点P到两条准线的距离分别为 di , d2于是，由抛物线定义，得 又由椭圆的定义得 |PFi| = ed2，而|PFi| = e | PF2 |,di = | PF2 | , e普.故选a22 i3c e - c3解法 2 由椭圆定义得|PFi| + | PF2 | = 2a，

3、又 |PFi| = e | PF2| PF2 | (i+ e) = 2a,又由抛物线定义得| PF2 | = X0 + 3c,即X0 = | PF2 | - 3c,由椭圆定义得 | PF2 | = a- ex0 , 由 得 | PF2 | = a- e | PF2 | + 3ec,l卩 | PF2 | (i+ e ) = a + 3ec, 由得2a = a + 3ec,解得e ，故选(C).3点评 结合椭圆、抛物线的定义，并充分运用焦半径是解答本题的基本思想.例2设椭圆E: b2x2 + a2y2 = a2b2 (a b 0)，的左、右焦点分别为Fi, F2,右顶点为A,如果点圆E上的任意一点

4、，且 |MFi| |MF2|的最小值为-a2.4由得d2 = | PF2 |,故di = d2，从而两条准线重合.(C).M为椭(1) 求椭圆的离心率e;(2) 设双曲线Q:是以椭圆E的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任取 否存在常数入(入 0)，使得/ PAFi =入/ PFiA成立？试证明你的结论.分析对于(i)可利用焦半径公式直接求解.而(2)是一探索型的命题，解题应注重探索.由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率.而/ PFiA显然是一锐角，又易知/ PAFi是(0, i20o)内的角，且90。是斜率不存在的角.于是，抓住90。这一特殊角试探，可得解法i,若注重斜

5、率的研究，考查所两角差的正切，可得解法2;若转变角的角度来观察，将/PFiA变为/ PNFi，使/ PAFi变成 PNA的外角，可得解法 3;若考查角平分线的性质可得解法4;若从图像与所求式的特点分析得知，所求的入必须是大于i的正数，从常规看来可以猜想到它可能是二倍角或三倍角的关系.由此先探索一下二倍角的情Q上一点P,试冋是cPAFi，可得形，考查角平分线定理，可得解法5;若是考查/ PFiA与/ PAFi的图形位置，直接解三角形到解法6.(i)解 设M(xo, yo),由椭圆的焦半径定义得|MFi| = a +exo,|MF2|= a-exo,|MFi| |MF2| = (a +exo)(a

6、-exo) =a2-e2xo2,|MFi| |MF2| 的最小值为 a2,且 |xo|w a, a2- e2xo2 a2-e2a2 =-3a2，解得4(2)解法i由题意得 双曲线的离心率e = 2,且双曲线的实半轴长为2 2-Li , c2 3c2(入 0),PA丄x轴时，点P的横坐标为2c,故设双曲线Q的方程为假设存在适合题意的常数入 考虑特殊情形的入值.当从而点P的纵坐标为y = 3c,而|AFi| = 3c,c ,半焦距为2c, PAFi是等腰直角三角形，即/ PAFi = - , / PFiA =-,从而可得 入=2 . PA不与x轴垂直时，则要证/ 由于点P(Xi, yi)在第一象限

7、内，故PAFi = 2/ PFiA成立即可.PFi , PA的斜率均存在，从而，有kpF1亠tanXi cPFiA ,kpAyixi 2ctanPAFi，且有yi23(xi c)(xi c),又 tan2 PF1A2kPFii k2PFi2(Xi c)yi2 2 (xi c)yi将代入得tan2 PF1A2(xi c)yi(xic)22 yixiyiIckpA,由此可得 tan2/ PFiA = tan / PA Fi, P 在第一象限，A(2c, 0),2PAFi (0, q寸,由正切函数的单调性得2/ PFiA = / PA Fi.PAFi = 2 / PFiA 成立. c ,半焦距为2c

8、,又 / PFiA为锐角，于是，综合上述得，当入=2时，双曲线在第一象限内所有点均有/I解法2由题意得 双曲线的离心率 e = 2,且双曲线的实半轴长为2 2故设双曲线Q的方程为笃丄i ,c2 3c2由于点P(Xi, yi)在第一象限内，故 PFi , PA的斜率均存在.且/ PFiA为锐角. 又 y 3(xi c)(Xi c), 设/ P AFi=入B,入90。时，则tan(入 B)kpA Xiyi2c而 tan(2 B) fi选yixi 2c_yxi 2c xiyixici cyi (2xic)xf cxi 2c2 y2yi (2xi c)(xi 2c)(xi c) 3(xi c)(xi

9、c)yi(2xic)(Xi c)(c 2xi)yi(Xi c) tan(入 B- B) = tan B / P FiA = B为锐角，又 / P A Fi =入3 (0,牛),- tan(入B- B) = tan B 0,故入 B- B是锐角，由正切函数的单调性得入=2 .设/ PFiA = B，则 tankPFi ft显然，当入B = 90o时亦成立.故存在入=2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2/ PF1A = / PA F1成立.解法3由上述，得入=2，设P是射线PA上的一点，其横坐标为X0 ( X0 c), 在x轴上取一点N (2 x0 +c , 0),使 PF1N为等腰三角形，/

