2020届普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟试题(三)理

1、普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（三）本试卷满分150分，考试时间。120分钟.注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题纸上， 写在本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.、选择题：本题共12小题。每小题5分。共60分.在每小题给出的四个选项中。只有 项是符合题目要求的.一 . 1 iD. 1 i i iA ,则实数a的取值集合为1 .已知i为虚数单位，则下列运算结果为纯虚数是A.

2、1 i i ib. 1 i i iC. 1 i i i32 .已知集合 A= x 1 , B= x ax 1 0 ,若 B xA.0,1B.1,0C.1,1D.1,0,13 .已知某科研小组的技术人员由7名男性和4名女性组成，其中3名年龄在50岁以上且均为男性.现从中选出两人完成一项工作，记事件A为选出的两人均为男性， 记事件B为选出 的两人的年龄都在 50岁以上，则P BA的值为A. 1B. 3C. 4D. 577774.运行如图所示的程序框图，当输入的 m=1时，输出的m的结果为16,则判断框中可以填 入A. m 15?B. m 16?C. m 15?D. m 16?22x y5.已知双曲

3、线 1 a 0,b 0 , Fi, F2是双曲线的左、右焦点， A(a, 0), P为双a b曲线上的任意一点，若 SVPF1A 2SVPF2A ,则该双曲线的离心率为6.若 a1b0,1c0,则下列不等式成立的是A.2b2 aB. logab logb cC.2-2a b2D. Clogba7.已知等差数列an的前n项和为Sn ,且a?a4=l0,若点P a3, S5在函数y mx2的图像上。则过点P a3,S5的切线方程为A.x y 20300 C. 10xy 250 D.10x y758.已知实数x, y满足不等式组y2y2 0 sin xdx，则 x2y2的最大值A.B. 25C.20

4、9.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题，题中描绘的器具的三视图如图6寸，则这天该地的所示（单位：寸）.若在某天某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为 降雨量约为（精确到0. 01寸）（注：平地降雨量等于器具中积水体积除以器具口面积.参考公式：台体的体积 V 1s上S下 Q 8r ,其中S上，S下分别表示上、下底面的面积,3h为高）A. 1 . 56 寸B. 1 . 66 寸C. 1 . 76 寸附现图第IABC-ABQ 中,A. 12B.C.D. 4511 .如图，由抛物线2y 8x 与圆 E： x 29的实线部分构成图形，过点P（2 ,0）的直线始终与图形中的抛物线部分及圆部分有交

5、点，则AB的取值范围为A. 2 , 3B.3, 4C. 4 , 5D. 5 , 612 .已知函数f xsin x0,的图像与x轴的两个相邻交点分别为O10.如图，在所有棱长均为 a的直三棱柱 面直线AQ CE所成角的余弦值为Q（其中Q在O的右边），曲线f x上任意一点 A x0,y0关于点O,。的对称点分别为rr，一1、一， 一A1x1,y1,A2x2, y2，且x2x1,且当x0一时，有y0 记函数f x的导函62数为f x ,则当J3f2f 1时，cos2的值为A. -B. -C. -D. 1432二、填空题：本题共 4小题.每小题5分.共20分.uuir uuiT uuruuuuur1

6、3 .在 ABC中，D为 BC边上的一点，BD2DC，若 ADABAC, R ,则14 .已知正项等比数列an的前n项和为& ,且a1 1包 4a3,若对任意n N ,不等式Sn % k 0 k Z恒成立，则实数k的最大值为.15 .已知函数f x是定义域为 R的偶函数，对于任意的实数x ,都有2f x f 2 f 4 x ,且当 0 x 2时，f x x 2 ,则方程 f x log2 x 0 的解的个数为.16 .甲、乙、丙、丁四人进行选择题解题比赛，已知每个选择题选择正确得5分，否则得0分.其测试结果如下：甲解题正确的个数小于乙解题正确的个数，乙解题正确的个数小于丙解题正确的个数，丙解题

