直线与双曲线地相交弦问题

1、直线与双曲线的相交弦问题直线与双曲线相交的弦长公式AB=J(xX2)2 2+(yi-y2)2 2(两点之间的距离)AB=.W1k2X2-Xi=J(1k2)(xiX2)2-4x1X2AB=j+A、V2yi=j(i+)(yi+丫2)24%丫21一、双曲线方程和直线方程求弦长2_过双曲线X2 2-y-=i的左焦点Fi,作倾斜角为t的弦AB,求AB;AF2AB的面积(F2为双曲线的右焦点)(1)双曲线焦点FJ2,0),凡(2,0),直线方程为代人双曲线方程,存8/4JC130.设A(JCJ1),灰川,力),.113.不十工；;一万,工1g一石.方法一工IAB|二.八一皆、/5=3,方法二:根据圆锥曲觌

2、的共同性防暮BFL|=以+&1 1= =1+2&1+2&+ +AFig-Ga+呵尸一1-2的,网=|BFi|-|AF/=l+HTT-2zi)2H-2(ii+g)=三2,、,.2y上,一,、1i、求直线y=X+i被双曲线X2 2=i截得的弦长；42-2.n_一、2、过双曲线16X9y=i44的右焦点作倾斜角为；的弦AB,求弦长AB实用标准例i、文档大全223、斜率为2的直线L被双曲线上上=1截得的弦长为2、运,求直线L的方程;544、过双曲线x2-y2=1的左焦点F2,作倾斜角为工的直线与双曲线相交于A,B两点,求:3(1)弦长|AB(2)AFAB的周长(F2为双曲线的右

3、焦点)二、弦长求双曲线方程5、焦点在x轴上的双曲线上一点P,到双曲线两个焦点的距离分别为4和8,直线y=x-2被双曲线截得的弦长为20J2,求此双曲线的标准方程.冗,2.2一6、倾斜角为一的直线l被双曲线x-4y=60截得的弦长AB=852,求直线l的方程.4例2、双曲线方程为3x2 2y y2 2=3,求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程.方走一方走一; ;显然过显然过A12.1鼾率不存在的直或不符合条怦鼾率不存在的直或不符合条怦. .F-3+2K1即工+1一步73=0设弦的两端点为C HI,* ,D值,一那么工】 +能=笔,由题意羽+=&.;二詈铲=4.解得在二日,代入有A

4、=33X320,所以所求直线方程为y-=6工一2,即6工一NU=X法二:设过.42,1的直线与猊曲蛾3/y=3相交于PGi+Mq.4,骂两点,那么；彳 1两式相成.得3羽+及加一?制+M力一货=03晨f=3,:抬的=4,M一犷=2,代人式J导二：一6,即6吧6,射支线 PQ 的方程为m一y一11=0符工=2代入股一；/=3,修产=+3.二步.A 强.1在双曲线的内部,敌过A的直战於然与双曲线相交.从而所求的直线方程为6M一了一11=0.解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题,一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标,而是利用根与系数的关系或“平方差法求解.此时,假设点在双曲线的内部,那么中点弦一定存在,

5、所求出的直线可不检验,假设点在双曲线的外部,中点弦可能存在,也可能不存在,因而对所求直线必须进行检验,以免增解,假设用待定系数法时,只需求出k值对判另1式40进行验证即可.例3、双曲线方程为3x2y2=3.问：以定点B1,1为中点的弦存在吗？假设存在,求出其所在直线的方程；假设不存在,请说明理由.谩过段J J的 1 1 线与双曲底ST2jrjr7 7=3=3 相交于 5353,初 J J 两点,两式相题得 3 3工 i i+ +工：“痂一必+加y*-y*-假设白IJ为我段 MV 的中点,时有 4+不=3/+初-2,代人耨芭二*=3,即出曲-3,那么北媒 MN 的宙衽为3Lr-y-2=O.支 B

