2020年上海市长宁区高考数学二模试卷(解析版)

1、2020年上海市长宁区高考数学二模试卷.填空题(共12小题)1 .已知集合 A= (- 2, 1, B= (0, +8),则 AAB =2 .行列式|? ?的值等于 .3 . (1+x) 5的二项展开式的第三项的系数是 4 .若复数z满足z2=-3,则|z| =.?> ?5 .若实数x、y满足?> ?,则z=x-y的最小值为 ?+ ? ?6.直线l：?=?*,”*是参数)的斜率为 ?= -? + ?7 .如图，已知正四棱柱 ABCD - AiBiCiDi的侧棱长为。？底面边长为1,则直线DiB和底 面ABCD所成的角的大小为 .8 .记等差数列an的前n项和为Sn.若a3=1,S7

2、=14,则a5=.9 .已知“-2, - 1, - ：, L L 1, 2, 3.若函数 f (x) = x” 在(0, +8)上递减且2 3 2为偶函数，则亡.10 .在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选项，则每个项目都有该校教师参加的概率为 (结果用数值表示)11 .已知点 M、N在以AB为直径的圆上.若AB= 5,AM =3, BN = 2,则？?？=12.已知函数f (x)|?|-1若关于x的方程f (x) - x=b有三个不同的实数解，则实数b的取值范围是.二.选择题(本大题共有 4题，？t分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题

3、纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知向量？?= (?, ?- ?)?= (? ? ?)xcr,贝u “x=- 1” 是“？?y?的()A .充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.某单位现有职工52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本.已知6号、32号、45号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为(A. 19B. 20C. 18D. 2115.在直角坐标系xOy中，角a的始边为X轴的正半轴，顶点为坐标原点O.已知角a的? _终边1与单位圆交于点A (06 m),将1绕原点逆时针旋转与单位圆交于点B (x, y),若 t

4、an a= - 4,则 x=()3A. 0.6B. 0.8C. - 0.6D. - 0.816 .在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线y= x2、x轴以及直线x=1所围成的曲边区域面积S的一种方法：把区间0, 1平均分成n份，在每一个小区间上作一个小矩 形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线y= x2上(如图)，则当n8时，这些小矩形面积之和的极限就是 S.已知12+22+32+n2= 6n (n+1) (2n+1).利用此方法计算出 的由曲线y= 6? x轴以及直线x=1所围成的曲边区域的面积为()三、解答题(本大题共有 5题，？t分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步

5、骤.17 .如图，已知圆锥的顶点为P,底面圆心为 O,半径为2,母线长为2丁?(1)求该圆锥的体积;(2)已知AB为圆锥底面的直径， C为底面圆周上一点，且/ BOC = 90° , M为线段(1)设 ABC的内角A、B、C所对的边长分别为 a、b、c.若f (A) = 0,且b=2, c(2)求函数y=f (x) cosx的最大值.N,已知向水中每投放1个单19. 培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质位的物质N , x (单位：天)时刻后水中含有物质N的量增加ymol/L, y与x的函数关系?卫 一 ?< ?W ?可近似地表示为 y= ?+2'.?-? ?

6、 ?箕？?w ?根据经验，当水中含有物质N的量不低于4mol/L时，物质N才能有效发挥作用.(1)若在水中首次投放1个单位的物质N,计算物质N能持续有效发挥作用几天?(2)若在水中首次投放1个单位的物质N,第8天再投放1个单位的物质 N,试判断第8天至第12天，水中所含物质 N的量是否始终不超过 6mol/L,并说明理由.?吊 ？吊20. (16分)已知椭圆r：+ =1 (a>b>0)的右焦点的坐标为(2, 0),且长轴?长为短轴长的历倍.椭圆r的上、下顶点分别为 A、B,经过点P (0, 4)的直线l与椭 圆r相交于 M、N两点(不同于 A、B两点).(1)求椭圆r的方程；(2)

