2022届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第七章平面解析几何考点测试53双曲线含解析新人教B版

1、考点测试53双曲线高考概览高考在本考点中常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、高等难度考纲研读1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)2了解双曲线的简单应用3理解数形结合的思想一、根底小题1双曲线c：1(a>0，b>0)的渐近线方程为y±x，那么双曲线c的离心率为()a. b c d答案b解析由题意可得，那么离心率e，应选b.2双曲线1的实轴长为10，那么该双曲线的渐近线的斜率为()a± b± c± d±答案d解析由m21652，解得m3(m3舍去)所以a5，b3，从

2、而±±，应选d.3平面内两定点a(5,0)，b(5,0)，动点m满足|ma|mb|6，那么点m的轨迹方程是()a.1 b1(x4)c.1 d1(x3)答案d解析由双曲线的定义知，点m的轨迹是双曲线的右支，故排除a，c；又c5，a3，b2c2a216.焦点在x轴上，轨迹方程为1(x3)应选d.4假设实数k满足0<k<9，那么曲线1与曲线1的()a焦距相等 b实半轴长相等c虚半轴长相等 d离心率相等答案a解析0<k<9，9k>0,25k>0.1与1均表示双曲线，又25(9k)34k(25k)9，它们的焦距相等，应选a.5双曲线c：1(a>

3、;0，b>0)的焦距为10，点p(2,1)在c的渐近线上，那么c的方程为()a.1 b1c.1 d1答案a解析1的焦距为10，c5.又双曲线渐近线方程为y±x，且p(2,1)在渐近线上，1，即a2b.由解得a2，b，那么c的方程为1.应选a.6f1，f2为双曲线c：x2y21的左、右焦点，点p在c上，f1pf260°，那么|pf1|·|pf2|等于()a2 b4 c6 d8答案b解析由双曲线的方程，得a1，c，由双曲线的定义，得|pf1|pf2|2.在pf1f2中，由余弦定理，得|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|·|pf2|

4、3;cos60°|pf1|2|pf2|2|pf1|·|pf2|(|pf1|pf2|)2|pf1|·|pf2|22|pf1|·|pf2|(2)2，解得|pf1|·|pf2|4.应选b.7双曲线c：1(a>0，b>0)的离心率e2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，那么双曲线c的方程为_答案x21解析由题意得解得那么b，故所求方程为x21.8设f1，f2分别为双曲线1的左、右焦点，点p在双曲线上，假设点p到焦点f1的距离等于9，那么点p到焦点f2的距离为_答案17解析解法一：实轴长2a8，半焦距c6，|pf1|pf2|8.|pf1|9

5、，|pf2|1或|pf2|17.又|pf2|的最小值为ca642，|pf2|17.解法二：由题知，假设p在右支上，那么|pf1|2810>9，p在左支上|pf2|pf1|2a8，|pf2|9817.二、高考小题9(2022·全国卷)设f为双曲线c：1(a>0，b>0)的右焦点，o为坐标原点，以of为直径的圆与圆x2y2a2交于p，q两点假设|pq|of|，那么c的离心率为()a. b c2 d答案a解析设双曲线c：1(a>0，b>0)的右焦点f的坐标为(c,0)由圆的对称性及条件|pq|of|可知，pq是以of为直径的圆的直径，且pqof.设垂足为m，连

6、接op，如图，那么|op|a，|om|mp|.由|om|2|mp|2|op|2得22a2，故，即e.应选a.10(2022·全国卷)双曲线c：1的右焦点为f，点p在c的一条渐近线上，o为坐标原点，假设|po|pf|，那么pfo的面积为()a. b c2 d3答案a解析双曲线1的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为yx，不妨设点p在第一象限，由于|po|pf|，那么点p的横坐标为，纵坐标为×，即pfo的底边长为，高为，所以它的面积为××.应选a.11(2022·浙江高考)渐近线方程为x±y0的双曲线的离心率是()a b1 c d2答

7、案c解析由题意可得1，e .应选c.12(2022·天津高考)抛物线y24x的焦点为f，准线为l.假设l与双曲线1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点a和点b，且|ab|4|of|(o为原点)，那么双曲线的离心率为()a b c2 d答案d解析由易得，抛物线y24x的焦点为f(1,0)，准线l：x1，所以|of|1.又双曲线的两条渐近线的方程为y±x，不妨设点a，b，所以|ab|4|of|4，所以2，即b2a，所以b24a2.又双曲线方程中c2a2b2，所以c25a2，所以e.应选d.13(2022·全国卷)双曲线1(a>0，b>0)的