7、正确的个数小于丁解题正确的个数；且丁解题正确的个数的 2倍小于甲解题正确的个数的 3倍，则这四人测试总得分的最少分数为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题.每 个试题考生都必须作答.第 22, 23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17 . （12 分）在 ABC中，角 A, B, C所对的边分别为 a,b,c,m cosA sinA,cosC ,n sinC,cos A sin A ,m n 、2 .求角B的大小；(2)若 C ,b 2,求S abc. 318 . （12 分）某科研单位在改进某种材料配方的过程中，为了解其

8、稳定性，需监控配制生产过程中的数据变化，检验员每天从实验记录的数据中随机抽取10个数据，并认为数据在正常状态下服从正态分布N(1)假设实验状态正常，记X为一天内抽取的10个数据在3,3 外的实验次数,求P X 1及X的数学期望.2 2) 一天内抽检的数据中，如果出现了数据在3 ,3 外的实验，就认为该实验存在问题，需对当天的实验配方进行调整.(i)试说明上述监控实验过程方法的合理性.(ii)卜面是检验员在一T内抽取的10个实验的数据：2.953.122.963.012.982.913.133.022.222.04经计算得X1 1010 i 1xi 2.834, s1 1010Xi i 12X1

9、10 2,.10 i1Xi_210X0.36 ,其中 Xi为抽取的第i次实验数据，i 1,2, ,10 .用样本平均数X作为的估计值以用样本标准差s作为的估计值然，利用估计值判断是否需对当天的实验配方进行调整(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N , 2 ,则P 3 Z 30.997 3,0.997 310 0.973 .19 . (12 分)如图，在四边形PBCD, PB/ C口 PBC45,点A在边PB上，且满足2PA=3AB AB=2CDAB=J2BG。为AC的中点.现将PAW AD翻折，使平面PAD1平面 ABCD如图所示.(1)证明：BC PQ(2)点E在线段BC上，则是

10、否存在点9E,使二面角G-PO-E的余弦值为 r?若存在，求出 . 233点E的位置；若不存在，请说明理由.20. （12 分）2 X已知椭圆C： a331- ,P4 1-中恰有2224 1 a b 0 ,四点 P 11 , P2 2,0 ,P3 b三点在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知动直线l过椭圆C的右焦点F,且与椭圆C交于A, B两点，则在x轴上是否存在定 uuu uur 135点Q使得OA QB 恒成立？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.6421. (12 分)一，一1已知函数f x ln ax 1a 0 .2x 当a 1时，求函数f x的单调区间；1(2)

11、设g x x 一，右 飞 1,e ,使得f Xog Xo成立，求实数a的取值范围.2x(二)选考题：共10分.请考生在第22, 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选彳4-4:坐标系与参数方程(10分)x a t,在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程为2- (t为参数)以坐标原点 O-2.y a t2为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为2cos .(1)写出直线l的普通方程和圆 C的参数方程；(2)若直线l与圆C相切于点 巳 求点P的直角坐标.23.选彳4-5:不等式选讲(10分)已知函数f x 2x 1 X 2 .当x 2,3时，求函数f

12、 x的值域M.11(2)右 a 0 ,证明：x 2a x 3 .a理科数学（三）一 建掾履1. B【传析】因为。十小 1 - +i-li =j-f- = il（i4-i）i4-l = i4-r+ll2b = i-rl-（i+r ） = - 1 -i+1 =0|l - i）i+ F = i-9 + 竿= i+7i+）= i+Li+l = 2.（；B.2D析】因为集介A= 1f91卜（一】.”由 3U八及履息，可知以=0成（】）或-1.当时.3 = 0,符合题意：当时.。=1；当3=|f，ur、P C? 1 金,+ A P（H|人）广不,故近A.4 .C【统析】当输入m=l时,进行运算m=2=2V

