小学六年级数学培优专题训练

1、第1讲数的认识一、夯实基础1.数的意义（4）百分数百分数后面不带计量单位二、典型例题数的认识课堂过关卷一、细心填空1 .用3个0（位数是（和3个6组成一个六位数，只读一个零的最大六位数是）;读两个零的六位数是（）；一个零也不读的最小六）。2.3.个三位小数,四舍五入后得4.80,这个三位小数最大是（若被减数、减数与差这三个数的和为36,那么被减数为（）,最小是（）。4.4 .34% , 一从大到小排序（5.某班男生人数是女生的1122,女生人数占全班人数的（6.甲数比乙数多 25% ,3则乙数比甲数少（)%。7.一个分数的分子比分母少20,约分后是这个分数是（8.2 , 一 . 1 ,写出三个

2、比2小，而比1大的最简分数是（）、（）、（9.3m +5中有(93人1)个_。910.有一个最简真分数，分子和分母的积是36,这个分数最大是11. A+B=60 ,A+B= 2 , A=(),12. ()+(311 ）=12 （填两个分母小于B=(，1112 的分数)()+-)1 一一 一="（填两个不同1可化简成一，2的整数）。2 ，13 . 一个最简分数，若分子加上 1,可以约简为一，右分子减去一,3这个分数是（14 .修一段600米长的路，甲队单独修 8天完成，乙队单独修10天完成。两队合修9（）天完成它的O1015 . 一种商品，先提价 20%,又降价20%后售价为96元，原

3、价为（）元。16 .甲、乙两个数的差是 35.4,甲、乙两个数的比是 5: 2,这两个数的和是（）。17 .有甲、乙、丙三种，甲种盐水含盐量为 4%,乙种盐水含盐量为 5%,丙种盐水 含盐量为6%。现在要用这三种盐水中的一种来加水稀释，得到含盐量为2%的盐水60千克。如果这项工作由你来做，你打算用（）种盐水，取（）千克，加水（）千克。18 .冈表示取数 x的整数部分，比如13.58=13。若x=8.34,则冈+2x + 3x= （ ）。二、选择1 .最大的小数单位与最小的质数相差（）。A.1.1 B.1.9 C. 0.9 D.0.12 . 3.999保留两位小数是（）。A.3.99 B. 4.

4、0 C. 4.00 D. 3.903 .下列四个数中，最大的是（）。A. 101% B. 0.9 C. 008D. 120094 .平均每小时有36至45人乘坐游览车，那么 3小时中有 人乘坐游览车。A.少于100 B. 100与150之间 C. 150与200之间 D. 200与250之间5 .小明所在班级的数学平均成绩是98分，小强所在班级的数学平均成绩是96分，小明考试得分比小强的得分（）。A.高B.低 C. 一样高D.无法确定6 . 一次数学考试，5名同学的分数从小到大排列是74分、82分、a分、88分、92分，他们的平均分可能是（）。A. 75B. 84C. 86D. 937 . 3

5、的分子加上6,如果要使这个分数的大小不变，分母应该（）10A.加上20B.加上6C.扩大2倍 D.增加3倍8 .书店以50元卖出两套不同的书，一套赚10%, 一套亏本10%,书店是（）A.亏本B.赚钱C.不亏也不赚9 .把1克盐放入100克水中，盐与盐水的比是（）。A. 1: 99 B. 1: 100 C. 1 : 101 D. 100: 101110 .甲、乙两个仓库所存煤的数量相同，如果把甲仓煤的调入乙仓一，这时甲仓中4的煤的数量比乙仓少（）。A.50%B.40%C.25%三、星级挑战 1.财会室会计结账时，发现财面多出32.13元钱，后来发现是把一笔钱的小数点点错了一位，原来这笔钱是多少