7、若直线BMH,求点M的坐标；(3)设直线AN、BM相交于点Q (m, n),求证：n是定值.21. (18分)若数列cn满足“对任意正整数i, j, iwj,都存在正整数k,使得ck=cicj”， 则称数列Cn具有“性质P” .已知数列an为无穷数列.(1)若an为等比数列，且a1=1,判断数列an是否具有“性质 P”，并说明理由；(2)若an为等差数列，且公差 d<0,求证：数列an不具有“性质P” ；(3)若等差数列an具有“性质P”，且a3=2,求数列an的通项公式an.填空题(本大题共有 12题，？茜分54分，第16题每题4分，第712题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写

8、结果.1.已知集合 A= ( 2, 1, B= (0, +8),则 AnB=(0, 1【分析】进行交集的运算即可.解： A= ( 2, 1, B= (0, +8),.An b=(0, 1,故答案为：(0, 1.? ?2 .行列式|? ?的值等于2 .【分析】利用行列式的计算公式即可得出.解：I? ? = 5X 2 - 8X 1= 2.? ?故答案为：2.3 . ( 1+x) 5的二项展开式的第三项的系数是10 .【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出第三项的系数. 解：(1+x) 5的二项展开式的第三项的系数是？?:?=10,故答案为：10.4 .若复数 z满足 z2=-3,则 |z|

9、= _v?_.【分析】由已知求得|z2|=|z|2=3,开方后得答案.解：由 z2= 3,彳# |z2|= |z|2=3,则 |zk V?故答案为：V?> ?5 .若实数x、y满足?> ?,则z=x-y的最小值为 T .?+ ? ?【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.?> ?解：由实数x、y满足?>?,作出可行域，?+ ?实?化目标函数 z= X 丫为丫=* z,由图可知，当直线 y=x-z过点A （0, 1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为故答案为：-1.?=6.直线 l: Qr)_

10、?_?+ +?t是参数）的斜率为【分析】直线i： ?= ?+：?”4t是参数），消去参数可得方程，即可得出斜率. ?=-? 十？?解：直线I： ?= ?+ +? ?t是参数），消去参数为：y=2x-5,可得斜率k=2.故答案为：2.7.如图，已知正四棱柱 ABCD - AiBiCiDi的侧棱长为 6?底面边长为1,则直线DiB和底 ?面ABCD所成的角的大小为一.4 -【分析】连ZBD,推导出BD= V? DDi,平面ABCD，/DiBD是直线DiB和底面ABCD 所成的角，由此能求出直线DiB和底面ABCD所成的角的大小.解：连结BD, 正四棱柱 ABCD - AiBiCiDi的侧棱长为V?

11、底面边长为1, BD=，？?+ ?= V? DDi,平面 ABCD, 1/ DiBD是直线DiB和底面ABCD所成的角，?，直线DiB和底面ABCD所成的角的大小为-DiD = BD , DiDXBD , ? ，?',故答案为：一.A 38.记等差数列an的前n项和为Sn.若a3=i, S7= i4,则a5= 3 .【分析】由等差数列的性质可得：a3+a5=ai+a7.再利用求和公式即可得出.解：由等差数列的性质可得：a3+a5=ai+a7.i7 一 . - S7= i4= 7 X 万 X (ai + a7)= q (i+a5),解得：a5=3,故答案为：3.9.已知 ag-2, -

12、1, -, -，1, 2, 3.若函数 f (x) = x” 在(0, +°°)上递减且2 3 2为偶函数，则 a= - 2 .【分析】根据题意，由募函数的单调性分析可得 a= - 2、- 1或-/据此验证函数f (x)的奇偶性，即可得答案.解：根据题意，函数 f (x) =xa为募函数，若函数f (x) = xa在(0, +00)上递减，必有 a<0,则a=- 2、-1或-1,2当a= - 2时，f (x) = x 2=，为偶函数，符合题意，当a= - 1时，f (x) = x 1= 1?为奇函数，不符合题意，当a= - 1时，f (x) = ?为非奇非偶函数，不符

