2022届高考数学总复习教学案函数的定义域和值域

1、第二节函数的定义域和值域知识能否忆起1常见根本初等函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为r.(4)yax，ysin x，ycos x，定义域均为r.(5)ytan x的定义域为.(6)函数f(x)x0的定义域为x|x0(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约2根本初等函数的值域(1)ykxb(k0)的值域是r.(2)yax2bxc(a0)的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为.(3)y(k0)的值域是y|y0(4)yax(a>0且a1)的

2、值域是y|y>0(5)ylogax(a>0且a1)的值域是r.(6)ysin x，ycos x的值域是1,1(7)ytan x的值域是r.小题能否全取1(教材习题改编)假设f(x)x22x，x2,4，那么f(x)的值域为()a1,8b1,16c2,8d2,4答案：a2函数y的值域为()ar b.c.d.解析：选dx222，0<.0<y.3(2022·山东高考)函数f(x) 的定义域为()a2,0)(0,2b(1,0)(0,2c2,2d(1,2解析：选bx满足即解得1<x<0或0<x2.4(教材习题改编)函数f(x)的定义域为_解析：由得x4且

3、x5.答案：x|x4，且x55(教材习题改编)假设有意义，那么函数yx23x5的值域是_解析：有意义，x0.又yx23x525，当x0时，ymin5.答案：5，)函数的最值与值域的关系函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域注意求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意函数定义域求函数的定义域典题导入例1(1)(2022·大连模拟)求函数f(x)的定义域；(2)函数f(2x)的定义域是1,1，求f(x)的定义域自主解答(1)要使该函数有意义，需要那么有解得3<x<0或2<

4、;x<3，所以所求函数的定义域为(3,0)(2,3)(2)f(2x)的定义域为1,1，即1x1，2x2，故f(x)的定义域为.假设本例(2)条件变为：函数f(x)的定义域是1,1，求f(log2x)的定义域解：函数f(x)的定义域是1,1，1x1，1log2x1，x2.故f(log2x)的定义域为.由题悟法简单函数定义域的类型及求法(1)函数的解析式，那么构造使解析式有意义的不等式(组)求解(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解(3)对抽象函数：假设函数f(x)的定义域为a，b，那么函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；假设函数f(g(x)的定义域

5、为a，b，那么f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域以题试法1(1)函数y的定义域是_(2)(2022·沈阳质检)假设函数yf(x)的定义域为3,5，那么函数g(x)f(x1)f(x2)的定义域是()a2,3b1,3c1,4d3,5解析：(1)由得所以函数的定义域为(1,2(2)由题意可得解不等式组可得1x4.所以函数g(x)的定义域为1,4答案：(1)(1,2(2)c求函数的值域典题导入例2求以下函数的值域(1)yx22x(x0,3)；(2)y；(3)yx(x<0)；(4)f(x)x.自主解答(1)(配方法)yx22x(x1)21，y(x1)21在0,3上为增函数，0y

6、15，即函数yx22x(x0,3)的值域为0,15(2)y1，1x21，0<2.1<11.即y(1,1函数的值域为(1,1(3)x<0，x4，当且仅当x2时等号成立y(，4函数的值域为(，4(4)法一：(换元法)令t，那么t0且x，于是yt(t1)21，由于t0，所以y，故函数的值域是.法二：(单调性法)f(x)的定义域为容易判断f(x)为增函数，所以f(x)f，即函数的值域是.由题悟法求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数(例(1)(2)换元法(例(4)(3)根本不等式法(例(3)(4)单调性法(例(4)(5)别离常数法(例(2)注意求值域时

7、一定要注意定义域的使用，同时求值域的方法多种多样，要适中选择以题试法2(1)函数y的值域为_(2)(2022·海口模拟)在实数的原有运算中，我们定义新运算“如下：当ab时，aba；当a<b时，abb2.设函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2，那么函数f(x)的值域为_解析：(1)y1，因为0，所以11，即函数的值域是y|yr，y1(2)由题意知f(x)当x2,1时，f(x)4，1；当x(1,2时，f(x)(1,6，即当x2,2时，f(x)4,6答案：(1)y|yr，y1(2)4,6与函数定义域、值域有关的参数问题典题导入例3(2022·合肥模拟)假设函数f(x)

8、的定义域为r，那么a的取值范围为_自主解答函数f(x)的定义域为r，所以2x22axa10对xr恒成立，即2x22axa1，x22axa0恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.答案1,0由题悟法求解定义域为r或值域为r的函数问题时，都是依据题意，对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用别离参数法，有时还可利用数形结合法以题试法3(2022·烟台模拟)函数f(x)1的定义域是a，b(a，bz)，值域是0,1，那么满足条件的整数数对(a，b)共有_个解析：由011，即12，得0|x|2，满足整数数对的有(2,0)，(2,1)

9、，(2,2)，(0,2)，(1,2)共5个答案：5函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定，但因函数千变万化，形式各异，值域的求法也各式各样，因此求函数的值域就存在一定的困难，解题时，假设方法适当，能起到事半功倍的作用求函数值域的常用方法有配方法、换元法、别离常数法、根本不等式法、单调性法(以上例2都已讲解)、判别式法、数形结合法等1数形结合法利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键典例1对a，br，记max|a，b|函数f(x)max|x1|，|x2|(xr)的值域是_解析f(x)由图象知函数的值域