6、元？2.暑假期间，明明和亮亮去敬老院照顾老人。7月13日他们都去了敬老院，并约好明明每两天去一次，亮亮每3天去一次。（1） 7月份，他们最后一次同去敬老院的日子是（）。（2）从7月13日到8月31日，他们一起去敬老院的情况有（）次。第2讲数的整除一、夯实基础整数a除以整数b （bw。），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说 a能被 b整除，也可以说 b能整除a。如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b 就叫做a的因数。能被2整除的数叫偶数。也就是个位上是0、2、4、6、8的数是偶数。不能被2整除的数叫奇数。也就是个位上是1, 3, 5, 7, 9的数是奇数。一个数如果只有1和它本身两个

7、因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。公因数只有1的两个数或几个数，叫做互质数。几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做最大公因 数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这个数的最 小公倍数。二、典型例题例3.同学们在操场上列队做体操，要求每行站的人数相等，当他们站成 10行、15 行、18行、24行时，都能刚好站成一个长方形队伍，操场上同学最少是多少人？分析：题目要求的是 最少”为多少人，可

8、知操场上的同学数量正好是10、15、18、和24的最小公倍数。解：21015182435159125553413410、15、18和24的最小公倍数是：2 3 X5 M M刈=360答：操场上的同学最少是360 人。数的整除课堂过关卷一、填空1 在 l 至 20 的自然数中， （） 既是偶数又是质数； （） 既是奇数又是合数。2一个数，如果用 2、 3 、 5 去除，正好都能整除，这个数最小是（ ） ，用一个数去除 30 、 40、 60 正好都能整除，这个数最大是（ ） 。3 8 （ ） 5 （ ）同时是 2 ， 3 ， 5 的倍数，则这个四位数为（ ） 。4 一个五位数7口354,如果这个

9、数能同时被 2、3、5整除，那么口代表的数字是（） ， 代表的数字是（）。5从0 、 5、 8 、 7 中选择三个数字组成一个同时能被 2 、 3 、 5 整除的最大三位数，这个三位数是（ ） ，把它分解质因数是： （） 。6把84 分解质因数： 84= （） 。 72 和 54 的最大公约数是（ ） 。7. 12 的约数有（ ） ，从中选出 4 个数组成一个比例是（ ） 。8. 公因数只有（） 的两个数， 叫做互质数， 自然数 a 和 （） 一定是互质数。9. a、b都是非零自然数，且 a书=c, c是自然数，（）是（）的因数，a、 b 的最大公因数是（ ） ，最小公倍数是（ ） 。10.

10、A、B分解质因数后分别是：A=2X3X7, B=2X5X7。A、B最大公因数是（），最小公倍数是（ ） 。11. A=2X2>, B=2XCX5,已知A、B两数的最大公约数是6,那么C是（），A 、 B 的最小公倍数是（ ） 。12. 在括号里填上合适的质数：（）+ （） =21= （） X（ ）。13两个质数的和是2001 ，这两个质数和积是（ ） 。14 45 与某数的最大公因数是15，最小公倍数是180，某数是（） 。15 已知两个互质数的最小公倍数是153 ， 这两个互质数是（） 和（） 。二、解决问题1有两根绳子，第一根长 18 米，第二根长 24 米，要把它们剪成同样长短的跳

11、绳，而且不能有剩余，每根跳绳最长多少米？一共可剪成几根跳绳？2一块长方形木板长20 分米，宽 16 分米。要锯成相同的正方形木板，要求正方形木板的面积尽量大，而且原来木板没有剩余，可以锯成多少块？每块正方形木板的面积是多少平方分米？3汽车站有开住甲、乙、丙三地的汽车，到甲地的汽车每隔15 分钟开出一辆；到乙地的汽车每隔 27 分钟开出一辆；到丙地的汽车每隔 36 分钟开出一辆。三路汽车在同一时刻发车以后，至少需要经过多少时间，才能又在同一时刻发车？三、星级挑战 1.有一行数：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，在前100 个

12、数中，偶数有多少个？ 2 有一堆苹果，如果3 个 3 个的数，最后余2 个，如果 5 个 5 个的数，最后余4 个，如果 7 个 7 个的数，最后余6 个，这堆苹果最少有多少个？第 3 讲 简便运算（ 1）、夯实基础所谓简算，就是利用我们学过的运算法则和运算性质以及运算技巧，来解决一 些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。简便运算中常用的技巧有 “拆”与 “凑” ，拆是指把一个数拆成的两部分中含有一个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千 的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：乘法结合律：

