2015年高考文科数学真题答案全国卷1

1、2015年高考文科数学试卷全国卷 1 (解析版)1. . D【解析】n=2 时，3n+2=8,当 n=4 时,3n+2=14,故 AA B=8,14,故选 D.试题分析：由条件知，当考点：集合运算2. A【解析】uuu试题分析：: ABuurOBuunOA= (3,1 ),uumBCuuurACunnAB =(-7,-4),故选 A.考点：向量运算3. C【解析】试题分析：，(z1)i 11 2ii , - z=i(12i2( i) 2 i ,故选 C. i考点：复数运算4. C【解析】试题分析：从1,2,3,4,5 1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3

2、,4,5 ,故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为 工，故选C.10考点：古典概型5. B【解析】试题分析：.抛物线 C:y2 8x的焦点为(2,0),准线方程为x 2, 椭圆E的右焦点为(2,0),22，椭圆E的焦点在x轴上，设方程为 三 4 1(a b 0), c=2, a bc 1. 222 一x y- e , a 4 . . b a c 12 .椭圆 e 方程为1,a 216 12将x2代入椭圆E的方程解得A (-2,3), B (-2, -3),|AB|=6 ,故选B.考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质6. B【解析】116试题分析：设圆锥底面半径为r,则-2 3r 8

3、 ,所以r 一，所以米堆的体积为431 1 3 ()2 5 = 32° ,故堆放的米约为4 339考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7. B【解析】3209+ 1.62 22,故选B.试题分析：.公差S84s4, 8al,14(4al 万a10 a1 9d19,一，故选B.2考点：等差数列通项公式及前8. D【解析】n项和公式试题分析:由五点作图知,令2k(2k2k 42k 3),4考点:9. C三角函数图像与性质试题分析：执行第 1次,>t=0.01,是,循环,执行第2次,执行第3次,执行第4次,执行第5次,执行第6次,执行第7次,Z,故选解得2k一,所以4f (x) cos(

4、 x ), 432k 4Z ,故单调减区间为D.t=0.01,S=1,n=0,m=1c=0.5,S=S-m=0.5,2m=0.25,n=1,S=0.5 2S=S-m =0.25, mS=S-m =0.125, mS=S-m=0.0625, mm一 二0.125,n=2,S=0.25 >t=0.01,2S=S-m =0.03125, mS=S-m=0.015625, m是,循环,m=0.0625,n=3,S=0.125 >t=0.01,是，循环， 2m=0.03125,n=4,S=0.0625 >t=0.01,是，循环,2S=S-m=0.0078125, mm=0.015625

5、,n=5,S=0.03125 >t=0.01,是，循环， 2m =0.0078125,n=6,S=0.015625 >t=0.01,是，循环，2 m=0.00390625,n=7,S=0.0078125 >t=0.01,否，输出 2n=7,故选C.考点：程序框图10. A【解析】试题分析：. f(a) 3, 当a1 时，f(a) 2a 1 23,则 2a 11 ,此等式显然不成立，当 a 1 时，10g2(a 1)3 ,解得 a 7,. f (6 a) f( 1) = 2 1 1 27 ,故选 a.4考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质11. B【解析】试题分析：

6、由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为1 4 r2 r 2r r2 2r 2r =5 r2 4r2 =16 2+ 20,解得r=2 ,故选B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式12. C【解析】试题分析：设 (x, y)是函数y f(x)的图像上任意一点，它关于直线y x对称为(y, x ),由已知知(y, x )在函数y 2x a的图像上，x 2 y a，解得y log2( x) a , 即 f (x) log 2( x) a ,f( 2) f( 4)10g22 a log24 a 1,解得 a 2

7、,故选 C.考点：函数对称；对数的定义与运算13. 6【解析】试题分析：.a12,an12an,数列an是首项为2,公比为2的等比数列， Sn 2(1 2)126, 2n 64 ,n=6.1 2考点：等比数列定义与前n项和公式14. 1【解析】试题分析：: f (x) 3ax2 1 , f (1) 3a 1,即切线斜率 k 3a 1,a 2 7.一又 f(1) a 2, .切点为(1, a 2), 切线过(2,7), . a3a 1,解得 a1 21.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；15. 4【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 l0： 3x y 0,