10、为.答案题后悟道利用函数所表示的几何意义求值域(最值)，通常转化为以下两种类型：(1)直线的斜率：可看作点(x，y)与(0,0)连线的斜率；可看作点(x，y)与点(a，b)连线的斜率(2)两点间的距离： 可看作点(x，y)与点(x1，y1)之间的距离针对训练1函数y的值域为_解析：函数yf(x)的几何意义为：平面内一点p(x,0)到两点a(3,4)和b(5,2)距离之和由平面几何知识，找出b关于x轴的对称点b(5，2)连接ab交x轴于一点p即为所求的点，最小值y|ab|10.即函数的值域为10，)答案：10，)2判别式法对于形如y(a1，a2不同时为零)的函数求值域，通常把其转化成关于x的一元

11、二次方程，由判别式0，求得y的取值范围，即为原函数的值域典例2函数y的值域为_解析法一：(配方法)y1，又x2x12，0<，y<1.函数的值域为.法二：(判别式法)由y，xr，得(y1)x2(1y)xy0.y1时，x，y1.又xr，(1y)24y(y1)0，y<1.函数的值域为.答案题后悟道此题解法二利用了判别式法，利用判别式法首先把函数转化为一个系数含有y的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0，那么在a(y)0时，假设xr，那么0，从而确定函数的最值；再检验a(y)0时对应的x的值是否在函数定义域内，以决定a(y)0时y的值的取舍针对训练2函数y的最大值为7，最小值为1

12、，那么mn的值为()a1b4c6 d7解析：选c函数式可变形为(ym)x24x(yn)0，xr，由得ym0，所以(4)24(ym)·(yn)0，即y2(mn)y(mn12)0，由题意，知不等式的解集为1,7，那么1、7是方程y2(mn)y(mn12)0的两根，代入得，解得或所以mn6.求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰当的方法，准确记忆常见函数的值域，熟练掌握各种类型函数值域的求法，除前面介绍的几种方法外，还有单调性法、导数法(以后还要讲解)1函数ylg(2x1)的定义域是()a.b.c.d.解析：选c由得x>.2(2022·汕头一测)集合a是函数f(x)的定

13、义域，集合b是其值域，那么ab的子集的个数为()a4 b6c8 d16解析：选c要使函数f(x)的解析式有意义，那么需解得x1或x1，所以函数的定义域a1,1而f(1)f(1)0，故函数的值域b0，所以ab1，1,0，其子集的个数为238.3以下列图形中可以表示以mx|0x1为定义域，以ny|0y1为值域的函数的图象是()解析：选c由题意知，自变量的取值范围是0,1，函数值的取值范围也是0,1，故可排除a、b；再结合函数的定义，可知对于集合m中的任意x，n中都有唯一的元素与之对应，故排除d.4(2022·长沙模拟)以下函数中，值域是(0，)的是()ayby(x(0，)cy(xn) d

14、y解析：选d选项a中y可等于零；选项b中y显然大于1；选项c中xn，值域不是(0，)；选项d中|x1|>0，故y>0.5等腰abc周长为10，那么底边长y关于腰长x的函数关系为y102x，那么函数的定义域为()ar bx|x>0cx|0<x<5 d.解析：选c由题意知即0<x<5.6函数y的定义域是(，1)2,5)，那么其值域是()a(，0)b(，2c.2，) d(0，)解析：选ax(，1)2,5)，故x1(，0)1,4)，(，0).7(2022·安阳4月模拟)函数y的定义域是_解析：由得那么所以定义域是x|1x<1，或1<x&l

15、t;2答案：x|1x<1，或1<x<28函数yx(x0)的最大值为_解析：yx()22，即ymax.答案：9(2022·太原模考)函数f(x)的定义域为0,1，值域为1,2，那么函数f(x2)的定义域为_，值域为_解析：由可得x20,1，故x2，1，所以函数f(x2)的定义域为2，1函数f(x)的图象向左平移2个单位得到函数f(x2)的图象，所以值域不发生变化，所以函数f(x2)的值域仍为1,2答案：2，11,210求以下函数的值域(1)y；(2)y2x1.解：(1)y，因为0，所以y，所以函数y的值域为.(2)法一：(换元法)设t，那么t0，x，于是yg(t)2&

16、#183;1tt2t(t1)26，显然函数g(t)在0，)上是单调递减函数，所以g(t)g(0)，因此函数的值域是.法二：(单调性法)函数定义域是，当自变量x增大时，2x1增大，减小，所以2x1增大，因此函数f(x)2x1在其定义域上是单调递增函数，所以当x时，函数取得最大值f，故函数的值域是.11假设函数f(x)x2xa的定义域和值域均为1，b(b>1)，求a、b的值解：f(x)(x1)2a，其对称轴为x1.即1，b为f(x)的单调递增区间f(x)minf(1)a1f(x)maxf(b)b2bab由解得12(2022·宝鸡模拟)函数g(x)1, h(x)，x(3，a，其中a为

17、常数且a>0，令函数f(x)g(x)·h(x)(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；(2)当a时，求函数f(x)的值域解：(1)f(x)，x0，a(a>0)(2)函数f(x)的定义域为，令1t，那么x(t1)2，t，f(x)f(t)，当t时，t±2，又t时，t单调递减，f(t)单调递增，f(t).即函数f(x)的值域为.1函数y2的值域是()a2,2b1,2c0,2d，解析：选cx24x(x2)244，02，20，022，所以0y2.2定义区间x1，x2(x1<x2)的长度为x2x1，函数f(x)|logx|的定义域为a，b，值域为0,2，那么区间a

18、，b的长度的最大值与最小值的差为_解析：由函数f(x)|logx|的图象和值域为0,2知，当a时，b1,4；当b4时，a，所以区间a，b的长度的最大值为4，最小值为1.所以区间长度的最大值与最小值的差为3.答案：33运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50x100)(单位：千米/小时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解：(1)行车所用时间为t(h)，y×2×，x50,100所以，这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x50,100(2)yx26，当且仅当x，即x18时，上述不等式中等号成立当x18时，这次行车的总费用最