13、a>bxc=ax (bxc) = (axc) xb乘法分配律： ax (b+c) =axb+ a><cax (b c) =axb a><c二、典型例题例 1. (1) 9999X7778 + 3333X6666 765X64X0.5 >2.5 W125分析 (一) ： 通过观察发现这道题中 9999 是 3333 的 3 倍， 因此我们可以把3333和6666分解后重组，即3333 X3 X2222=9999X 2222这样再利用乘法分配律进行简算。解(一)：原式=9999 >7778 + 3333 >3 >2222=9999 >77

14、78+ 9999 )2222=(7778+2222) X9999=99990000分析(二)：我们知道 0.5 2, 2.5 4, 0.125 8均可得到整数或整十数，从而使问题得以简化，故可将64分解成2>4X8,再运用乘法交换律、结合律等进行计算。解(二)： 原式=765 X (2MX8) X0.5 2.5 0.125=765 X (2X0.5) X (4X2.5) X (8X0.125)=765 X1 M0M=7650例 2. 399.6 >91998X0.8分析：这道题我们仔细观察两个积的因数之间的关系，可以发现减数的因数1998是被减数因数399.6的5倍，因此我们根据积

15、不变的规律将399.6 9改写成(399.6 >5) X (95),即1998X1.8,这样再根据乘法分配律进行简算。解：原式=(399.6 a)X (95) 1998 >0.8=1998 M.81998 >0.8=1998 X (1.8 0.8)=1998 M=1998例 3. 654321X123456654322X123455分析：这道题通过观察题中数的特点，可以看出被减数中的两个因数分别比减数中的两个因数少1 和多 1，即 654321 比 654322 少 1， 123456 比 123455 多 1 ，我们可以将被减数改写成(654321 ) X (123455+

16、 1),把减数改写成( X123455,再利用乘法分配律进行简算。解： 原式=654321 X (123455+ 1) ( 654321+ 1) X123455=654321 M23455+ 654321 654321 ¥23455 123455654321 1)=654321 123455=530866三、熟能生巧1. ( 1) 888 >667+444 邓66(2) 9999 X2223333 >6662. ( 1)400.6 7 2003 >0.4(2) 239 X7.2+956 >8.23. ( 1)1989 >1999- 1988 >20

17、00(2) 8642 >2468 - 8644 >2466四、拓展演练1. 1234 >4326 + 2468 >28372.275 M2 + 1650 >23-3300 >7.53.7654321 ¥2345677654322 ¥234566六、星级挑战 1. 315+325+ 335+345 2 . 3333X4+ 5555X5+ 7777X7 3. 99+99X99+99X99X99 4.48.67 67+ 3.2 >486.7+ 973.4 >0.05第 4 讲 简便运算（ 2）一、夯实基础在进行分数的运算时，可以利用

18、约分法将分数形式中分子与分母同时扩大或缩小若干倍，从而简化计算过程；还可以运用分数拆分的方法使一些复杂的分数数列计算简便。同学们在进行分数简便运算式，要灵活、巧妙的运用简算方法。让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：乘法结合律:a>bxc=ax(bxc) = (axc) xb乘法分配律:a x (b + c)=axb+ a><cax (b c)=axb -a><c拆分:(n -1)nn -1(n -k)n k三、熟能生巧2.362 548 361(1)362 548 -186(2)8 + 13 + 9)9711四、拓展演练1.(1) 123 41 (2)3>

19、2.8442.(1)204 584 19911992 584 - 380 143(2)3.2+5 797 99+11 工+31220色+3013423- - (1-6324(96 + 36)732+99 10125155648 50+ -)9X1.42)4X15,21 + (32 127325第 5 讲 简便运算（3）一、夯实基础所谓简算，就是利用我们学过的运算法则和运算性质以及运算技巧，来解决一些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。简便运算中常用的技巧有 “拆”与 “凑” ，拆是指把一个数拆成的两部分中含有一个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千 的数，