10、P F1N = / P NF1 .故当/ P AF1 = 2 / P F1A 时，有/ P AF 1 = 2 / P NA , 从而/ AP N = / P NA,贝U |AN| = |AP |,l于H，如图9-5.|p H = X0-2c .故 |PA|PH |2X0 C =2 = e. C2P重合.X0故 由xo c的任意性得，当入 解法4由题意得，设点.点P是双曲线在第一象限内的点，又A(2 c, 0)是一焦点， |AP| = 2X1- c, |AF1| = 3c,设 AD 为/ F1AP 的平分线，点P 是双曲线上的点,且与=2时，双曲线在第一象限内所有点均有P(X1 , y1),2/

11、 PFiA = / PAF1 成立.由角平分线性质及定比分点公式，得3cC X12x1 CXD2x1 c3x1)2X1 2cc( 2x1 c由此可得，点D在双曲线的右准线上，从而可得准线是 故 AF1D为等腰三角形，且/ PF1A = / DAF1 , 又由得 / PAF1 = 2/ PAD =2 / DAF 1, / PA F1 = 2 / P F1A，故入=2.解法5由题意得，设点P(X1 , y1),因为点P是双曲线在第一象限内的点： 又 A(2c, 0)是一焦点，于是，有 |AP| = 2X1- C, |AF1| = 3c,| PF1| 2 = (X1 + c)2 + y12 = X1

12、2 + 2 X1C+ c2 + 3 X12- 3 c2 = 4 X12 + 2 X1C- 2 c2,AFi的中垂线图9-5在APF1 中有 cos F1 94x1 2X1C 2 (2X1 C)26c(xi C)x1c2 3c22x1C 2c6qC)(xiC)V 2(2x1C)2 2 2 29c(2X1 c)2 (4x12 2X1C 2c2)cos A 2 3c (2x1 c)6c(X12c)2 3c (2x1 Cy2c X12X-I cX1C于是，有2(2(2；丿-1 =2x1 c即 2(C0S / Fi)2-1 = cos 2/ Fi = cos/ A,A(2c ,0),于是 |AN| =

13、|AP | = 2X0- c.过 P 作 P H 垂直于准线 / A、/ F1 是APF1 中的内角，且/ F1 是锐角，故有 2/ F1 =/ A,即 / PA F1 = 2 / PNF1,所以入=2时，能使得双曲线在第一象限内所有点均有/ PA F1 = 2 / PF1A .解法6设点P(X1 , y1)是双曲线第一象限的点.A(2 C, 0), F1(- C, 0)，连AP , F1P,如图9-5.由双曲线的焦半径定义得 |AP| = 2x1- C,又设点N是点F1关于直线X = X1的对称点，则有 |PF1| = |PN|,且 N (2x1+ c , 0)，从而 / PF1N = /

14、PNF1.又 |AN| = 2X1 + C- 2c = 2x1- c = |AP| , / APN = / PNF1 .由此可得 / F1AP = 2 / PNF1 ,即 / Rap = 2 / PNF1 = 2/ PF1N ,所以 入=2 .故存在入=2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2/ PF1A = / PA F1成立.点评 对于(1)，利用焦半径公式求解是解题的常规方法；对于 (2)，方法1、先由特殊情形探求出入的 值，然后再证明它对一般的情形也成立，这种方法是解决有关探索性问题的常用方法；方法2巧用了斜率与正切函数的性质直接求得入；方法6与方法3、思维独到，都是通过变换角，把/PF

15、1N变为/ PNF1，利用三角形的内角外角的关系，发现到|AN| = |AP|，从而也就发现了相应的解法且解法3与解法6是不同,解法6事先不知道入的值是 2,它具有探索性而解法 3是先知道入的值，后推证 P点在双曲线上，它是 具有目的的推证.解法4,具有猜想性，是我们分析问题时常用的一种思想方法；解法5,注重对两角所在的三角形的探索， 坚定不移地解三角形 PAF1,抓住了问题的本质特征分析，这种方法也是使问题获得巧解的常用一种思想方法.m、n的两段，求证：-m已知抛物线 y2 = 2Px的焦点弦AB被焦点分成长度为#证明如图设A、 B在该抛物线的准线上的射影为9-6 由抛物线的焦半径的定义得|EF | AF |BD | |AB|由相似三角形性质知C、D，连ad交X轴与E,|AC| = |AF| = m, |BD| = |BF| = n,mn|EF| m n同理|EH | mn，故 m n|EF| = |EH|,E与0重合.故A、0、D三点共线.同理 B、0、C三点共线.y -Cl-lN知MH Dz/l0 FXrB图9-6- |EF| + |EH| = P = 2竺,故丄丄舟. m nm n P点评 本题有一个特殊的几何模型