8、平移直线l0,当直x y 2=0 线l :z=3x+y过点A时，z取取大值，由解得A （1,1 ） ,，z=3x+y的取大值为x 2y 1=04.考点：简单线性规划解法16. 12J6【解析】试题分析：设双曲线的左焦点为F1 ,由双曲线定义知，|PF| 2a | PF1 |,. APF的周长为 |PA|+|PF|+|AF|=|PA|+ 2a | PF1 |+|AF|=|PA|+ |PF1 |+|AF|+ 2a ,由于2a | AF |是定值，要使APF的周长最小，则|PA|+ | PF1 |最小，即P、A F1共线, A 0,6 J6 , F1 ( 3,0 )，直线 AF1 的方程为1,即 x

9、 y= 2.63代入2x2 匕 1整理得y2 6后96 0,解得y 276或y 88J6（舍），所以P点的纵S PFF1 =一26 6/61 6 2.6=12.6.2一S APFS AFF1考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题17. （1） 1 （n） 14【解析】B的余弦值；（n）由（I）知试题分析：（I）先由正弦定理将 sin2 B 2sin Asin C化为变得关系，结合条件 a b,用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角.2b = 2ac,根据勾股定理和即可求出 c,从而求出 ABC的面积.2试题解析：（I）由题设及正弦定理可得 b2 = 2ac又a =

10、b,可得 b = 2c, a =2c,2 + 222ac由余弦定理可得cos B = a-c-b-=-(n)由知 b2 = 2ac.因为B=90。，由勾股定理得 a2+c2=b2.故 a2 +c2 = 2ac ,得 c = a = ., 2 .所以DABC的面积为1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力18. （I）见解析（n）3+2通【解析】试题分析：（I）由四边形 ABC的菱形知ACA BD,由BEA平面ABCD 口 ACA BE,由线面垂 直判定定理知 ACA平面BED由面面垂直的判定定理知平面 AEC 平面BED ; （ n ）设 AB=X ,通过解直角三角形将 AG GC GB G

11、D用x表示出来，在 RtDAEC中，用x表示EG在RtDEBG中，用x表示EB,根据条件三棱锥 E ACD的体积为。求出x,即可求出三棱车B E ACD的侧面积.试题解析：（I）因为四边形 ABCM菱形，所以 ACA BD, 因为BEA平面 ABCD所以 ACA BE,故 ACA平面BED.又ACi平面AEC所以平面 AE。平面BED(n )设 AB=X ,在菱形 ABCM,由 DABC=120 ,可得 AG=GC虫 x ,GB=GD=x . 22因为AEA EC,所以在RtDAEC中,口3可得 EG=-3- x.由BEA平面abcd知Deb助直角三角形，可得 BE=x 21由已知得，二棱锥

12、E-ACD的体积VE-ACD =- 3一AC GD?BE 2、- 6 36 ,x =.故 x =224从而可得AE=EC=ED=6 .所以DEAC的面积为3, DEAD的面积与DECD的面积土匀为.5 .故三棱锥E-ACD的侧面积为3+275.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理 能力；运算求解能力19. （1） y c d JX适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型（n）y 100.6 68 . x (出)46.24【解析】试题分析：（I）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（n）令w 版,先求出建立y关于w的线性回归方程，即

13、可 y关于x的回归方程；（出）（i ）利用y关于x 的回归方程先求出年销售量 y的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年 利润z的预报值；（ii）根据（n）的结果知，年利润 z的预报值，列出关于 x的方程，利 用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用试题解析：（I）由散点图可以判断，y c djx适合作为年销售 y关于年宣传费用x的回归方程类型.108.816=688_(wi w)(y)i 182(wi w)i 1（n）令 w ，7 ,先建立 y关于w的线性回归方程，由于，$ y 町=563-68 X 6.8=100.6. y关于w的线性回归方程为 &#