20、或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：等差数列的一些公式：项数二（末项首项）一公差+ 1某项=首项+公差X（项数1）等差数列的求和公式：（首项+末项）X数攵二、典型例题例 1 . 2 + 4+6+ 8+ 198+ 200分析：这是一个公差为 2 的等差数列，数列的首项是2，末项是200。这个数列的项数二（末项首项）名差+ 1= （200 2）攵+ 1=100项，如何求和呢？我们先用求平均数的方法：首、末两项的平均数=（2+200）e=101;第二项和倒数第二项的平均数也是（4+98）攵=101依次求平均数，共算了 100次，把这10

21、0个 平均数加起来就是数列的和。即和=（首项+末项）e沏数。解：原式=（2 + 200） 2X100=10100例 2 0.9 9.9 99.9 999.9 9999.9 99999.9分析： 通过观察我们可以发现题目中的 6 个加数都分别接近1 、 10、 100、 1000 、10000、 100000这 6 个整数， 都分别少 0.1， 因此我们可以把这6 个加数分别看成1、10、 100、 1000、 10000、 100000 的整数，再从总和中减去6 个 0.1 ，使计算简便。解：原式=1 + 10+ 100+ 1000+ 10000+ 100000-0.1 /=111111 0.

22、6=1111110.4三、熟能生巧1. 1+3+5+7+ 65+672. 9 99 999 9999 999993. 1120 >122112211221 1221 >112011201120四、拓展演练1. (1) 0.11+0.13+0.15+ 0.97+0.99(2) 8.9 >0.2+8.8 >0.2+ 8.7 >0.2+ 8.1 >0.22. ( 1) 98+ 998+ 9998 + 99998 + 999998(2) 3.9+0.39+ 0.039+ 0.0039+ 0.000393. ( 1) 1234 >432143214321 -43

23、21 >123412341234(2) 2002 >60066006 3003 >40044004六、星级挑战 1.(1) 438.9 >5(2) 47.26 七(3) 574.62 >25(4) 14.758 田.252. (44332443.32) + (88664886.64)3. 1.8 +2.8+3.8 +50.8 4. 2002 1999+1996 1993+ 1990 1987+ 1613+ 10 7 + 4第 6 讲 简易方程一、夯实基础含有未知数的等式叫做方程，求方程的解的过程叫做解方程。解方程是列方程解应用题的基础，解方程通常采用以下策略：对方

24、程进行观察，能够先计算的部分先进行计算或合并，使其化简。把含有未知数的式子看做一个数，根据加、减、乘、除各部分的关系进行化 简，转化成熟悉的方程。再求方程的解。将方程的两边同时加上（或减去）一个适当的数，同时乘上（或除以）一个 适当的数，使方程简化，从而求方程的解。重视检验，确保所求的未知数的值是方程的解。二、典型例题例 1 解方程 4（x 2）15=7x 20分析：先运用乘法分配律将其展开，再运用等式的基本性质合并求解。4 （ x 2）15=7x 20解： 4x 8 15=7x 203x=27 x=9 经检验x=9是原方程的解。 例2.解方程x2= (3x10)芍分析：根据等式的基本性质，将

25、方程两边同乘2和5的最小公倍数，使方程转化为xX5=(3x10) X2再求解。x2= (3x10)也解：x+2M0= (3x10) -5X10x>5= (3x10) X25x=6x 20x-20=0x=20经检验x=20是原方程的解。例 3.解方程 360r360+1.5x=6分析：根据等式性质，将方程左右两边同乘 3x使方程转化后再求解。360 x- 360 T.5x=6解：1080-720=18x18x=360x=20经检验x=20是原方程的解。三、熟能生巧1. 122 (x1) =45x+19=3 (x + 4) +152.(2x+4) T8=28(5.3x 5) =x 83. 7