8、离心率为，那么其渐近线方程为()ay±x by±xcy±x dy±x答案a解析因为e，e21312，所以.因为该双曲线的渐近线方程为y±x，所以该双曲线的渐近线方程为y±x，应选a.14(2022·全国卷)双曲线c：y21，o为坐标原点，f为c的右焦点，过f的直线与c的两条渐近线的交点分别为m，n.假设omn为直角三角形，那么|mn|()a b3 c2 d4答案b解析由题意分析知，fon30°.所以mon60°，又因为omn是直角三角形，不妨取nmo90°，那么onf30°，于是|fn

9、|of|2，|fm|of|1，所以|mn|3.应选b.15(2022·全国卷)设f1，f2是双曲线c：1(a>0，b>0)的左、右焦点，o是坐标原点过f2作c的一条渐近线的垂线，垂足为p.假设|pf1|op|，那么c的离心率为()a b2 c d答案c解析由题可知|pf2|b，|of2|c，|po|a.在rtpof2中，cospf2o，在pf1f2中，cospf2o，c23a2，e.应选c.16(2022·天津高考)双曲线1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于a，b两点设a，b到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和

10、d2，且d1d26，那么双曲线的方程为()a.1 b1c.1 d1答案c解析双曲线1(a>0，b>0)的离心率为2，e214，3，即b23a2，c2a2b24a2，由题意可设a(2a,3a)，b(2a，3a)，3，渐近线方程为y±x，那么点a与点b到直线xy0的距离分别为d1a，d2a，又d1d26，aa6，解得a，b29.双曲线的方程为1，应选c.17(2022·全国卷)双曲线c：1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为f1，f2，过f1的直线与c的两条渐近线分别交于a，b两点假设，·0，那么c的离心率为_答案2解析解法一：由，得a为f1b

11、的中点又o为f1f2的中点，oabf2.又·0，f1bf290°.|of2|ob|，obf2of2b.又f1oabof2，f1oaof2b，bof2of2bobf2，obf2为等边三角形如图1所示，不妨设b为.点b在直线yx上，离心率e2.解法二：·0，f1bf290°.在rtf1bf2中，o为f1f2的中点，|of2|ob|c.如图2，作bhx轴于h，由l1为双曲线的渐近线，可得，且|bh|2|oh|2|ob|2c2，|bh|b，|oh|a，b(a，b)，f2(c,0)又，a为f1b的中点oaf2b，c2a，离心率e2.18(2022·江苏高

12、考)在平面直角坐标系xoy中，假设双曲线x21(b>0)经过点(3,4)，那么该双曲线的渐近线方程是_答案y±x解析因为双曲线x21(b>0)经过点(3,4)，所以91(b>0)，解得b，即双曲线方程为x21，其渐近线方程为y±x.19(2022·江苏高考)在平面直角坐标系xoy中，假设双曲线1(a>0，b>0)的右焦点f(c,0)到一条渐近线的距离为c，那么其离心率的值是_答案2解析双曲线的一条渐近线方程为bxay0，那么f(c，0)到这条渐近线的距离为c，bc，b2c2，又b2c2a2，c24a2，e2.20(2022·

13、全国卷)双曲线c：1(a>0，b>0)的右顶点为a，以a为圆心，b为半径作圆a，圆a与双曲线c的一条渐近线交于m，n两点假设man60°，那么c的离心率为_答案解析如图，由题意知点a(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为yx，即bxay0，点a到l的距离d.又man60°，|ma|na|b，man为等边三角形，d|ma|b，即b，a23b2，e .三、模拟小题21(2022·白银二模)点m为双曲线c：x21的左支上一点，f1，f2分别为c的左、右焦点，那么|mf1|f1f2|mf2|()a1 b4 c6 d8答案b解析由双曲线c：x21，可得a1，b

14、2，c3，点m为双曲线c：x21的左支上一点，f1，f2分别为c的左、右焦点，那么|mf1|f1f2|mf2|2a2c4.应选b.22(2022·长沙模拟)双曲线c：1(a>0，b>0)，以点p(b,0)为圆心，a为半径作圆p，圆p与双曲线c的一条渐近线交于m，n两点，假设mpn90°，那么c的离心率为()a b c d答案a解析不妨设双曲线c的一条渐近线bxay0与圆p交于m，n，因为mpn90°，所以圆心p到bxay0的距离为a，即2c22a2ac，解得e.应选a.23(2022·咸宁模拟)f1，f2为双曲线c：1的左、右焦点，点p在双曲