6、 在双曲迷的外耶.被要检践切可是否伤双曲娓和交.将第=七一？花入北一炉一孔捋 6 工 1 一 EZr+?=O.*/=240.二直螳易双曲蝇无支匾.从而以口1,口旁由点的羽不存在.谀所求直周方程为了一1=乂工一外,由了一1=比工一23一户3搓理得;嘿二二:一一2-27、中央在原点,顶点A1,A2在X轴上,离心率为变的双曲线经过点P6,63I求双曲线的方程;n动直线l经过WA的重心G,与双曲线交于不同的两点M,N,问是否存在直线l使G平分线段MN.试证实你的结论.解解设所设所求的双曲线方求的双曲线方程为三程为三- -彦且双彦且双曲叫过点尸曲叫过点尸 6,双曲线方程为双曲线方程为二上二上abI391

7、2可由条件的坐标分别为氏可由条件的坐标分别为氏6?-?-3.CM3、. ., , ,仃点坐标为仁、仃点坐标为仁、假设存假设存在直线在直线上上使使GQ,2平分线段平分线段MN,设葡的坐标分设葡的坐标分别为别为均名均名. .巧、巧、y212才才9页页=108, ,Q)门片门片- -9只只=108, ,(2)(1)-(2)12G-*)=95-)(凝+工J(再一天)=9(719(71+ +典)0)0- -Ja)T7T7三十三, ,71+/1.an71+/1.an, ,.此一为4 4r rr r12 2X1-x1X1-x130202迎9y=19y=1.二/初程为尸2 2士由4 4整理得4,+4,+益=.

8、3 3尸-2=;2=;工一2 20汨直线l：X+y=1相交于不同的点A、aB.求双曲线C的离心率e的取值范围;5设直线l与y轴的交点为P,且PA=?PB,求a的值.212解：1将y=X+1代入双曲线七一y2=1中得1a2 2X2+2a2 2X2a2=0aD由题设条件知,1aw0人,r一一一、.、,t42125,解得0a00a乎且e(2)设A(xi,yi),B(X2,Y2),P(0,1).5-PA=-PB,55,、5(X1,y1-1)=-(X2,y21).,X1=12X2,2八172a522a11-12X2=-1-a2?12X2=-1-a2?Xi、X2是方程的两根,且2a2 2289八17消去x

9、2信,17=而,a05-a=有10 .双曲线的焦点为F1-c,0,F2c,0,过F2且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点,假设522卜y2=1ba0,O为坐标原点,离心率e=2,点M 函,小在双曲线上.ab或汉此珏才租势W-g=4i.心律.方卡且无也由.*1!*/*?,且QCL戢宜城网it并率W|H粉以改版程为产飒才理摘备了昇W-+在、工-总洋NQ,工达加一为:产仇否利工It与双虫笠只肃一半变黯不合曼也不期 ft 尸行心小巧如、鹏市_6u!c总+国=一丁口？/TJ工.另寸群四产心m上一汉斯一.烟百.府党y.?=4tJi-y-Ji用一小片+及+/JJ又由于所以工工：+.Y1片.再8T：3rJi4-

10、Zj+3-D.时用电1+网审一曲底工邮询-西口=也从而/=必ftX强卡公上4=tzi+xj4xitsr有/所霭M老双也蚯方悝为/一=L11 .双曲线的中央为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为八I2,经过右焦点F垂直于11的直线分别交I1,I2于A,B两点.OAABOB1成等差数列,且BF与FA同向.I求双曲线的离心率;AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.设OA=md,AB=m,OB=m+d由勾股定理可得：(md)2+m2 2=(m+d)2 222解：(1),e=2,.c=2a,b2 2=c2-a2=3a2,双曲线方程为君=1,即3x2-y2=3a2 2点M(45,V3)在双曲