14、167; 100.6 68w,.y关于x的回归方程为$ 100.6 687x .（出）3）由（11）知，当x =49时，年销售量y的预报值y 100.6 68749=576.6 ,$ 576.6 0.2 49 66.32 .（ii）根据（n ）的结果知，年利润z的预报值$ 0.2（100.6 68Vx） x x 13.66 20.12,.当Tx =6 8 ,即x 46.24时，取得最大值. 2故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识褊-V7 4+7720 1丁(n) 2【解析】试题分析：（I）设出直线l的方程

15、，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于 k的不等式, 即可求出k的取值范围；（n）设M（xi,yi）, N（x2,y2）,将直线l方程代入圆的方程化为关 于x的一元二次方程，利用韦达定理将 x1x2, y1y2用k表示出来，利用平面向量数量积的坐uuuu uuir标公式及OM ON 12列出关于k方程，解出k,即可求出|MN|.试题解析：（I）由题设，可知直线 l的方程为y = kx + 1.因为l与C交于两点，所以 12k-3+1|<1. x1+k2-4-、7/ 4+7解得< k < 所以k的取值范围是(n)设 M(xi,yi),N(x2,y2).将y = kx + 1代入

16、方程4(k+1) 所以x1 + x2 =;211 + k_ 2_ 22、 2 _(x-2) +(y-3) =1，整理得(1 + k )x -4(k +1)x + 7 = 0 ,7,xx2 =5.1+kUuUud1r. .2. 4k(1+k) -OM ?ON x1x2 + y1y2 =1+k x1x2+k x1+x2 +1=+8 ,1+k由题设可得 4k*+ 8=12 ,解得k=1,所以l的方程为y = x +1 .1+k2故圆心在直线l上，所以| MN |=2.考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力21. （I）当a£0时，f（x）没有零点；当a>0时，f Qx）

17、存在唯一零点.（n）见解析试题分析：（I）先求出导函数，分 a£0与a>0考虑f x的单调性及性质，即可判断出零点个数；（n）由（I）可设 f （x）在（0,+ ¥）的唯一零点为x0,根据f x的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于-.2 2a+a ln ,即证a明了所证不等式.试题解析：(I) f (x)的定义域为(0,+ ¥) , f x)=2e2x-(x>0).当a £0时，f9x) > 0 , f (x)没有零点;当a>0时，因为e2x单调递增,习单调递增, x所以f双)在(0,+ &#

18、165;)单调递增.又f (a)>0,a1当b满足0 < b < 且b < 时，f (b) < 0 ,故当a >0时，f (x)存在唯一零点 44(n)由(I)，可设 f(x)在(0,+ ¥)的唯一零点为 x0,当 x?(0, x0)时，f4x)<0；当 x违(x0,+ )时，f (x) >0.故f(x)在(0, x0)单调递减，在(x°,+ ¥)单调递增，所以当x = x0时，f (x)取得最小值,最小值为f(x0).aln .2 a 一a2 一由于 2e=0 ,所以 f(x0)=+ 2ax0+aln ？ 2ax0

19、2xga2故当 a>0时，f (x)? 2a aln-.a考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.22. (I)见解析(n)60°【解析】试题分析：(I)由圆的切线性质及圆周角定理知，AH BC, AC± AB,由直角三角形中线性质知DE=DC OE=OB利用等量代换可证/ DEC吆OEB=90 ,即/ OED=90 ,所以 DE是圆O的切线；(n )设CE=1,由OA J3CE得，AB=2j3 ,设AE=x ,由勾股定理得 BE 712 x2 ,2由直角二角形射影定理可得 AE CEgBE ,列出关

20、于x的方程，解出x,即可求出/ ACB 的大小.试题解析：(I)连结 AE,由已知得，AE± BC, AC! AB,在 RtAEC中，由已知得 DE=DCDECN DCE连结 OE / OBE4 OEB. / ACB+Z ABC=90 , . . / DECy OEB=90 ,，/OED=90，.二DE是圆O的切线.(n)设 CE= AE=x,由已知得 AB=2，3, BE Jl2 x2 ,由射影定理可得，AE2 CEgBE ,x2 Vl2 x2 ,解得 x=V3,ACB=60° .考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理23. (I) cos 2, 2 2 cos 4 sin 4 0 (n) 12【解析】Ci, C2的极坐标方程；(n)将将=一代入 2 24cos 4 sin0即可求出