(完整版)小学奥数同余问题

1、同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在 时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是 24小时，52-24 = 24 也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7 时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放 在余数上了。1 .同余的表达式和特殊符号37和44同除以7,余数都是2,把除数7称作“模7”，37、44对于模 7同余。记作：37 = 44 （mod7“三”读作同余。一般地，两个整数a和b,除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：以三以m心d附2 .同余的性质（1） 三仪源

2、店）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）（2）若金三m，:，d网）,那么上三仪modw）（这称作同余的对称性）（3）若/三g mod第）,则以三吻（这称为同余的 传递性）（4）若淳三Nmodm） , cmd（mod.），则*土匚三占土厘（皿川掰）（这称 为同余的可加性、可减性）a c = 0a啕（称为同余的可乘性）（5）若三匚【口咐，则* =$ （mod哨,n为正整数，同余还有一个 非常有趣的现象：如果一 ：一那么（曰一与 ST的差一定能被k整除） 这是为什么呢?树l + 口 T袍+弓） 赳h 弓二检一 %=k也就是为1、句a的公约数，所以有 雌伍一的）卜面我们应用同余的这些性质解题。

3、【例题分析】 例1.用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然 数最大是几？分析与解答: 假设这个自然数是a,因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以厘|（412-13叭矶町2-257）|（257-四，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。(155, 124, 279) =31所以a最大是31。例2. 249乂究8父234除以 包 余数是几?分析与解答:如果把三个数相乘的积求出来再除以19,就太麻烦了，利用同余思想解 决就容易了。249 三 2附19)3淞三 8(modl9)234 6向0d 19)234 x 3

4、88 x 249 = 6x8 x2(modl9)6x8x2 = l(ni；dl9)所以4 一 J此题应用了同余的可乘性，同余的传递性2222V例3.有一个1997位数，它的每个数位都是2, 1997个2 这个数除以13,商 的第100位是几？最后余数是几？分析与解答:这个数除以13,商是有规律的2222 卡 1997 个 222221997 个 2 73= 170940170940商是170940六个数循环，那么1皿；8= 164 , 1pW04(mocl6), 我们从左向右数“ 170940”的第4个数就是我们找的那个数“ 9”，所以商的第 100位是9。余数是几呢？2222(wi 1997

5、 个 213 =八一 4一所以商的个位数字应是“ 170940”中白第4个，商应是9,相应的余数 是5。【模拟试题】（答题时间：20分钟）1 .求下列算式中的余数。2222、V-(2)-1111V(1) , 3333、“(3) 1997个 3 十归(4)444 * i *1 * * 4、V1997个 4 S32 . 6254与37的积除以7,余数是几？3 .如果某数除482, 992, 1094都余74,这个数是几？同余问题（二）【例题分析】例1. 19971tB除以7,余数是几?分析与解答：1937*7= 2852：.1997 -性质51997100 . 2wv(m

6、od7)21 = 2Cmod7)哈=*nwd 7)23 i l(mod7)1957 m 23 X23 X X三 1 x 1 x 1 x x 2=2anod 7)J 9971al - 2(mod7)例2. 一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余1,这个自然数最小是几？分析：假设这个自然数为a那么“ .a Sftnod 5)a = l(jmod7)这道题考虑的困难是它们的余数不相同。如果把这道题改一下，使它们的余数相同，利用整除的知识，便容易考虑了, 先看下面一道题：一个自然数除以3余2,除以5余2,除以7余2,那么，这个自然数若减去2,便同时是3, 5, 7的倍数，这样的自然数有：105,

7、210, 315,分别被3, 5, 7除余2的数是2, 107, 212, 317,最小的自然数是2。回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？稍加变式，可以写成：占 5 . 8(tnod J)3 = & (m口d 5)a = StmodT)这样同时是3, 5, 7倍数的数有105, 210, 315,那么同时被3, 5, 7余8的数有:8, 113, 218, 323,其中最小的自然数为8。例3.在求51173526被7除的余数时，小明这样做：5117352651125 2126 -5所以余数是5刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗?分析与解答：看了下面的

8、算式，你就会明白的。51173526= 51100026+70000+3500= 490000004-2100026+70000 + 3500=49000000 + 2100000 +70000 + 3500 + 21-F5=7的倍数+ 5小明用的这种方法，有比较广泛的应用，常称之为“拼凑法”在解关于 用几除的余数的问题时，常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分，对于这部分， 简直可以“置之不理”，这样可以使解答过程简化。例4. 1 + 2?+33+44+55 + 60+71+99除以3的余数是几？为什么？分析与解答：在上式的加项中，百、炉、9显然可以被3整除，因此只须计算1 + 23 +4*+

9、5$ +7、即被3除余数是几。由于 I .5 8因此一 .一77 三 1丁 三5 =中(mod 3)0 2&(mod 可由此可知，只须计算1 + 23+1 + 2$ + 142学被3除的余数，它又等于 2ro+ 2、2门被3除的余数。由于2、3心灯，所以2n x(l+23 + 26) = 1 x(14 2 + l) IQ对与所以余数是1【模拟试题】1 .今天是星期日，再过365w天又是星期几？2 .求20023除以3所得的余数。3 .某数除680, 970和1521,余数相同，这个数最大是几？4 .有一列数排成一行，其中第一个数是 3,第二个数是7,从第三个数开始，每 个数恰好是前两个数的和，