13、合题意；则 a = - 2;故答案为：-210 .在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为4(结果用数值表示).一9一【分析】基本事件总数n = 34=81,每个项目都有该校教师参加包含的基本事件总数m=?= 36,由此能求出每个项目都有该校教师参加的概率.解：某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，基本事件总数n = 34= 81,每个项目都有该校教师参加包含的基本事件总数m= ?= 36,则每个项目都有该校教师参加的概率为?364p= ”? 819，4故答案为：4.911 .已知点 M、N在以AB为

14、直径的圆上.右AB = 5, AM = 3, BN = 2,则？?？?= 12 _一. .一 . 一.f .【分析】连接 BM , BN ,利用数量积公式表不 ?？?？再结合其几何意义即可求出结果.解：连接BM, BN,因为AB为直径，所以/ AMB =/ ANB =90。，又因为 AB=5, AM =3, BN = 2, BM=，？ ?=4;.? ?= ? (? ?=? ? ? ? =-? ?+ ? ?=I? |?cos/ ABM - |?|? I?!? cos/ ABN故答案为：12.112.已知函数f (x)=罚.=?- ?= 42- 22= 12.若关于x的方程f (x) - x=b有

15、三个不同的实数解，则实数b的取值范围是(一巴1) U ( 3, +8).【分析】利用函数的奇偶性画出函数f (x)的大致图象，关于 x的方程f (x) - x=b有三个不同的实数解，等价于函数y=f (x)与函数y= x+b有三个不同的交点，利用导数的几何意义求出直线 y= x+b与函数f (x)相切时，b的值，根据函数图象，即可求出有 三个不同的交点时 b的取值范围.解：显然函数f (x)是偶函数，图象关于y轴对称，画出函数f (x)的图象，如图所示:y=f (x)与函数 y= x+b关于x的方程f (x) - x=b有三个不同的实数解，等价于函数有三个不同的交点, 设当xv 0且xw -

16、1时 直线y= x+b与f (x) = 1相切时，切点坐标为(xo yo)-?-1 f' (x) = -17二 ?(?+1)" + 1) 2解得：xo=-2或0,，切点坐标为(-2, 1)或(0, - 1),代入直线 y=x+b得：b=3或-1,，由函数f (x)的图象可知，当 b>3或bv - 1时，函数y= f (x)与函数y= x+b有三个不同的交点,故答案为：(-81) U ( 3, +8)二选择题(本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分)每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13,已知向量？?= (?, ? - ?)?

17、= (? ? ?)xCR,贝U x= 1 是 ？?/ ?的()A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件_ . . 一 . > . f 一 一>f . 一.一一 一一.【分析】由？?/ ?可设？?=k?于是(1, x, - 1) = k (x, 1, 1),解出即可得出.，一 ，>.7、 一 7 T 一一.斛：由？?/ ?可设？?= k?于是(1, x, 1) = k (x, 1, 1),?= ?= ?,解得 k= - 1 = x.-? = ?, . . ,> > .一x= - 1 是 ？?/ ?的充要条件.故选：C14 某单位现有职

18、工52 人， 将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4 的样本 已知 6 号、 32 号、 45 号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为()A 19B 20C 18D 21【分析】根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个职工的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可解：设样本中还有一个职工的编号是x 号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6 号、 x 号、 32 号、 45 号，它们构成等差数列，.6+45=x+32,x= 6+45 32= 19因此，另一学生编号为19.故选：A.15 .在直角坐标系 xOy中，角a的始边为X轴的正半

19、轴，顶点为坐标原点 O.已知角a的 终边l与单位圆交于点 A (0.6, m),将l绕原点逆时针旋转？"单位圆交于点 B (x, y), 2若 tan a= - 4,则 x=()3A. 0.6B. 0.8C, - 0.6D. - 0.8【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得 x的值.解：在直角坐标系 xOy中，角a的始边为x轴的正半轴，顶点为坐标原点 O,已知角a 的终边l与单位圆交于点 A (0.6, m),将l绕原点逆时针旋转？?W单位圆交于点 B (x, y),若tan a= - 4 = -?,m = - 0.8,230.6故 A (0.6, - 0.8).由