11、线上,15-3=3a2 2.-.a2=4.OP1OQ其中O为原点,PQ=4,求双曲线方程.得：d=lb-tanAOF=-,tanAOB=tan2AOFAB4一OA一3由倍角公式二2ba1bab1斛得一二一,那么离心率e=a2n过F直线方程为y=-xc,与双曲线方程b24=1联立,将a=2b,c=J5b代入,b15化简有鸟4b2 228；5xx21=04=1albX1-x2=1+(XiX2)2 2-4x1x2将数值代入,有4=528b2 2-45b=3故所求的双曲线方程为3691.12、双曲线1求双曲线的方程；2假设直线I与双曲线交于P,Q两点,且OPOQ=0.求二2+2OP|OQ|的值.(H)

12、设解：I13.(2022上海)在平面直角坐标系xOy中,双曲线01：2x2-y2=1.过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点.假设l与圆x2+y2=1相切,求证：OPLOQ;设椭圆02：4x2 2+ +y2 2= =1.假设M、N分别是01、02 2上的动点,且OMLON,求证：O到直线MN的距离是定值.所求双曲线的方程为22x-y=1412(2)设直线OP的方程为户、x2 2y2 2/日y=kx(kw0),联立412=1,得12-3-k212k2 2-3-k2|OP|2 2= =x2 2+ +y2

13、2= =12k2+12-3- k1那么OQ的万程为y=Ix,11_3-k2+3k2-1_2+2k2_1lOpj2+OQI2 2= =12(k2+1)=12(k2 2+ +1f6-2解：(1)双曲线01:x2 22.2彳y=1,左顶点A,0,渐近线方程为：y=/2x.过点A与渐近线y=42x平行的直线方程为,即y=2x+1._2解方程组y一fx,得,y4y=2x11y-2,12,所求三角形的面积为S=OA|y|=方.(2)证实：设直线PQ的方程是y=x+b,一直线PQ与圆相切,裳=1,即b2=2.由y=x+b2i.2.一、一22得x2bxb1=0.设P(x1,y1)、Q(x2,y2),那么2x-

14、y=1X+x2=2bI.2%x2-1-b又y1y2=(x1+b)(x2+b),OPOQ=xx2+yy2=2x1x2+b(x+x2)+b2=2(1-b2 2)+2b?+b2=b22=0.故OP_LOQ.23证实：当直线ON垂直于x轴时,QN|=1,|OM|=j,那么O到直线MN的距离为、.当直线ON不垂直于x轴时,设直线ON的方程为y=kx(显然k五、水平提升221 .右不管k为何值,直线y=k(x-2)+b与双曲线x-y=1总有公共点,那么b的取值氾围是()(A)-.3,3(B)-,3,3(C)-2,2(D)I-2,2122 .过双曲线x2-=1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点,假设|A

15、B|=4,那么这样的直线l有()2(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条,223.过点P-1,-j的直线l与双曲线%=1(a0,bA0而且仅有一个公共点,且这个公共点恰45.45.小 4343(盘口),)IIIIq q 是方程的两机.二产一学 E 七二坦要故产十一城,=以西一看产=凯 1 1 网上及产心 I I 邳 -a-a 华虹吗与=(8 8/尸,解得,即 4=j_9.4=j_9.那么直线OM的方程为y=-1x.由!y：kX)k4x2 2y2 2=1x2彳日4k2 222ky二24k2 2,2,221+k21+k|ON|=42.同理|OM|=2.设O到直线MN的距离为d.(|OM|2 2+ +|ON|2 2)d2 2= =|OM|2 2|ON|2,13k2 2+3产QM|2 2十|ON|2 2= =k2 2+ +13,即d=仔.综上,O到直线MN的距离是定值.(A)2(B)4(C)1或2(D)2或4224.双曲线斗与=1(a0,b0那右焦点为abF,假设过点F且倾斜角为45：的直线与双曲线的右支(A)(1,2(B)(1,2)(C)2,+8)(D