新人教A版高中数学选修233.1回归分析的基本思想及其初步应用教案2篇

1、文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑,欢迎下载支持.6word版本可编辑,欢迎下载支持.回归分析的基本思想及其初步应用知识梳理一.线性回归方程的确定,如果一组具有相关关系的数据（N，凹）,（马，为），（玉，尤），作出散点图大致分布在一条直线附近，那么我们称这样的变量之间的关系为线性相关关系（也称一元线性相关），这条直线就是回归直线,记为=法+4.那么如何求得参数。和使得各点与此直线的距离的平方和为最小，即如何求得线性回归方程呢？在所求回归直线方程a=bx+4中，当X取巧时，M=bx+a与实际收集到的数据X之间的偏差为r,偏差的平方为（y_3）2=y_（如+a）F（如图1）.即Q

2、=（上-。尸来刻画出个点与回归直线在整体上的偏差的平方和，显/-I然Q取最小值时的。口的值就是我们所求的：-1JL-1JL其中（X，y）为样本数据，x=-yxr,y=-Yyr为样本平均数，。,丁）称为样本点，n中心，且所求线性回归直线经过样本点中心（，如图2所示）.当回归直线斜率0时,为线性正相关，v0时为线性负相关.应注意，这个最小距离不是通常所指的各数据的点C,）到直线的距离，而是各数八y对于上而参普/ v勺求法原例及方法是简，工的，但是运算攵大，需要将据点（乙,）;）沿平行y轴方向到直线的距离（如图1所示）.Q=二北二4上展亦再合并，然后配方整理,从M求得7方例如上当Kb,【怎样实与时,

3、（。一厂1S7尸+。的值为硬小，显然当“=?/=时最小值内如像这样配方求最值的方法是经常用到隔2线性回归方程中的参数就是这样求出的.教材中用了添项法较为简捷的求出了截距。和斜率分别是使。（,夕）=（凹一夕.一2打取最小值时a./7的值.Z（2）（y）_求得夕=J=,c=的值，请同学们体会其解法.（升-1线性回归方程的确定是进行回归分析的基础.回归分析：是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.1.线性相关关系的强弱Z（Rx）（F-）两个变量之间线性相关关系的样本相关系数r=I衡量线性相、（%茂（“Vr-1/-I性关系的强弱，由于分子与斜率的分子一样，因此，当，（）时，两个变量正相关

4、：当，时两个变量负相关.当，的绝对值接近1,表明两个变量的线性相关性很强：当，的绝对值接近0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.规定当厂0.75时，我们认为两个变量有很强的线性相关关系.2.解释变量与随机误差对预报精度的影响以及残差分析（1）有关概念线性回归模型）E（e）=0,。化）=b其中4和为模型的未知参数：X称为解释变量，y称为预报变量;e叫随机误差。随机误差的估计值为e是y与=bx+a之间的误差，Z称为相应于样本点（,y）的残差（如图3）.图3（2）随机误差的方差估计值衡量回归方程的预报精度1由于随机误差的均值4“）=7自=0，21JL-21人因此，可以用随机误差的方差估计值。=

5、。（为）（其中2J7一22,残差平方和为。而=X（yf-y,）2）衡量回归方程的预报精度，显然J越J-1小，预报精度越高。（3）通过残差分析判断模型拟合效果由6=一）,=一瓦一。计算出残差。2,，。八，然后选取横坐标为文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑,欢迎下载支持.编号、或解释变量或预报变量，纵坐标为残差作出。残差图.通过图形分析，如果样本点的残差较大，就要分析样,本数据的采集是否有错误；另一方面，可以通过残差点分布的水平带状区域的宽窄，说明模型拟合效果，反映回归方程的预报精度.3.相关指数方反应模型的拟合效果2（y-x）1（y-y-3（乂-*rR2=_qh=上三（-）2r

6、-1（1）变量理解：之（-另）2为总偏差平方和，表示解释变量和随机误差产生的总的效应:/-I（）-乂尸为残差平方和，表示了随机误差效应：/-IE（-z）2-S（z-y,）2，表示了解释变量效应./-I（-1（2）模型拟合效果一-,反映了随机误差对预报变量（总效应）的贡献率：X（yyt）2n2（V/-yr）穴2=1_-反映了解释变量对预报变量（总效应）的贡献率;Z（-%）2因此，川越接近1（即个越接近0）,表示回归的效果越好，E（x-y）2j-i即解释变量和预报变量的线性相关性越强.三.非线性回归的问题转化为线性回归问题（1）作散点图确定曲线模型八根据收集的数据作散点图（如图4）,可见两个变量不

