初一数学下平行线精讲

1、1初一数学寒假培优训练一初一数学寒假培优训练一（余角（余角, ,补角以及三线八角补角以及三线八角, ,平行线的判定）平行线的判定）一、考点讲解：一、考点讲解：1余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角2补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角3对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角4互为余角的有关性质： 1 2=90，则1.2 互余反过来，若1，2 互余则1+2=90同角或等角的余角相等，如果l 十2=90 ，1+ 3= 90，则 2= 35互为补角的有关性质：若A +B=180则A.B 互补，反过来，若A.B 互补，则A+B18

2、0同角或等角的补角相等如果A C=180，A+B=180，则B=C6对顶角的性质：对顶角相等二、互为余角二、互为余角. .互为补角互为补角. .对顶角比较对顶角比较项目定义性质图形互余角两个角和等于（直角）909021同角或等角的余角相等互补角两个角和等于（平角）18018021同角或等角的补角相等对顶角两直线相交而成的一个角两边分别是另一角两边反向延长线对顶角相等21三、经典例题剖析：三、经典例题剖析： 例例 1 1如图所示，AOB 是一条直线，问图中互余的角有哪几对？哪些角是90,90DOEAOC相等的？ （例 1） 121212ABEOCD12342练习：练习： 1. 如图所示，AOE

3、是一条直线，则90CODAOB （1）如果那么 ，= 。,30123 （2）和互为余角的角有 和相等的角有 11例例 2 21 和2 互余，2 和3 互补，1=63，3=_ _ （练习 1）练习：练习： 1. 如果一个角的补角是 150 ，那么这个角的余角是_ 2. 1 和2 互余，2 和3 互补，3=153，l=_ 例例 3.3. 若l=22，且1+2=90则1=_，2=_练习：练习： 1. 一个角等于它的余角的 2 倍，那么这个角等于它补角的（ ） A.2 倍B.倍C.5 倍D.倍2151 2. 已知一个角的余角比它的补角的还少，求这个角。1354四、巩固练习：四、巩固练习： 1_的余角相

4、等，_的补角相等2.一个角的余角（ ） A.一定是钝角 B.一定是锐角 C.可能是锐角，也可能是钝角 D.以上答案都不对3下列说法中正确的是（ ）A两个互补的角中必有一个是钝角 B一个角的补角一定比这个角大 C互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角 D相等的角一定互余5若两个角互补，则（ ） A.这两个都是锐角 B.这两个角都是钝角 C.这两个角一个是锐角，一个是钝角 D.以上结论都不对6一个角的余角比它的补角的九分之二多 1，求这个角的度数7下列说法中正确的是（ ） A.相等的角是对顶角B.不是对顶角的角不相等 C.对顶角必相等D.有公共顶点的角是对顶角8三条直线相交于一点，所成对顶角有（

5、 ） A.3 对B.4 对C.5 对D.6 对9下列说法正确的是（ ） A.不相等的角一定不是对顶角B.互补的两个角是邻补角3 C.两条直线相交所成的角是对顶角D.互补且有一条公共边的两个角是邻补角10.如图 l21，直线 AB，CD 相交于点 O，OEAB 于点 O，OF 平分AOE， 11530 ，则下列结论中不正确的是（ ）A2 =45 B1=3 CAOD 与1 互为补角 D1 的余角等于 753011为下面推理填写理由。（1）互为余角（已知） ，（ ） ,90（2）如图所示，AB.CD 相交于点 O（已知） ，（ ）21（3）（已知） ，（ ）32, 2131（4），（已知） ，A=B

6、（ ） （11 题）90CA90CB五五. .关于同位角关于同位角. .内错角和同旁内角内错角和同旁内角1 1共同点：都是两条直线被第三条直线所截得到的不具有共公顶点的两个角之间的关系，这两个角有一共同点：都是两条直线被第三条直线所截得到的不具有共公顶点的两个角之间的关系，这两个角有一条边在同一直线上。条边在同一直线上。2 2不同点：同位角在两条直线的不同点：同位角在两条直线的“同方同方” ，第三条直线的，第三条直线的“同侧同侧” ， （简称：位置相同的角，形状呈（简称：位置相同的角，形状呈“F”“F”字形）字形） 。 内错角的两条直线内错角的两条直线“内侧内侧” ，第三条直线，第三条直线“两