20、题意，x= cos ( o+ 2? = - sin a= 0.8,故选：B.16 .在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线y= x2、x轴以及直线x=1所围成的曲边区域面积S的一种方法：把区间0, 1平均分成n份，在每一个小区间上作一个小矩 形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线y= x2上(如图)，则当n-oo时，这些小矩形面积之和的极限就是 S.已知12+22+32+n2= 6n (n+1) (2n+1).利用此方法计算出的由曲线y= 6? x轴以及直线x=1所围成的曲边区域的面积为(【分析】由题意画出图形，结合已知求出曲线y= .? y轴、y=1围成的曲边梯形的面积，再由正方形的面积减

21、去该面积可得曲线y= V? x轴以及直线x=1所围成的曲边区域的面积.解：如图,把纵轴区间0, 1, n等分，得到n个矩形，每一个矩形的底边长都是1?高分别为12 22 32?w ?w ?/1 122232(+ ? ?+2?2?n个矩形的面积和为+ 竺)=(12+22+32+n2)?3?(?+1)(2?+1)6?另，曲线y= V? y轴、y=1围成的曲边梯形的面积为?由？+1)(2?+1)?七. ,6?，2?5+3?2+?2+ ?+ ?21?= ?=?-86?夕？?-8 63，由曲线y=3？ x轴以及直线x=1所围成的曲边区域的面积为1-1=2.33三、解答题(本大题共有 5题，？t分76分)

22、解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17 .如图，已知圆锥的顶点为P,底面圆心为 O,半径为2,母线长为2"?(1)求该圆锥的体积；(2)已知AB为圆锥底面的直径， C为底面圆周上一点，且/ BOC = 90° , M为线段AC的中点，求异面直线 OM与PB所成的角的大小.C【分析】(1)在RtPOB中，由已知结合勾股定理求得PO,即该圆锥的高 h=2.再由圆锥体积公式求解；(2)连接PC, BC,由M为线段AC的中点，得 OM / BC ,则异面直线 OM与PB所 成的角就是直线 BC与PM所成的角.由已知结合勾股定理得到PB = PC=BC,得到PBC为等

23、边三角形，则异面直线OM与PB所成的角的大小可求.解：(1)如图，由题意得？?？ ？? OB = 2.在Rt POB中，？?=，?篦？?= ?即该圆锥的高h=2.由圆锥的体积公式得？?= 3?= 8?即该圆锥的体积为?(2)连接 PC, BC,由M为线段AC的中点，得OM / BC,，异面直线OM与PB所成的角就是直线 BC与PB所成的角./ POC= 90° , / BOC = 90° ,.? ? ? ?/?在 PBC 中,?± ?= ?= ?/?. PBC为等边三角形，即Z?=?-；3因此异面直线 OM与PB所成的角的大小为?3 °18 .已知函数

24、f (x) = sinx- v?0osx, x C一、选择题.(1)设 ABC的内角A、B、C所对的边长分别为 a、b、c.若f (A) = 0,且b=2, c=3,求a的值；(2)求函数y=f (x) cosx的最大值.【分析】(1)由？?？”?？=?彳导?'=?/?解得得出A,再利用余弦定理即可得出.(2)由题意得 ？?= (?)?涌公式、 三角函数的单调性即可得出最值.解：（1）由？?=?彳# ?v?因为A为 ABC的内角，所以 ？?= ? 3（ A r、一 一C _ C C _-_ ? CC?由余弦定理得 a2=b2+c2- 2bccosA= ?+ ?- ?x ?x ?x ?=

25、 ?3所以？?= v?(2 )由题意得?= (?”？)？?？?？=1 ?2-解?* 1+? ? v3=?(?等-? ?因为x R ,所以y的最大值为？19 .培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N.已知向水中每投放 1个单位的物质N , x (单位：天)时刻后水中含有物质N的量增加ymol/L, y与x的函数关系?卫.?< ?w ?可近似地表示为 y= " ?+2'.根据经验，当水中含有物质 N的量不低于?-? ? ?箕？?w ?4mol/L时，物质N才能有效发挥作用.(1)若在水中首次投放 1个单位的物质N,计算物质N能持续有效发挥作用几天？(2)若在水中

