2017届南通高三一模数学试卷

1、2017届高三一模考试数学试题I一：填空题1 函数y 2sin(3x -)的最小正周期为 。2 设集合 A 1,3, B a 2,5, A B 3，则 A B=3复数z (12i)2，其中i为虚数单位，则z的实部为。4 口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球。摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率是 0.35，则摸出蓝球的概率为。5 如图是一个算法流程图，则输出的n的值为。2x y 46若实数x, y满足X 3y 7，则z 3x 2y的最大值为x 0y 0137 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩(单位：分)结果如下:学生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575则成绩较为

2、稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为 8.如图，在正四棱柱 ABCD - A1BGD1 中，AB=3cm AA=1cm,3则三棱锥 D - A1BD的体积为cm。2 29 在平面直角坐标系 xOy中，直线2x y 0为双曲线 笃 爲 1(a0,b0)的一条渐近线，则该双a2 b2曲线的离心率为。10九章算术中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 升。11 在 ABC 中，若 BC BA 2AC AB CA CB，则 sin A 的值为。sin C12已知两曲线f(x) 2sin x, g(x

3、) acosx, x (0,)相交于点P。若两曲线在点 P处的切线互相垂直,2则实数a的值为。13已知函数f(x) | x | | x 4|，则不等式f(x2 2) f (x)的解集用区间表示为 14在平面直角坐标系 xOy中，已知B, C为圆x2 y2 4上两点，点A(1,1)，且AB AC，则线段BC的长的取值围是。二：解答题15.(本题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角，其终边与单位圆交于点代以OA为始边作锐角，其终边与单位圆交于点B, AB。5(1) 求cos 的值；5(2) 若点A的横坐标为，求点B的坐标。16.（本题满分14分）如图，在四棱锥 P

4、- ABC呼，四边形 ABC为平行四边形，AC BD相交于点 Q点E为PC的中点，QP=QC PA丄PD求证：（1）直线PA/平面BDE（2）平面BDEL平面PCD17.（本题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆2x2ab21(a0）的离心率为焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P为椭圆上的一点，过点 0作0P的垂线交直线10Q2的值;18.(本题满分16分)如图，某机械厂要将长 6m宽2m的长方形铁皮 ABCD进行裁剪。已知点 点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形 CDFE&直线EF翻折到MNF处(点C, D分别落在直线 N处，FN交边BC于点

5、P),再沿直线PE裁剪。(1)当 EFP 时，试判断四边形 MNPE勺形状，并求其面积；4F为AD的中BC下方点M(2)若使裁剪得到的四边形 MNP面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由。19.(本题满分16分)已知函数f(x) ax2 x In x, a R。3(1) 当a 时，求函数f (x)的最小值；8(2) 若1 a 0,证明：函数f (x)有且只有一个零点；(3)若函数f(x)又两个零点，数a的取值围。20.（本题满分16分）已知等差数列an的公差d不为0,且ak1 ,ak2, ,akn, （ki k?kn ）成等比数列，公比为q。a（1）若 ki 1,k23,ka 8，求的值；d（2

6、） 当也为何值时，数列kn为等比数列；d（3）若数列kn为等比数列，且对于任意 n N*，不等式an akn 2人恒成立，求 印的取值围。2016-2017学年度高三第二学期期初摸底考试数学试题I参考答案一：填空题1 . 2 . 1,3,53 .3 4 . 0.17 5. 5 6. 7 7. 20 8. -9 . . 532I10 . 1311.2 12 . 亘 13 . (, 2)(.2,)14 . .62, .6、2223二：解答题15.解(1 )在 AOB 中，由余弦定理得：AB2 OA2 OB2 2OA OB cos AOB ,所以cos AOBOA2 OB2 AB2 2OA OB3，

7、即 cos5(2)因为cos3，且为锐角，所以sin51 cos2455因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得:135cos13因为为锐角，所以sin 1cos21所以 cos( ) cos cos sin sin5 212()10分13135 31243312分13 513565sin( ) sin cos cos sin34 5613 513 5 65所以点B（33 5665,6514分16.证明：（1）连结OE因为O为平行四边形 ABC%角线的交点，所以 O为AC的中点,又E为PC的中点，所以OE/PA, 4分因为OE 平面BDE PA 平面BDE所以直线PA/平面BDE 6分(2)因为

8、 OE/PA, PAI PD,所以 OE! PD,8分4因为OP=OC E为PC的中点，所以 OE! PC10分又 PCn PD=P PD 平面 PCD PC 平面 PCD所以OE!平面PCD12分因为OE 平面BDE 所以平面 BDEL平面 PCD14分17.解：(1)由题意得：-'-, c 1,a2 b2 c2, 2分a 2 c2w解得：a ,2,c 1,b 1 ,所以椭圆的标准方程为y 1;4分2(2)由题意知OP的斜率存在，当OP的斜率为0时，OP 、2,OQ . 2，所以=1,6分OP2 OQ2当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为y kx,y 1 得：(2k21)x22，