7、旁两旁” （位置错开，形状呈（位置错开，形状呈“Z”“Z”字形）字形） 。 同旁内角在两直线之间，第三条直线同旁内角在两直线之间，第三条直线“同旁同旁” （形状呈（形状呈“C”“C”字形）字形） 。 另外注意：寻找另外注意：寻找“三线八角三线八角”关键是找准截线，截线是公共边所在的那条直线。关键是找准截线，截线是公共边所在的那条直线。六六. .角位置的确定巩固练习：角位置的确定巩固练习：1如图 1 所示，直线 a，b，c 两两相交，共构成 对对顶角。2如图 2，能与1 构成同位角的角有（ ）A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个3如图 2，能与1 构成同旁内角的角有（ ）A.2 个 B

8、.3 个 C.4 个 D.5 个4如图 3 所示，已知四条直线 AB，BC，CD，DE。 问：1=2 是直线_和直线_被直线_所截而成的_角. 1=3 是直线_和直线_被直线_所截而成的_角.4=5 是直线_和直线_被直线_所截而成的_角.2=5 是直线_和直线_被直线_所截而成的_角.O12ACBD45如图 4 所示，下列各组判断错误的是（ ） （A）2 和3 是同位角 （B）1 和3 是内错角（C）2 和4 是同旁内角 （D）1 和2 是内错角七七. .直线平行的条件（又叫平行线的判定）直线平行的条件（又叫平行线的判定） ； 1 1同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行； 2 2内

9、错角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行； 3 3同旁内角互补，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行； 4 4同时平行于第三条直线的两条直线也互相平行。同时平行于第三条直线的两条直线也互相平行。例例 1 1如图所示，和是什么角？由哪两条直线被什么样的第三条直线所截？和呢？和14232呢？和呢？和呢？41AA2练习：练习： （例 1） 1. 如图所示，根据下列条件：，可以判定那两条直180,BBEDFACBAODA线平行，并说明判定的依据。 （练习 1） （练习 2）2.如图所示，AB.CD 两相交直线与 EF.MN 两平行直线与 EF.MN 两平行直线相交，试问一共可以得到同旁内角多少对？

10、例例 2 2如图，已知B+C+D=360，则 ABED，为什么？练习：练习： 1已知：如图，B1B2=A1A2A3 （即向左凸出的角的和等于向右凸出的角的和） ，求证：AA1BA3 ACEFNMDBABCD1234ABCDE（例 2）AA1A2A3B1B2B（练习 1）52如图所示，已知，试说明，AB 与 EF 有怎样的位10,30,45,25ECDEBCDB置关系？并说说你判断的理由。 （练习 2） 例例 3.3.如图所示，直线 AB.CD 被直线 EF 所截，如果1=2，CNF=BME，那么 ABCD，MPNQ，请说明理由。 练习：练习： 1.如图所示，直线被直线所截，的 3 倍等于是的余

11、角，求证：.ba,c13, 2 1ab （练习 1）2.已知：如图，ADBC，EFBC，1=2，求证：ABGF例例 4 4给下列证明过程填写理由： 已知：如图所示，ABBC 于 B，CDBC 于 C，1=2，求证：BECF 证明：ABBC 于 B，CDBC 于 C,（ ） 1+3=90，2+4=90（ ） 1 与3 互余，2 与4 互余 （ ） 又1=2， （ ） _=_ （ ）BECF （ ）练习：练习：已知：如图 2-18，直线 AB.CD.EF 交于点 O，ABCD，1=27求：2，FOB 的度数ABE13CDF24（例 4）123bacABCDFEG12（练习 2）ABCDEF6解：A

12、BCD，（已知）COB=_（ ）1=27（已知） 3=_，3_2（ ）2=_（ ）2+FOB=_（ ）FOB=_八八. .巩固练习巩固练习1下列说法正确的是（ ） A.同位角相等B.同旁内角互补 C.若，则互补 D.对顶角相等1803213, 2, 12同一平面内有三条直线，若，则与（ ）cba,cbba ,ac A.平行B.垂直C.相交D.重合3一个人从 A 点出发向北偏东方向走了 4m 到 B 点，两从 B 点向南偏西的方向走了 3m 到 C 点，6015那么等于（ ）ABC A. B. C. D.45751051354如图 2-11，直线 AB.CD 相交于 O 点，AOD 与BOD 叫