26、首次投放1个单位的物质N,第8天再投放1个单位的物质N,试判断第8天至第12天，水中所含物质 N的量是否始终不超过 6mol/L,并说明理由.【分析】(1)由题意x,(单位：天)时刻后水中含有物质N的量列出分段函数的解析式，推出在水中首次投放1个单位的物质N,物质N能持续有效发挥作用的天数.(2)设第x (8wxw 12)天水中所含物质 N的量为ymol/L,化简函数的解析式，禾ij用基本不等式求解函数的最大值，推出结果即可.? . ?< ?w ?解：(1)由题意x,(单位：天)时刻后水中含有物质 N的量为？?= -？?+2'.? ? 2? ?X ?解 y>4,彳2 2&l

27、t;x< 8.所以若在水中首次投放 1个单位的物质 N,物质N能持续有效发挥作用 6天.(2)设第x (8<x< 12)天水中所含物质 N的量为ymol/L,则？?= (? ?)+?-君+2 = ? ?急?= ? (?- ?)+ -6- < ? ?4?- ?)x -6- = ?l ,/ ? g j / ? 6当且仅当？? ?= -16-,即x=10可8, 12时，等号成立.即当x=10时，ymax=6.?-6所以第8天至第12天，水中所含物质 N的量始终不超过 6mol/L. ？ ？ 一 .20 . ( 16分)已知椭圆r：+ =1 (a>b>0)的右焦点的

28、坐标为(2, 0),且长轴?？孕长为短轴长的 31倍.椭圆r的上、下顶点分别为 A、B,经过点P (0, 4)的直线l与椭 圆r相交于 M、N两点(不同于 A、B两点).(1)求椭圆r的方程；(2)若直线BM ±1 ,求点M的坐标；(3)设直线AN、BM相交于点Q (m, n),求证：n是定值.【分析】(1)利用已知条件得到?= V? a2- b2=4,求出a, b然后求解椭圆方程.(2)由题意点B的坐标为(0, - 2),设点M (x, y).求出M的轨迹方程，结合椭圆方程求出M的坐标.(3)设M (x1，y1)，N (x2, y2),直线l的方程为y= kx+4.联立直线与椭圆方

29、程， 利用韦达定理结合直线方程求解即可.解：(1)由题意得 ？?= V? a2 - b2=4,解得？?= ?/? b=2,_,，、一？名 ？名所以所求椭圆r的方程为 -?+?=?(2)由题意点B的坐标为 (0, - 2),设点M (x, y).因为 BM IMP ,所以 x2+(y+2) ? (y4) =0,p ?3？?！又了 + = ?解得?= -?。垂?= ?蓊皴?= ?（舍去） ?= ?= ?= -?所以所求点M的坐标为(-? V? ?或(?？，？ ？?)(3)设 M (x1，y1)，N(X2, y2),直线 l 的方程为 y=kx+4.?= ? ?由方程组? ?挈 ，得（1+2k2）

30、x2+16kx+24=0. _ + = ?所以？?+ ?=-16?一21+2?224?=°,?9 ?1+2?2?-2?直线 AN 的万程为 ？0 ?= -2?丁？彳#?= （?- ?）?或2,直线 BM 的方程为？?+ ?= ?+2 ?得? = （?+ ?）?+6, :?1所以？?=?+ 2?祟产, 3? 2-?1因为 2kx1x2= - 3（X1+X2）,得？?= ?+ 网?；?4?1 = ?- ?= ?3? 2-?1所以n为定值1.21 . (18分)若数列cn满足“对任意正整数i, j, iwj,都存在正整数k,使得ck=ca"，则称数列cn具有“性质P” .已知数列an为无穷数列.(1)若an为等比数列，且 a1=1,判断数列an是否具有“性质 P”，并说明理由;(2)若an为等差数列，且公差 dV0,求证：数列an不具有“性质 P” ；(3)若等差数列an具有“性质P”，且a3=2,求数列an的通项公式an.【分析】(1)由等比数列的通项公式、有理指数哥的运算性质