(新)高中数学椭圆的经典知识总结

1、所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。高中数学椭圆的经典知识总结椭圆知识点总结1.椭圆的定义：1,222(1)椭圆：焦点在X轴上时二4 1 (a2 b2 c2)x a8s (参数方程，其中为a， b，y bs1n2 2参数)，焦点在y轴上时/ xr=1(a b 0)。方程Ax2 By2 C表示椭圆的充要条件是什么？a b(ABCW0,且 A, B, C 同号，AwB)。2.椭圆的几何性质：22(1)椭圆(以二。1 (a ba b焦点(c,0)；对称性：两条对称轴x0)为例)：范围:a x a, b y b ；焦点：两个0,y 0, 一个对称中心(0,0),四个

2、顶点(a,0),(0, b),放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!112;离心率：e ,，椭圆ca2.点与椭圆的位置关系：(1)点P(x°, y°)在椭圆外22(2)点P(x0,y0)在椭圆上空粤=1;a b22(3)点P(x0,y0)在椭圆内名岑1a b2 x0a2 V。 b21；其中长轴长为2a ,短轴长为2b ;准线：两条准线x2b2e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。通径 a3 .直线与圆锥曲线的位置关系：直线与椭圆相切；(3)相离： 0m的取值范围是 (答：1, 5)(1)相交：0 直线与椭圆相交；(2)相切：0直线与椭圆相离；22如：直线y kx1=0与椭圆

3、二 上1包有公共点，则5 mU (5, +00);4、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转 化到相应准线的距离，即焦半径r ed a e% ,其中d表示P到与F所对应的准线的距离。如(1)已知椭圆工 上1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为25 1610/3);22M ,使MP 2MF 之值(2)椭圆二 y 1内有一点P(1, 1), F为右焦点，在椭圆上有一点43最小，则点M的坐标为(答：(生6, 1);35、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题：S b2 tan- c|y0|,2当|y0| b即P为短轴端点

4、时,Smax的最大值为bc；6、弦长公式：若直线y kx b与圆锥曲线相交于两点 A、B,且为？2分别为A、B的横坐标，则AB =田k2 X1 X2 ,若yi, y2分别为A、B的纵坐标，则AB = jl2 y y2 ,若弦AB所 k k2在直线方程设为x ky b,则AB| =函k21 yi y?。特别地，焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦的弦 长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆2. h2Y 一 1中，以P(x°,y°)为中点的弦所在直线的斜率k

5、=学；ba2yo2如(1)如果椭圆-3629 1弦被点A (4, 2)平分,那么这条弦所在的直线方程是222y 8 0); (2)已知直线y=-x+1与椭圆勺 与1(a b 0)相交于A、B两点，且线段ABa b的中点在直线L:x 2y=0上，则此椭圆的离心率为二 (答：);(3)试确定m的取值范22围，使得椭圆A4特别提醒：因为 题时，务必别忘了检验1上有不同的两点关于直线y 4x m对称(答： 巫,近13130是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问 0!椭圆知识点1 .如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对

6、称轴是坐标轴，椭圆的 方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b； 一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2 .椭圆标准方程中的三个量 a,b,c的几何意义椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的 长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为:2 222、(a b c )。可借助右图理解记忆:显然：a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、角边。3 .如何由椭圆标准方程判断焦点位置焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置

7、的方法是：看x2,的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。(a b 0) , (a c 0),且c为两条直椭圆的y2的分母方程Ax2 By2222AxByxC可化为- 1 ,即CCCABy2CB1,所以只有A、B、C同号，且A B时，方4 .方程Ax2 By2 C(A,B,C均不为零)是表示椭圆的条件C时，椭圆的焦点在 y轴上。BCCC程表本椭圆。当一一时，椭圆的焦点在x轴上；当一ABA5 .求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程 中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量定义法：由已知条件判断出动点的

8、轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6 .共焦点的椭圆标准方程形式上的差异2222共焦点，则c相同。与椭圆 j41 (a b 0)共焦点的椭圆方程可设为一1 (m b2),aba mb m此类问题常用待定系数法求解。7 .判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的x换成x ,方程不变，则曲线关于y轴对称; 若把曲线方程中的y换成y,方程不变，则曲线关于x轴对称; 若把曲线方程中的x、y同时换成 x、 y ,方程不变，则曲线关于原点对称。8 .如何求解与焦点三角形 PF1F2 (P为椭圆上的点)有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形 PFE有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定

9、义及余弦定理(或勾股、一 1定理)、三角形面积公式S PFiF2 -PF1 PF2 sin 5干52相结合的万法进行计算解题。 1 22 I 1 | | A |1 J将有关线段|PFi、PF2、FiF21，有关角 F1PF2 ( F1PF2F1BF2)结合起来，建立 PFi |PF2、PFi| |PF2之间的关系.9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e £(0 e 1),因为c2 a2 b2,a c 0,a用 a、b表示为 e J (b)2(0 e 1)。 a显然：当b越小时，e(0 e 1)越大，椭圆形状越扁；当b越大，e(0 e