13、做_角；AOD 与BOC 叫_角；若AOD=2BOD，则BOD=_度，AOC=_度5.如图 2-14，直线 AD.BC 被 CE 所截，C 的同位角是_，同旁内角是_；1 与2 是_._被_所截得的_角；AB.CD 被 AD 所截，A 的内错角是_，A 和ADC 是_角；AB.CD 被 BD 所截，_和_是内错角6.如图 2-15，AOOC，OBOD1_2（ ）7.已知：如右图，FEAB，CDAB，1=2，求证：AGD=ACB。8已知：如图 2-17，COD 是直线，且1=3，说明 A.O.B 三点在一条直线的理由可以写成：COD 是一条直线（ ） 7 1+2=_（ ）1=3（ ） _3=_

14、A,O,B 在一条直线上初一数学寒假培优训练二初一数学寒假培优训练二（平行线的性质）（平行线的性质）一一.知识点讲解知识点讲解:平行线的特征平行线的特征1两直线平行，同位角相等。2两直线平行，内错角相等。3两直线平行，同旁内角角互补。例例 1 如图所示，ABCD，ACBD。分别找出与1 相等或互补的角。 （例 1）练习：练习： 1如图 246，两条直线被第三条直线所截，则 ( )A.同位角必相等 B内错角必相等 C.同旁内角必互补 D同位角不一定相等 2如图 247，DEBC，DFAC在图中和C 相等的角有 ( )A1 个 B2 个 C. 3 个 D4 个例例 2 如图，ABCD，B=D， ，

15、比较A 和C 的大小，你是怎样推论的？（例 2）练习：练习： 1. 如图 254，若 ABEF，BCDE，则E+B=_.2. 如图 255，已知1=2，BAD=57，则B=_.3. 如图 256 所示，CD 平分ACB，DEBC，AED=70，则EDC=_.CABD1ABCD12例例 3 如图，ABCD，求证：EAC (例 3)练习：练习：1如图 258，ABCD，则1+A+B=_.2完成下列推理：如图 259，已知1=36，C=74，B=36，求4 的度数 1= _ =36， _ ( ) 4=_=_( ) 3. 如图 243，求证：三角形的内角和等于 180例例 4 如图，已知 ABCD，B

16、AE40，ECD62，EF 平分AEC求AEF 的度数 （例 4）13练习：练习：1.如图 252 所示，ABCD，1=50，则2=_.2.如图 253，ABD=CBD，DFAB，DEBC,则1 与2 的大小关系是_. 例例 5 如下图，已知 CBAB，点 E 在 AB 上，且 CE 平分BCD，DE 平分ADC，EDCDCE90求证：DAAB （例 5）练习：练习：1.已知：如图 260，1=2，C=D求证：A=F 2.如图 261 所示，已知直线 MN 分别与直线 AB.CD 相交于 E.F，ABCD，EG 平分BEF，FH 平分CFE求证：EGFH例例 6 如图 237，ABCD，直线

17、EF 分别交 AB.CD 于正.F，EG 平分BEF，若1=72，则2=_度练习：练习： 14如图 264 所示，已知 MNAB，垂足为 G，MNCD，垂足为 H，直线 EF 分别交 AB.CD 于G.Q，GQC=120求EGB 和HGQ 的度数点拨：点拨：(1)聪明的同学会问：过 A 点作 EFBC，可达到证明的目的；那么过 B 点或 C 点作平行线是不是也可行?均可行这就是思维的灵活性；(2)让思维飞扬起来：本题可以推广吗?可以三边形(即三角形)的内角之和为 180；四边形的内角和为 2180(如图 244)；五边形的内角和为 3180；n 边形的内角和为(n-2)180(n 边形可以分为

18、(n-2)个小三角形的内角和)二：巩固训练二：巩固训练1下列说法正确的是 ( )A两条平行线被第三条直线所截，那么有 3 对内错角相等 B平行于同一直线的两直线平行C垂直于同一直线的两直线垂直 D两直线被第三条直线所截，同位角相等 2.两条平行线被第三条直线所截，其同位角的平分线可以组成 ( )A.2 条平行线，2 个直角 B. 2 条平行线，4 个直角 C.2 组平行线，4 个直角 D.2 组平行线，16 个直角3.如图 248，ABFF，CDEF，1=F=45，那么与FCD 相等的角有 ( )A1 个 B2 个 C. 3 个 D4 个4如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另一个角的

19、3 倍少 20，那么这个角的度数是 ( )A.50或 130 B.60或 120 C65或 115 D.以上都不是155如图 249 所示，如果 ADBC，则：1=2；3=4；1+3=2+4上述结论中一定正确的是 ( )A.只有 B.只有 C.和 D.6如图 250，直线 a 与 b 相交，直线 c 与 d 平行，图中内错角共有 ( )A48 对 B24 对 C16 对 D8 对7如图 2-51 所示，ABCD，ACBD，下面推理不正确的是 ( ) AABCD(已知)，5=A(两直线平行，同位角相等)BABCD(已知)，3=4(两直线平行，内错角相等)CABCD(已知)，1=2(两直线平行，内