10、那么，第 1997个数被3除，余数是几？5 .若将一批货物共3肾千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克？若每 箱装17千克，最后还余多少千克？6、1309被一个质数相除，余数是 21,求这个质数。7、1796被一个质数相除，余数是 24,求这个质数。8、求2001 X 2000除以7的余数。9、求 123X 345+234X456 除以 11 的余数。10、有一个大于1的整数，它除1000、1975、2001者B得到相同的余数，那么这个整数是多 少？11、有三个数1989、 901 和 306 被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。12、两个自然数相除，商15，余3，被除数、除

11、数、商、余数的和是853，求被除数。8、两数相除商40 余 7，被除数、除数、余数和商的和是710，求被除数。13、有一个数除以3 余 1 ，除以 4 余 2，问这个数除以12，余数是几？14、一个数除以5 余 1，除以 6 余3，除以7 余 4，这个数最小是几？15、3867X4253= 1644口 351,求口里的数。4937 X 6845= 3379口 765,求口里的数。16、两个自然数相除，商8 余 16，被除数、除数、商与余数的和为265，求除数是多少？17、写出除以8 所得的商和余数（不为0）相同的所有的数。18、2002X2002-2001除以9的余数是多少?19、当2002

12、和 1781 除以某一个自然数，余数分别是2 和 1 ，那么这个数最大是多少？20、一个数除以17 的余数是5，被除数扩大2 倍，余数是多少？21、有一个数，除以3 余数是 1，除以 4余数是 3 。这个数除以12，余数是多少。22、 570 被一个两位数除，余数是15，这个两位数是多少？23、有一个数加上22 的和被 9 除余 3，这个数加上35 的和被 9 被余几？B组24、有一个整数，用它去除45， 53， 143 得到的 3 个伤痕的和是20，这个数是多少？25、有一个数用它去除100，余数是1，用它去除50，余数是6，求这个数。26、把几十个苹果平均分成若干份，每份 9 个余 8 个

13、，每份8 个余 7 个每份 4 个余3 个。这堆苹果共有多少个？27、有一个数被5 和 11 整除均余4，被3 正好整除，这个数最小是几？28、求被4 除余2，被6 除余2，被9 除余 5 的两位数。29、一个数能被3、 5、 7 整除，若用11 去除则余7，这个数最小是几？30、小红收数学学习小组买奥数练习本的钱，她只记下四组各交的钱，第一组 6.3 元， 第二组 7.7 元， 第三组 6.3 元，第四组9.1 元，又知道每本练习本价格都超过1 角，求数学学习小组共有多少人？（提示：练习本单价是总价的公约数。）31、五年级两个班的学生一起排队出操，如果 8 人排一行，多出一个人；如果11 人

14、排一行，同样多出一个人。这两个班最小共有多少人？（提示：如果减去一人那么人数就能被8 和11 整除了。 ）32、一个数被4 除余 3，被 5 除余4，被6 除余5，这样的数中最小的是几？（提示：余数与除数有什么关系？）33、一筐苹果，如果按 5 个一堆放，最后多出 3 个；如果按 6 个一堆放，最后多出 4 个；如 果按 7 个一堆放，还多出 1 个；这筐苹果至少有多少个？（提示：先满足被 7 除余 1，再从 中找出被6除余4）竞赛题精选1、若2836， 4582， 5164， 6522 四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为（） 。 （ 2001 小学数学奥

15、林匹克试题决赛B 卷）2、一个自然数除以3 余 2，除以5 余 2，除以 7 余 5，除以9 余 5，除以11 余 4，则满足这些条件的最小自然数是（） 。 （ 1996 年我爱数学少年冬令营试题）3、某数除以11 余 8，除以13 余 10，除以17 余 12，那么这个数的最小可能值是（1998 年小学数学奥林匹克试题预赛A 卷）4、一个小于200 的数，它除以11 余 8，除以13 余 10，那么这个数是（） 。 （ 1998年小学数学奥林匹克试题预赛B 卷）5、在一道有余数的除法算式中，被除数、除数，商和余数的和是599，已知商是15，余数是12，请问，题目中的除数是多少？（厦门实小20

16、00-2001 学年第二学期数学科竞赛卷B组）同余问题提高训练1、求437X309X1993被7除的余数。2、求被3 除余2，被5 除余3，被7 除余 5 的最小三位数3、 分别求满足下列条件的最小自然数（ 1）用 3 除余1，用5 除余1，用7 除余 12）用3除余 2，用 5除余1，用7 除余 1（ 3）用3 除余1，用5 除余2，用7 除余 2。4、有一个整数, 除 300、 262、 205 得到相同的余数. 这个整数是几?5、今天是星期四，过14389天后是星期几？6. 试一试：粮库有771千克大米，用每袋50千克的袋子装，最后余下多少千克？7、数2001, 2232除以整数n,得到

17、相同的余数，而且这个余数是合数，求 n.8、用一个自然数去除715 和 903 所得余数相同，且商相差4. 求这个数.9、若2836， 4582， 5146， 6522 四个自然数被一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为多少？10、有三个不同的三位数，它们分别除以a ，得到的余数相同而且是最大二位偶数，当a 为两位数时，这三个数最小的和是多少？11、 某年级有将近400名学生。 有一次演出节目排队时出现：如果每 8 人站成一列则多余1 人；如果改为每9 人站成一列则仍多余1 人；结果发现现成每10 人结成一列，结果还是多余1 人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？12、 希望小学六年级和五年级去春游，每辆车可乘36 人 . 六年级先坐满几车，剩下的 16 人与五年级坐满一车，五年级又坐满若干车. 到达目的地后，每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张，每个胶卷可拍36 张 . 全部学生照相完毕，最后一个胶卷还剩几张未拍？13、甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、 97