10、 1)越小，椭圆形状越趋 aa近于圆。椭圆题型1:椭圆定义的运用22x y例1、已知卜1，卜2为椭圆 1的两个焦点，过 Fl的直线交椭圆于 a、B两点若F2A EB 12,则 259AB 。例2、椭圆有这样的光学性质： 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为 2a,焦距为2c,静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是 2例3、如果方程X2表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是2,. .-一 X例4、已知P为椭圆252y1上的一点,16

11、22M,N分别为圆x 3 y221和圆x 3 y 4上的点,则PM PN的最小值为题型2：求椭圆的标准方程例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程（1）经过两点A(V3, 2)、B( 2技1)；36具有共同的焦点.2,2（2）经过点化，一3）且与椭圆9x 4y（3） 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4&-4.题型3:求椭圆的离心率（或范围）例1、 ABC中，.A 300, AB 25ABe V3若以A, B为焦点的椭圆经过点C，则椭圆的离心率为.例2、过椭圆的一个焦点 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于 P,若 F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为题

12、型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）22例1、已知实数 x,y满足 人 y 1,则x2 y2 x的范围为 422、2已知P是椭圆二a2 y b21上一点，Fi,F2是椭圆的两个焦点，求PFi PF2的最大值与最小值3、已知点A,B是椭圆2x-2m2y1 ( m 0, n 0)上两点 n，且aO bO，则4、如上图，把椭圆252y ，, 一，1的长轴AB分成8等份,16过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于耳尺，P3,比已P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点，则 PFP2FRFP4FP5FP6FP7F题型5:焦点三角形问题x2例1、已知Fi, F2为椭圆一92 1的两个焦点，p为椭

13、圆上的一点，已知 P,Fi, F2为一个直角三角形的三个顶 4点，且PF1PF2，求PFiPF2的值;22x y 例2、已知F F2为椭圆C： 1 1的两个焦点，在 C上满足PF1 84PF2的点的个数为22例3、若F1,F2为椭圆 上 1的两个焦点，p为椭圆上的一点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范94围为3例4、已知椭圆的焦点是 F,(Q 1)，F2(Q1),且经过点(1，&)求椭圆的万程；设点P在椭圆上，且PF1PF21,求 cos F1PF2.题型6:三角代换的应用22例1、椭圆 上一1上的点到直线l：x169y 9 0的距离的最小值为一 ，一 x2例2、椭圆一162y

14、1的内接矩形的面积的最大值为9题型7:直线与椭圆的位置关系的判断2 x 例1、当m为何值时，直线y x m与椭圆一1691相交？相切？相离?例2、若直线y kx21(k R)与椭圆土题型8:弦长问题例3.求直线y 2x4x24被椭圆丝 92y91所截得的弦长.2例4、已知椭圆21的左右焦点分别为Fi,F2,若过点P (0,-2)及F1的直线交椭圆于A,B两点，求NABF2的面积;题型9:中点弦问题2 x 5、求以椭圆一81内的点A (2,-1)为中点的弦所在的直线方程。6、中心在原点,一个焦点为F1(0, J50)的椭圆截直线y 3x 2所得弦的中点横坐标为7、椭圆mx2ny2 1 ,与直线x

15、 y 1相交于乂、,两点,e是且§的中点.若AB 272 ,斜2y- 1恒有公共点，求实数 m的取值范围;m率为 (O为原点)，求椭圆的方程. 2题型10：椭圆与向量、解三角形的交汇问题例6、设过点P x, y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点，若BP1 ,求P点的轨迹方程；15.如图，在 RtAABC 中，/ CAB=902,AB=2 , AC=。一曲线2E过点C,动点P在曲线E上运动，且保才|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程；(2)设直线l的斜率为k,若/

16、MBN为钝角，求k的取值范围。基础巩固训练1 .如图，椭圆中心在原点,F是左焦点，直线ABi与BF交于D,且 BDBi，则椭圆的离心率2x2 .设F1, F2为椭圆一4y2 1的两焦点，P在椭圆上，当 F1PF2面积为1时, 钳P2的值为223.椭圆y- 1的一条弦被 A 4,2平分，那么这条弦所在的直线方程是 3694 .在 ABC 中，A 90；,tanB -.若以A,B为焦点的椭圆经过点 4C,则该椭圆的离心率e5 .若Fi,F2为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点，若PF1F2 : PF2F1 :FlPF21: 2:3,则此椭圆的离心率为6.在平面直角坐标系中，椭圆2a -0)的焦距为2,以。为圆心，a为半径的圆，过点(,0)作c圆的两切线互相垂直，则离心率综合提高训练2 x 7、已知椭圆a0)与过点A(2 ,0), B(0, 1)的直线l有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e -,求椭圆方程;22x8.已知A、B分别是椭圆a2 y b21(a b 0)的左右两个焦点，。