20、错角相等)DACBD(已知)，3=4(两直线平行，内错角相等)8如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角只能 ( )A相等 B互补 C 相等或互补 D相等且互补9若两条平行线被第三条直线所截，则同旁内角的平分线相交所成的角的度数是_.10若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角_.11如图 257，DHEGBC，DCEF，则与1 相等的角有_个 12已知：如图 262，ACDE，DCEF，CD 平分BCA求证：EF 平分BED【综合能力训练综合能力训练】13若两条平行线被第三条直线所截，则一对同位角的平分线的位置关系是（）A相交 B平行 C垂直 D不能确定14若两条

21、平行线与第三条直线相交，那么一组内错角的平分线互相（）A平行 B相交 C垂直 D重合15如下图，DHEGBC，且 DCEF，那么图中与BFE 相等的角（不包括BFE 本身）的个数应是（）16A2 个 B4 个 C5 个 D6 个 （15 题） （16 题）16如上图，已知 ABCD，ADBC，B50，EDA60，则CDO_17如下图，已知 CD 平分ACB，DEBC，AED50，求EDC 的度数 （17 题）18如下图，已知 ABDF.DEBC，B65，求BOE.D 的度数 （18 题） 初一数学寒假培优训练三初一数学寒假培优训练三（平行线性质及几何推理语言专题训练）平行线性质及几何推理语言专

22、题训练）一一. .平行线的性质平行线的性质 【性质定理性质定理】1.1.平行线的性质一：平行线的性质一： 。2.2.平行线的性质二：平行线的性质二： 3.3.平行线的性质三：平行线的性质三： 【推理语言训练经典例题推理语言训练经典例题】ABCDE17例例 1 1 已知：如图，ADE=60，B=60，C=80。问AED 等于多少度？为什么？ 答： AED= 。理由： ADE=B=60 （已知） DE/BC （ ） AED=C ( ) (例 1)C =80 AED= 。练习：练习：1.如图：（1） ADBC（已知） B+ =1800（ ） ；（2）1= （已知） （ ） ； 2.如图，已知1=13

23、50,8=450,直线 a 与 b 平行吗?说明理由：（1）1=1350 (已知) 2= 2= ab（ ）（2）8=450（已知） 6=8=450 （ ） + =1800 ab （ ）例例2 2 已知：如图，1=ABC=ADC，3=5，2=4，ABC+BCD=180。(1)1=ABC(已知)AD ( )(2)3=5(已知)AB ( )(3)2=4(已知) ( )(4)1=ADC(已知)ABCD1234518 ( ) （例 2）(5)ABC+BCD=180（已知） ( ) 练习：练习： 1.1. 如图：（1） EFAB， （已知） 1= （ ） ；（2） 3= （已知） ABEF （ ） ；（3

24、） A= （已知） ACDF （ ） ；（4） 2+ =1800（已知） DEBC （ ） ；（5） ACDF（已知） 2= （ ） ；（6） EFAB（已知） FCA+ =1800（ ）2 2下列说法错误的是( )A. 内错角相等，两直线平行 B. 两直线平行，同旁内角互补C. 相等的角是对顶角 D. 等角的补角相等3.一个角的余角是 46,这个角的补角是( )A.134 B.136 C.156 D.144例例 3 3 如图：(1)A= （已知）ACED( )(2)2= (已知)ACED( )(3)A+ =180(已知)ABFD( ) （例 3）ABCDEF12319(4)AB (已知)2+

25、AED=180( )(5)AC (已知)C=1( )练习：练习：1.如图:BE平分ABC（已知）1=3（ ）又1=2(已知)_=2_（ ） （练习 1）AED=_（ ）2.如图 4，已知ABDE，A=150，D=140，则C的度数是（ ）A.60 B.75 C.70 D.503.若两条平行线被第三条直线所截，则同一对同位角的平分线互相 （ ）A.垂直B.平行C.重合D.相交 （练习2） 例例 4 4 如图，ab，1=122，3=50，求2 和4 的度数。 （例 4） 练习：练习：1.如图，直线 a 与 b 平行，1(3x+70),2=(5x+22),求3 的度数。4321ba32lab4 42