7、呈线性相关关系.而是分布在某一条指数函数曲线J=的周围，也可以认为样本点集中在某二次曲线，=G+q的附近.（2）非线性转化为线性这时通过对数变换把指数关系y=q，/变为线性关系z=qx+lnq：通过换元把二次函数），=C3/+Q关系变换为线性关系y=c.t+c4.在这两种情况下就可以利用线性回归模型，建立y和x之间的非线性回归方程了.（3）比较两种模型的拟合效果对于给定的样本点区,.）,（再，%），（%，%），i可以通过转换后的对应，数表作散点图来确定线性回归的拟合情况，判断选用哪一种曲线模型较为合适；ii可以地过原始数据及y和戈之间的非线性回归方程列出残差对比分,析表，般通过残差平方和比较两

8、种模型的拟合效果，显然残差平方和较小的拟合效果较好；iii还可以用A?来比较两个模型的拟合效果，改越大（越接近1）,拟合效果越好。回归直线方程的推导设x与y是具有线性相关关系的两个变量,且相应于样本的一组观测值的n个点的坐标分别是:（斗,）,（，为），。3，丁3）一，区，先），下面给出回归方程的推导。设所求的.回归方程为卞=反1+，其中是待确定的参数，那么：y,=bxi+a,=样本中各个点的偏差是升_4=力一（如+a）,（/=1,2,3,）显然，上面的各个偏差的符号有正、有负，如果将他们相加会相互抵消一部分，因此他们的和不能代表n个点与回归直线在整体上的接近程度，而是采用n个偏差的平方和。来表

9、示n个点与相应直线（回归直线）在整体上的接近程度。即。=f（y-22=W（另-如F-I/-I=（乃一法-Of+（0_以2_。）2+（乃一泣3_尸+（求出当。取最小值时的“力的值，就求出了回归方程。（一）先证明两个在变形中用到的公式：公式（1）t（七-于=七Xj-/I其中、+工r-1/-I因为Z(七一X)=(，X)+(，2XT+Xr-1)*7c-(M+X)+X”)-2)2、一一=x+*一=+nx=(xj+*+x,)-2x+x=(xj+x22+玉2)x=Zx；-nx所以Z(Xjx)2=Z%2一X/-Ir-1r-1公式(2)Z(%-x)(F-y)=Z一r-1i-l因为Z（*一X）（Y一）=（占一X）

10、（）-）+（X2-X）（）2-y）+（X“一X）（左一y）r-1=(xiyi+x2y2+-+xljJ-(xiy+yx+x2y+y2x+xny+ynx)+nxy=Z苍一(&+w+%)y+(y+为+%)2+nxyr-1(X+x)+x)()+)、+.,+%)一】=yX.其一n=y+-x+nxyMnn=Zxr-2nxy+nxy=工若男一所以Z8，一幻(一)=Z玉一工)r-1r-1r-1r-1(二)推导：将。的表达式的各项先展开，再合并、变形=()/+)1+,+V：)T2)，(如+a)+2y2(bx2+4)+2y(bx+a)+(bx+a)2+(bx2+a)2+(bxn+a)2展开=Wy：+2,必%+/以

11、b为同类项，合并/-IJ-lJ-1Z-1nzyz.=/_2(上一一b上)+/X：_2bfXr.M+,vr.2一以a,b的次数为标准整理nr-1r-lj-1=na2-2“G-bx)+b2V-2/7x4+才一将数据转化为平均数KJJ-1/-!/-I=na-（y-bx）2-n（y-bx）2+Xxr?-2/?Xxr+Z一一配方法r-lr-1/-I=na-（y-bx）1-ny+Inbxy-/x-a;2-2bs$j+Z/展开z-ii-i-i=a-（y-x）+（之为2个）一2（七凹一工），）+（台）/一）整理/-IN1-1用公式（一）、（二）变形=/4_（y_bxy+（X,.-x）2b2-2/7-+2；（yr.-）2一一配方M刀七-幻？NJ-1在上式中，共有四项，后两项与a,b无关，为常数：前两项是两个非负数的和，因此要使得。区的鼠小值，当且仅当前两项的值都为0。所以a = y-bx七（七） b = J=- （菁7尸 r-1（一）、（二）变形得 （三）总结规律:a=y-bxn或记一L用公式T-/-I上述推倒过程最闱绕着待定总数a,b进行的，只含有4升的部分是常数或系数，用到的方法有（1）配方法，有两次配方，分别是a的二次三项式和b的二次三项式：（2）变形时，用到公式（一）