13、16 进行下一步运算,府=2，= 4L0V2一（十）.1,即A博 Oh对于 B因为 0V4V1.0V （V.所以lo&bVO. 1。（一0即B正确，咐于C/】OVV1BP C 加时于 D.?0.lofea0. DHR,故it A7.C KBtf在等室数列打，中，因为巴+5-2%10 所以4555号任yxj喈= 25所以点P（5.25）.因为点P（5.25）在曲线y.心 上所以切=1.1!法数乂由丁=/,得y=2r设 在点P的切线的斜率为机则A2X51O.所以在点 P（52力的切线方程为一25-10（上-5）,即y-10x- 25 故选C.8.B【解析】由题京律f=-2c8上 =4所以满足 0E

14、4.不等式也了+），2.作出不等式蛆表示的可行域.L2y+2NO.如图所示.同求得人（等,告）,B（4,-2）C43）.J+y的几何 意义是可行域内的点P（，y）与原点。的距离4的平 方,由图可知,d：z7kT?+3=25.故选B.9.B【“析】由题可知该春具是一个下底面半径为6寸. 上底面的半足为14寸,潦为18寸的台形秋.当即其 的史水深为6寸时设积水面的半径为r,盾=三言.10140就得一羿4所以濠器&中水的体用力x6,1（?） F6X? 驾立方寸）.因如这 天该地的降刚靖为焉暮-潘L66（寸）故 透R10.C【解析】将原直三核柱ABC八BG，卜影为直叫校住 八W/CAb .C 如图所示

15、剜所有依氏均为底面为 美形且NABH=120*.分别取用凡.BH的中点为GR. 连接G丛夫易仙（ EHG丛乩乂取HR的中点为 F.连接DF. 5因为D为BB的中点所以DF4R 从而将利DF/CE.所以/ADF即为异面U线AD.CE所成的他.在&UJF中马得到AD-DF - yB.R- LT-sm（2x + p）.又 /（e）.s|n（2X 年+ 夕）- 5in（ *十）；所以壬十午卷+2A或卷中正 J ，4JO3十2妹即片一卷+ 2M或8=高+ 2MW A因 60L为小V年所以1-短因此/（了一小卜了一 春）从而有r：-2c8（2L亳）所以vrra） 2/（。）- 2cw（ 2a - t）一

16、2in（ 2a-芯） 2/3 （co、2a- - + in 2r*in 看）- 2 （ .in 2co* * cos 2ain 亳）=3co 2a+V3mn 2a-73in 2a + ee 2a - 4c。* 2a= 1 所以 co-3乂2，.-1单超递增所 以当时/3XLl-l）-2.ftU42.EPJ.=2. 15. 16【解析】在工）一八2）=八4一 7）中,令1 = 2,得 /2）=0从而有/力=八4一）.所以八上）的图像关J-2对钵,又因为人了）是定义域为R的偶雨 畋,所以/（一工）/。）所以/（ 一1）/-，） ,因此 潮数1的冏期为4.加图所示,因为方拶/（x- logrlxl

17、-0的M的个数即为方数y- /（jt） y- log： lx的图像的交玄个JR向内图像在点（16.4）处聿 合又因为了一独上在区间（0. +-）内单调建增，因 此当*WU6.+oo）M,角个图像没有交点因此在区间 （0,16上能个明豫共有8个交点.同理可知在H间 ：16.0）内网个凿像共有8个文点综合上述。1州之 填16.且x.ymziWN加4,所以x23m 一上23.因此当工3时!1：，此时k44不成立J当J-4 肘.*=6.此职 Y5不成立当，=5村尹=竽.（8分）（】。分）此时用47不应力当6时母l9此时加（8不成立B当Z7 Bbyx-y .此时此时 小，m的最小ffi分别为x = 7y