26、0 （练习1） 2.如图，已知ABCD，BCDE，那么B+D=_.3.如图,已知CE是DC的延长线，ABDC，ADBC，若B=60，则BCE=_，D=_，A=_. （练习 2） （练习 3）【巩固练习巩固练习】1如图，ABCD，1102，求2.3.4.5的度数，并说明根据？2如图，EF过ABC的一个顶点A，且EFBC，如果B40，275，那么1.3.C.BACBC各是多少度，为什么？3.如果A3518，那么A 的余角等于；4.一个角的补角比这个角的余角大度；5.推理填空，如图B；ABCD（） ；DGF；CDEF（） ；ABEF；B180（） ；【综合训练综合训练】1如图1示，AOB=90，CO

27、D=90，则AOD与1的关系是 ，AOD 与BOC 的关系是 ，理由是 。图11DCBAO212.如图 2，直线 AB 与 CD 交于点 O，指出图中的一对对顶角 ，如果AOC=40那么BOD= 。3.如图 2，AOC 与AOD 互补，BOD 与AOD 互补，则可得AOC=BOD，这是根据 。4.如图 3，1 的同位角是 ，1 的同旁内角是 ，1 的内错角是 。5.如图 3，已知 ab。若1=43，则6= ，理由是 ； 若4=128，则7= 。 6.如图 4 是一条街道的两个拐角ABC 与BCD 均为 140，则街道 AB 与 CD 的关系是 ，这是因为 。7.已知一个角等于它的余角的一半，则

28、这个角的度数是 。8.一对邻补角的平分线的夹角是 度9.已知:如图,1=2,则有( )A.ABCD B.AEDF C. ABCD 且 AEDF D.以上都不对 10.如图 5,直线 AB 与 CD 交于点 O,OEAB 于 O,图1 与2 的关系是( )A.对顶角 B.互余 C.互补 D 相等11. 下列说法正确的是( ) 图 5 A.相等的角是对顶角 B.一对同旁内角的平分线互相垂直C.对顶角的平分线在一条直线上 D.同位角相等12.如图 6，直线 ab，若1=118，则2=_. 图 613.如图 7，直线 AB 与 CD 平行吗？说明理由。图2ODCBAba7654321图3图4ABCD7

29、070CDBAC21EDBA22ABCDEF 图 714.如图 8，已知 ABAB，BCBC，那么B 与B有何关系？为什么？ 图 815.如图 9 已知 ABCD，且B=40，D=70，求DEB 的度数。（提示：过 E 作 EFAB） 图 916.如图 10，已知，试判断与的关系，并说明你的理由ABBCBCCD12BECF17.如图 11，问吗？为什么？46BAF 136ACE CECDCDAB 初一数学寒假培优训练四初一数学寒假培优训练四（平行线的判定与性质综合训练专题）（平行线的判定与性质综合训练专题）C1B1CBA图 10图 1123 一一 平行线的判定平行线的判定一一. .填空填空1如

30、图 1，若A=3，则 ； 若2=E，则 ；若 + = 180，则 2若 ac，bc，则 a b3如图 2，写出一个能判定直线 ab 的条件： 4在四边形 ABCD 中，A +B = 180，则 （ ） 5如图 3，若1 +2 = 180，则 。6如图 4，1.2.3.4.5 中， 同位角有 ； 内错角有 ；同旁内角有 7如图 5，填空并在括号中填理由：（1）由ABD =CDB 得 （ ） ；（2）由CAD =ACB 得 （ ） ；（3）由CBA +BAD = 180得 （ ） 8如图 6，尽可能多地写出直线 l1l2的条件： 9如图 7，尽可能地写出能判定 ABCD 的条件来： 10如图 8，

31、推理填空：（1）A = （已知） ，ACB41235图图 4abcd123图图 3ABCED123图图 1图图 243215ab123AFCDBE图图 8 8ADCBO图图 5 5图图 6 651243l1l2图图 7 754321ADCB24 ACED（ ） ；（2）2 = （已知） ， ACED（ ） ；（3）A + = 180（已知） ， ABFD（ ） ；（4）2 + = 180（已知） ， ACED（ ） ；二二. .解答下列各题解答下列各题11如图 9，D =A，B =FCB，求证：EDCF 12如图 10，123 = 234， AFE = 60，BDE =120，写出图中平行的直