15、线c上，且|pf1|2|pf2|，那么cosf1f2p()a b c d答案d解析由题意可知，a4，b3，c5，设|pf1|2x，|pf2|x，那么|pf1|pf2|x2a8，故|pf1|16，|pf2|8，又|f1f2|10，利用余弦定理可得cosf1f2p.24(2022·福州模拟)p是双曲线c：y21的右支上一点，直线l是双曲线c的一条渐近线，p在l上的射影为q，f1是双曲线c的左焦点，那么|pf1|pq|的最小值为()a1 b2c4 d21答案d解析设f2是双曲线c的右焦点，因为|pf1|pf2|2，所以|pf1|pq|2|pf2|pq|，显然当f2，p，q三点共线且p在f2

16、，q之间时，|pf2|pq|最小，且最小值为f2到l的距离易知l的方程为y或y，f2(，0)，可得f2到l的距离为1，故|pf1|pq|的最小值为21.选d.25(2022·安阳一模)设f1，f2分别为离心率e的双曲线c：1(a>0，b>0)的左、右焦点，a1，a2分别为双曲线c的左、右顶点，以f1，f2为直径的圆交双曲线的渐近线l于m，n两点，假设四边形ma2na1的面积为4，那么b()a2 b2 c4 d4答案a解析由题意知e，2，故渐近线方程为y2x，以f1，f2为直径的圆的方程为x2y2c2，联立得y±，由双曲线与圆的对称性知四边形ma2na1为平行四边

17、形，不妨设ym，那么四边形ma2na1的面积s2a×4，得ac，又，得a1，c，b2，应选a.26(2022·上饶模拟)f1，f2分别是双曲线x21(b>0)的左、右焦点，a是双曲线上在第一象限内的点，假设|af2|2且f1af245°，延长af2交双曲线的右支于点b，那么f1ab的面积等于_答案4解析由题意知a1，由双曲线定义知|af1|af2|2a2，|bf1|bf2|2a2，|af1|2|af2|4，|bf1|2|bf2|.由题意知|ab|af2|bf2|2|bf2|，|ba|bf1|，baf1为等腰三角形，f1af245°，abf190&#

18、176;，baf1为等腰直角三角形|ba|bf1|af1|×42.sf1ab|ba|·|bf1|×2×24.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2022·湛江模拟)双曲线1(a>0，b>0)的右焦点为f(c,0)(1)假设双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点o为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为a，过a作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率解(1)因为双曲线的渐近线方程为y±x，由题意得ab，所以c2a2b22a24，解得a2b22，所以双曲线的方程为1.(

19、2)设点a的坐标为(x0，y0)，所以直线ao的斜率满足·()1，所以x0y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程得3yyc2，即y0c，所以x0c，所以点a的坐标为，将其代入双曲线方程得1，即b2c2a2c2a2b2，又因为a2b2c2，所以将b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40，所以348240，所以(3e22)(e22)0，因为e>1，所以e，所以双曲线的离心率为.2(2022·河北武邑中学月考)mr，直线l：yxm与双曲线c：1(b>0)恒有公共点(1)求双曲线c的离心率e的取值范围；(2)假设直线l过双曲线c的右焦点f，与双曲线c

20、交于p，q两点，并且满足，求双曲线c的方程解(1)联立消去y，整理得(b22)x24mx2(m2b2)0.当b22，m0时，易知直线l是双曲线c的一条渐近线，不满足题意，故b22，易得e.当b22时，由题意知16m28(b22)(m2b2)0，即b22m2，故b2>2，那么e2>2，e>.综上可知，e的取值范围为(，)(2)由题意知f(c,0)，直线l：yxc，与双曲线c的方程联立，得消去x，化简，得(b22)y22cb2yb2c22b20，当b22时，易知直线l平行于双曲线c的一条渐近线，与双曲线c只有一个交点，不满足题意，故b22.设p(x1，y1)，q(x2，y2)，即因为，所以y1y2，由可得y1，y2，代入整理得5c2b29(b22)(c22)，又c2b22，所以b27.所以双曲线c的方程为1.3(2022·丹东质量测试)离心率为2的双曲线c的一个焦点f(c,0)到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线c的方程；(2)设a1，a2分别为c的左、右顶点，p为双曲线c上异于a1，a2的一点，直线a1p与a2p分别交y轴于m，n两点，求证：以线段mn为直径的圆d经过两个定点解(1)设双曲线c：1(a>0，b>0)，因为离心率为2，所以c2a，ba.所以双曲线c的渐近线为x±y0，由，得c2.于是a1，b，故双曲线