18、=8M=9.m=10,故 才十、+ +切）=7-8=9-10=34（个），此时测试 总得分为34X5 = 170（分）.三、篇香17 . M:（ 1）ftl m = & W（co A + mo AX *in C） + （co* A - .in A co CQ 整理 c8（A + C）-snn（A + C） = -7T即 cm 6 + inB-a 所以 Rm（B+Y）-LC分）因为OVBVic所以8+1一年,所以（6分） 2,由已知及正比定珅价二一=,随以u=g.JtJTsin sin 丁 4v（8分）又由余弦定列科十c-26reb A即4 + 6-4褥cos花即0，-10-4cos（牛+春）解

19、得“=一】10分）闪屹 Sg M sin B16 X. 乂号 呼.（12分）18 .n：（1）抽取的一个实验敢者在5 3+立内的收率为0997 3从而实总豉案在-3O3 + D外的覆 率为 0.002 7,故 X-8（10.0, 002 7）.因此 P（Xi = l-P*0. 36.| 的估计为 , 2. B3p的估计值为3。36.（9分）因此得到方一方,方十万）=（1.753.91）.（10分）由佛本教8C可以看出没有实物也根在媪一亍，+了） 外因此不需财当人的实验配方遂行制.（12分）】9.1证明；在也留（1）中.及0一.则XB-2a.BC-0% 乂住ZkABC中/A8C=45由余也定理时

20、人C= 瓜 Z BAC- $5二所以N ACB - 90即 AC L CB.（2分）乂因为PB/CD.所以在ADC中易Ml AD=DC = oZDAr-45因此NDAB-90即 DAJ.PB. 由翻折的不变性可前在题图中有DAtPA. 乂因为平面PAD平而A BCD.目女线为AD.所以PA 学向A BCD.因为BCU平面ABCD所以PABC.（4分）又 AClHPAnAC=A所以 bC_平匐 PAC.又POC平面PAC所以BCPO.（5分）2）11：由（1）可知AB.AD.AP两两垂直.所以以A为 金标原点以AB.AD.AP所在直线分别力输少轴. z轴旎立空间包角里标奈如田所示.M A（0,0

21、.0）,6（241,00tC（yt tf.0）.P（0, 0.3a）.0（i,f,0）-方在线段BC上存在点E符合条件.则设注一A品C ）,得E（笔卢玲.。）.因此和（?$f）,巫=（笔卢治（7分）曲（D可如BC1.平面PAC.所以可粒平面PAC的一个法向为（一元=（一。皿.0.&平面POE的总向量为4=GC尸 P()=0.6上0)? PE-0 (2A + lx+jr3(l+A)x=0” 3U-1)3(1+3A) -2则 x-；-:所以（始产.啊!吗2）.“，“川=岛啬6(17)。.X产产+_3（1+1）. （-Uy）.P.（Uy）ffHHC.所以。一2.栉P4-1,科代人f + g-1,可糊

22、7.故所求确BIC的标准方程为*!=1.C分）（2）由（1）知F（l.O） 假设在“，上存在点Q（m0）.便 得苏诵,-曾恒成立.当出线的斜率不存在时/（1号）,5（1,-亳）.WQA QB（ l-m.-j-J （ 1 -m. 一 |-）= 一辞. 整理海所以1一6得或一得，即加 I或统治所以Q（g,。）或。（告。）.（6分） 当直线/的斜率为0时/U - 2.038（20）.*|QA QB（m0） （2m.O）一64（7分）下百证明当F二,时京演二一片便成立.当直线/的创率存在且不为。时设直线/的方程为 x-r+l .A（xj 1 ）.B（x： .y:）.由工夕+1.稗(3k + 4/+6，y-9-O,有(, 1 所以yi +yi6r9- 57TTa = -57T?因为 1i -，+15 + 1 .所以忠茹（4学力）一（5一/）（5一卷）+1a=（F + 】）/-工+）+前-”】）品十会占+ 9-27H36.2- 4（3?+4） 64= Z2 + =_ 电4（3?+4）6464所以