32、线，并说明理由 13如图 11，直线 AB.CD 被 EF 所截，1 =2，CNF =BME。求证：ABCD，MPNQ 二二 平行线的性质平行线的性质EBAFDC图图 9132AECDBF图图 10F2ABCDQE1PMN图图 1125一一. .填空填空1如图 1，已知1 = 100，ABCD，则2 = ，3 = ，4 = 2如图 2，直线 AB.CD 被 EF 所截，若1 =2，则AEF +CFE = 3如图 3 所示（1）若 EFAC，则A + = 180，F + = 180（ ） （2）若2 = ，则 AEBF（3）若A + = 180，则 AEBF4如图 4，ABCD，2 = 21，则

33、2 = 5如图 5，ABCD，EGAB 于 G，1 = 50，则E = 6如图 6，直线 l1l2，ABl1于 O，BC 与 l2交于 E，1 = 43，则2 = 7如图 7，ABCD，ACBC，图中与CAB 互余的角有 8如图 8，ABEFCD，EGBD，则图中与1 相等的角（不包括1）共有 个二二. .解答下列各题解答下列各题9如图 9，已知ABE +DEB = 180，1 =2，求证：F =G 图图 12431ABCDE12ABDCEF图图 212345ABCDFE图图 312ABCDEF图图 4图图 51ABCDEFGH图图 712DACBl1l2图图 81ABFCDEG图图 6CDF

34、EBA图图 912ACBFGED26G321FEDCBA10如图 10，DEBC，DDBC = 21，1 =2，求DEB 的度数11如图 11，已知 ABCD，试再添上一个条件，使1 =2 成立（要求给出两个以上答案，并选择其中一个加以证明） 12如图 12，ABD 和BDC 的平分线交于 E，BE 交 CD 于点 F，1 +2 = 90求证：（1）ABCD； （2）2 +3 = 9013.如图 13，EFAD,1=2,BAC=70.将求AGD 的过程填写完整. 解: 因为 EFAD, 所以2=_(_) 又因为1=2 所以1=3(_) 所以 AB_(_) 所以BAC+_=180(_) 图图 1

35、313 因为BAC=70 所以AGD=_.图图 1112ABEFDCC图图 12123ABDF2714. 如图 14，已知EFB+ADC=180，且1=2，试说明 DGAB. 图图1415. 如下图15,直线AB,CD相交于O点,OMAB. (1)若1=2,求NOD; (2)若1=14BOC,求AOC与MOD. M N 1 O A B D C 2 图图151516.如图16，已知：ABCD，AE平分BAC，CE平分ACD，请说明：AECE。. A B D C E 图图 1617. 如图 17，已知，求的度数ABCD1256EFD EGD图 1728HPGFEDCBA初一数学寒假培优训练五初一数

36、学寒假培优训练五（认识三角形）（认识三角形）一、主要知识点：一、主要知识点：1三角形的分类 三角形按边分类可分为_和_(等边三角形是等腰三角形的特殊情况)；按角分类可分为_._和_， 2一般三角形的性质 (1)角与角的关系：三个内角的和等于_；三个外角的和等于_；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何个和它不相邻的内角，_。 (2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 (3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，_边对等角；等角对等_。 (4)三角形的主要线段的性质(见下表)：名称基本性质角平分线三角形三条内角平分线相交于一点（内心） ；内心到三角形三

37、边距离相等；角平分线上任一点到角的两边距离相等。中线三角形的三条中线相交于一点。高三角形的三条高相交于一点。边的垂直平分线三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心） ；外心到三角形三个顶点的距离相等。 3.几种特殊三角形的特殊性质 （1）等腰三角形的特殊性质：等腰三角形的两个_角相等；等腰三角形_._中线和_是同一条线段，三线合一；这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。 （2）等边三角形的特殊性质：等边三角形每个内角都等于_； 三线合一（3）直角三角形的特殊性质：直角三角形的两个锐角互为_角； 4. 三角形的面积一般三角形：S = a h（ h 是a边上的高 ）21二、典型例题二、典型例题例

38、例 1 1 如图,AC/DF，GH是截线.CBF=40, BHF=80.求HBF, BFP, BED.BEF 的度数。29 (例 1)练习：练习：1.在ABC 中， A50，B，C 的角平分线相交于点 O，则BOC 的度数是( ) A 65 B 115 C 130 D 100 2.如图，已知在ABC 中，AB=AC，A=40，ABC 的平分线 BD 交 AC 于 D.求：ADB 和CDB 的度数.例例 2 2 （ 练习 2）在ABC 中，已知B = 40，C = 80，则A = （度）在ABC 中，A = 60，C = 50，则外角CBD = 。已知，在ABC 中， A + B = C，那么A