9、解得：x2y kx22k21，所以y22k22k21所以OP222k222k21因为OPOQ，所以直线OQ的方程为y11x，y2由1得:x2k，所以OQ22k22yxk112k2 11所以22= 22 1OPOQ2k 22k 212分综上，可知1OP21OQ2=1.14分18.解：(1)当 EFP 时， EFP4EFDFEP所以 FPE ，即FN BC，所以四边形 MNPE为矩形，3分2所以四边形 MNPE勺面积为S PN MN 2m2 ； 5分(2)设 EFD(0,)，由条件知：EFPEFDFEP,22222PF,NP NF PF3 -,ME3，8分sin( 2 )si n2sin 2tan

10、222 tan230sin 22sin 231tan3由320 得: tan2所以tan2解得：2tan3. 5tan3332000222所以四边形MNPE的面积为S1(PNME) MN-(32(322 ) 2)22sin 2tan2 26() 12 分tan sin 226tan) 6 (ta n) 6 23tan2 tantan3 23岛当且仅当tan，即tan 心 (一，),时取“=”14分tan323答：当 EFP 时，沿直线PE裁剪，四边形 MNPE面积最大，为62 3。16分3x In x,3319.解：(1)当 a 时，f (x) x288所以f (x)3 彳1x 1 一(3x

11、2)(x2,(x0),，2分4x4x令 f (x) =0,得 x 2，当j x (0,2)时,f (x)<0,当 x (2,)时，f (x)>0,所以函数f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,)上单调递增,所以当x 2时，f (x)有最小值f(2)2(2)由 f(x) ax x In x, a得：f (x),(x0)所以当a0时，f (x) 込x 10，函数f (x)在(0,)上单调递减,所以当a0时，函数f(x)在(0,)上最多有一个零点,d 2又当1a 0 时，f (1) a 10,fQ)0，e e综上，当1 a 0时，函数f (x)有且只有一个零点； 8分(3)由(:2)知

12、：当a 0时，函数f (x)在(0,)上最多有一个零点，因为函数f (x)有两个零点，所以 an 9分由 f (x)ax2 x In x, a R，得1:f (x) 2ax 1-x2ax2 xx-,(x令 g(x)2ax2 x 1，因为 g(0)10,2a0,所以函数g (x)在(0,)上有且只有-个零点，设为x0 ,所以当1 a 0时，函数f (x)在(0,)上有零点,当f (x) >0,)，g(x) >0,0)x (0,X0)时，g(x) <0， f (x)<0，当时 x (X0,所以函数f (x)在(0,X0)上单调递减，在(X0,)上单调递增，要使得函数f(x)

13、在(0,)上有两个零点，只需要函数f (x)的最小值f (x0) 0 ,即 ax。？ x ln x00，又因为2g(x°) 2ax0X010,消去a得：2 In x0X01 0,又因为h(x) 2lnxX1 在(0,)上单调递增，且 h(1)0，所以X0>1,1则0 丄 1，因为2ax02X。10，所以2a(丄)21 ( 1(一1)2 1)-X。X0X0X024所以2a在(0,1)上单调递增，所以0 a 1, 13分以下验证当0 a 1时，函数f(x)有两个零点。0 ,12a 11a1当0 a 1时，g(丄)孚丄1=0，所以1 xo丄,aaaaa因为f($号1 1 e 步0，且

14、f(xo) 0,e e ee1所以函数f (x)在(!,x0)上有一个零点，eQy| oQQQQ又因为f(_)p一in一(一1) 1 0 (因为 In x x 1)，且 f(x°)aaaaaa_所以函数f (x)在(X。，一)上有一个零点，a所以当0 a 1时，函数f(x)在(丄二)上有两个零点。e a综上，实数a的取值围是(0,1)。 16分(注：In x x 1的证明过程，同学不妨自己证明书写)20.解：(1)由已知可得：a1,a3,a8成等比数列，所以 2d)_ a1(a1 7d)，_a 4整理得：4d3a1d，因为d 0，所以;4分d 3_(2)设数列kn为等比数列，则k_1

15、水3，又因为ak1 ,ak_, ak3成等比数列，所以务(k1 1)da1 (k3 1)d务(k_ 1)d_,2整理，得a1(2k2k1k3)d(k1k3k2k1k32k2),因为 k2kR，所以 a,2k2k3) d(2k2k3),因为2k2 k1 k3，所以a1 = d，即色=1; 6分d当鱼=1时，an aLd(n l)dnd，所以 aknknd又因为aknn 1a.kjdqn 1,所以 knkLqn 1 ,k所以mkn 1kiqn 1 kiqn 2q(n 2),数列kn为等比数列，综上，当Ol =1时，数列 kn为等比数列； 8分d(3)因为数列kn为等比数列，由(2)知：ai=d , kn kiqn 1 (q 1),因为对于任意nN *，不等式anakn 2kn恒成立,所以不等式naiki ai1 q2k1qn1，所以a12k1qn 1. n 1 ，n kg1即0-a1n2k1qn 1k1qn12k1斗恒成立,q10分F面证明：对于任意的正实数(01)，总存在正整数 m，使得，即证In n1n1 ln qIn因为