39、BC 的形状为（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.以上都不对下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A.3cm，4cm，8cm B.5cm，6cm，11cm C.5cm，6cm，10cm D.3cm，8cm，12cm如果一个三角形的三边长分别为x，2，3，那么x的取值范围是 。小华要从长度分别为 5cm.6cm.11cm.16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ _.已知等腰三角形的一边长为 6，另一边长为 10，则它的周长为 在ABC 中，AB = AC，BC=10cm,A = 80，则B = ，C = 。BD=_,CD=_如图

40、，AB = AC，BC AD，若 BC = 6，则 BD = 。画一画画一画 如图，在如图，在ABCABC 中：中：（1 1）画出）画出CC 的平分线的平分线 CDCD（2 2）画出）画出 BCBC 边上的中线边上的中线 AEAE（3 3）画出）画出ABCABC 的边的边 ACAC 上的高上的高 BFBF练习：练习： 1.已知在ABC 中，A+B=107，则C 的外角度数为_ _2.若 AD 是ABC 的高，则ADB = （度） 。3.若 AE 是ABC 的中线，BC = 4，则 BE = = BA304.若 AF 是ABC 中A 的平分线，A = 70，则CAF = = (度)。例例 3 3

41、ABC 中，C=90，B-2A=30，则A= ，B= 在等腰三角形中，一个角是另一个角的 2 倍，求三个角？_ 在等腰三角形中，周长为 40cm，一条边是另一条边的 2 倍，求三条边的长？_练习：练习：1. .等腰三角形中，一个角为 50，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）A.150 B.80 C.50或 80 D.70 2.在ABC 中，A：B：C = 1:2:3，C = 。3.ABC 中，BO.CO 分别平分ABC.ACB 若A=70，则BOC= ；若BOC=120，A= 。 例例 4 4 在ABC 中，A 是B 的 2 倍，C 比A 与B 的和大 12，求这个三角形的三个内角的度数练习

42、：练习：1在ABC 中，A：B：C=1：2：3，则ABC 是（ ） A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不能确定形状2.如图 2，1.2.3 是ABC 的外角，若1：2：3=4：3：2，则ABC 等于（ ）A60 B80 C90 D100例例 5 5 如图，求A+B+C+D+E 的度数 练习：练习： （例 5）1.1. 如图 1，在ABC 中，与ACB 相邻的一个外角等于 110，A=40，则B 的度数是（ ）A30 B50 C60 D7031 图 1 图 2 图 32.如图 2，试求A+B+C+D+E+F 的度数3.已知如图 3，A.B.C.D.E 五个角的和的度数是（ ）A100

43、B180 C360 D5404.如图 4，1+2+3+4= 度；例例 6 6 如图，试说明A+ABC+C=ADC练习：练习： （例 6） 1.如图，已知B=ACB=75，BDE=3E，试求ADE 的度数 （练习 1）2.如图，在四边形 ABCD 中，B=70，C=50，在顶点 D的一个外角为 100，则在顶点 A 的一个外角x=_ （练习 2）三、巩固练习三、巩固练习1如图 1，如果123，则 AM 为_ _的角平分线，AN 为 _ 的角平分线。322.ABC 中，BC = 12cm，BC 边上的高 AD = 6cm，则ABC 的面积为 。3.直角三角形的一锐角为 60，则另一锐角为_ 。4.

44、等腰三角形的一个角为 45，则顶角为_ 。 图 15.如图 2，用“”连结A,1,2：_ _ 6.已知在ABC 中，若A 比B 大 20，外角ACD=96，则A= _，B=_ 7如图 3，则与的关系是（）ADBCDEABCDEBAD互余互补相等不能确定 图 28.如图 4，已知B=C，ADBC，求证：AD 是EAC 的角平分线。9.如图 5，ABC 中，D 为ABC 内一点，已知BDC=100，1=30，2=20，求A 的度数 图 510.如图 6，已知，在MNG 中，ABCD，EMB=50，MN=MG，求FMG 的度数。 图 62C3NMB1A图 3图 433 初一数学寒假培优训练六初一数学

45、寒假培优训练六（三角形全等的判定）（三角形全等的判定）一、知识讲解：一、知识讲解：1.1. 概念理解：概念理解： 两个三角形的形状.大小.都一样时，其中一个可以经过平移.旋转.对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形，2.2.三角形全等的判定公理及推论有：三角形全等的判定公理及推论有：（1） “边角边”简称“SAS” （2） “角边角”简称“ASA”（4） “角角边”简称“AAS” （4） “边边边”简称“SSS”3.3. 全等三角形的性质：全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等,对应边相等。4 4.三角形全等的条件探究三角形全等的条件探究4.14.1 探索：给出一

46、个条件时探索：给出一个条件时（1 1）只给定一条边时(如图中的实线), 由图可知：这三个三角形不全等 （2 2）只给定一个角时夹角(如图中的实线)由画图可知：这三个三角形也不全等 因此，只给出一个条件时，不能保证所画出的三角形一定全等因此，只给出一个条件时，不能保证所画出的三角形一定全等4.24.2 探索：给出两个条件时：探索：给出两个条件时：（1 1）三角形的一个内角为 30，一条边为 3 厘米（如图） 这三个三角形不全等34（2 2）三角形的两个内角分别为 30和 50（如图） 它们看起来的形状一样，但大小不一样（3 3）三角形的两条边分别为 4cm.6cm（如图） 它们也不全等4.34.

47、3 给出三个条件时，有四种可能即：给出三个条件时，有四种可能即：三条边，三个角，两边一角和两角一边下面我们来逐一探索（1 1）已知三角形的三个内角）已知三角形的三个内角如果已知一个三角形的三个内角分别为 40,60,80。 通过比较得知：给出三角形的三个内角，得到的三角形不一定全等（2 2）已知三角形的三条边）已知三角形的三条边 如果已知一个三角形的三条边分别是 4cm，5cm 和 7cm画出这个三角形如图比较可知：这样的所有三角形都是全等的由此可知：已知三角形的三边，则画出的所有三角形都全等结论结论 1 1：三边对应相等的两个三角形全等：三边对应相等的两个三角形全等简写为：“边边边边边边”或

48、或“SSS”“SSS” 如下图35（3 3）已知三角形的已知三角形的“两角一边两角一边” A A如果如果“两角一边两角一边”条件中的边是两角所夹的边条件中的边是两角所夹的边如：三角形的两个内角分别是 60和 80，它们所夹的边为 2cm，我们来画出这个三角形（如图） 已知一个三角形的两个内角及其夹边，那么由此得到的三角形都是全等的由此我们得到了判定三角形全等的另一条件：结论结论 2 2：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等简写为：“角边角角边角”或或“ASA”“ASA” 如图，在ABC 和DEF 中 B B如果如果“两角及一边两角及一边”条件中的边

49、是其中一角的对边条件中的边是其中一角的对边. .36如果 60角所对的边为 3cm 时，画出的图形如下： 如果 45角所对的边为 3cm 时，画出的图形如下结论结论 3 3：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等简称：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等简称“角角边角角边”或或“AAS”“AAS” 如图在ABC 和DEF 中（4 4）已知三角形的两边及一角）已知三角形的两边及一角,有两种情况：两边及这两边的夹角，两边及一边的对角A A如果如果“两边及一角两边及一角”条件中的角是两边的夹角条件中的角是两边的夹角如：三角形的两条边分别为 2.5cm.3.5cm它们的夹角为 40（如图

50、） 37结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等简称简称“边角边边角边”或或“SAS”“SAS” 如图，在ABC 和DEF 中B B如果如果“两边及一角两边及一角”条件中的角是其中一边的对角。条件中的角是其中一边的对角。 按上述条件画的三角形不唯一，存在 不同的三角形满足上述条件，如图由图可知：这两个三角形不全等结论结论 4 4：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等二、整理总结二、整理总结（一）三角形全等的识别方法（一）三角形全等的识别方法38 (图 1)1.如图 1：ABC 与DEF 中 2.如图 1：

51、ABC 与DEF 中 _ABCDEF（ ） ABCDEF（ ）3.如图 1：ABC 与DEF 中 4.如图 1：ABC 与DEF 中 _ABCDEF（ ） ABCDEF（ ）5.如图 2：RtABC 与 RtDEF 中，_=_=90 _RtABCRtDEF（ ） （图 2）（二）全等三角形的特征（二）全等三角形的特征 如图如图 3:3:ABCDEFAB= ，AC= BC= ，（全等三角形的对应边 ）A= ，B= ，C= ； （图 3） （全等三角形的对应边 ）三、典型例题三、典型例题例例 1 1 如图ABCDEF，AB 和 DE，AC 和 DF 是对应边，说出对应角和另一组对应边。 （例 1）39练习：练习： 1. 如图，ABEACD，AB=AC，写出两个全等三角形的对应角与对应边，并问图中是否存在其它的全等三角形。 （练习 1） 2. 如图，ABCDCB，找出图中所有的对应角和对应边。 （练习 2）例例 2 2 如图，AD=AE，D.E 在 BC 上，B