26、 (x 3) =3 (x+5) + 4x + x3+2x30=180解（1）90 5=9+5=14四、拓展演练2 ，-1. g (x+10) = 61 8 4.5x=3 22 . x+-x =26D -x+7.4=3x+9.2 256.53 . 3 : 18% =20xx _ 152.40.8五、举一反三六、星级挑战 1.解方程：13x4 (2x+5) =17 (x 2) - 4 (2x1)x 1 x -3 3.解万程：=24.解方程：(x 5) =32 (x5)33第7讲定义新运算一、夯实基础同学们，我们都知道四则运算包括加、减、乘、除，我们接触到的运算符号也 无外乎“ 十 ”、“一”、而在

27、升学考试中，经常会出现一些崭新的题目， 这种题目中又出现了新的运算符号，如：。、并赋予它们一种新的运算 方法。这种运算符号本身并不重要，重要的是在题目中，各种运算符号规定了某种 运算以及运算顺序。这种运算非常有趣，同学们，你们想了解吗？这一节我们就来 学习定义新运算。二、典型例题例 1.（1） a©b=a+b,求 95 的值。（2）定义新运算: m0n=mnX2.5。求： 60.4。0.4的值是多少？3510 0.3的值是多少？分析（1）:本题中的新运算符号表示的是求前后两个数的和， 也就是求9与5的和是多少。分析(2):本题中新运算的含义是求前后两个数的商的2.5倍是多少。解(2)

28、: 60.40 0.4=60.4 -0.4 >2.5=151 X2.5=377.5 3510 0.3=351 0.3 2.5=1170 2.5=2925例2.对于任意两个自然数，定义一种新运算a*b= ( a b)也，求34* ( 52*48)值。分析：新运算“ * ”的含义表示：求“ *”前后两数差的一半。本题在计算时，要注意运算顺序，先计算括号内的“ 52*48 ”，再用 34 与“ 52*48 ”的结果在进行一 次这样的运算。解：52*48= (52 48)攵=4 e=2因此 34* (52*48) =34*2= (342)攵=32 e=16。例3.定义两种新运算和"*&

29、quot;,对于任意两个 数x、y,规定xQy=x + 5y, x*y= (x-y) X2 ,求 506+ 3.5*2.5 的值。分析：本题包含两种新运算，第一种新运算表示求前面的数与后面数的 5 倍的和是多少；第二种运算“ * ”表示“ * ”前面的数减去“ * ”后面数的差 的 2 倍是多少。所以可以根据他们各自的含义分别求值再作和。解：50 6=5+ 5 >=353.5*2.5= (3.5 2.5) X2=250 6+3.5*2.5=35 +2=37三、熟能生巧1. (1) a* b=a b,求 45.2*38.9 的值。(2) x、y是两个自然数，规定 xOy= (x+y) X1

30、0,求3。8的值。2.定义一种新运算“”，规定 A©B=2X (A+B),求0.6© ( 5.40 5)的值。3.定义两种新运算我“和 ”，已知2+b=a2+4.1 b, a> b=8+3 (a b),求61 4 2 的值。四、拓展演练1.(1)定义一种新运算W，规定 AXB=4A + 3B5,求(1) 6派 9 (2) 9X6。(2)定义一种新运算,规定 a<b= (3x+y) + 2+x,求： 10.15 15.102. (1)定义新运算“ 3”，规定 m S n= (m-n)登，那么8 S (12 3 2)与12 3 (83 2)是否相等？如果不相等，哪个

31、大？(2)定义一种新运算“ "，已知a® b=5a+10b,求357 + 5$ 8的值。3,定义两种运算" ® ”和“。”，对于任意两个整数a, b, a b=a+b-1,aOb=a>b-1o 计算 40 (6®8) ® (3®5)。五、举一反三六、星级挑战 1.定义新运算 f ,若2派3=2+3+4, 5派4=5 + 6+7+8。求2派(3派2)的值。2.设a、b表示两个数如果 a> b,规定：aO b=3Xa 2Xb;如果avb,规定:aOb = (a+b) X3。求： 9©68082©7

32、3.设a、b表示两个数，a0b=axba+b,已知aO7=37,求a的值。4.设 a、b 表示两个整数，规定：a O b=a+ (a+1) + ( a+ 2) + ( a+ 3)+ + ( a+b-1),求 1O100 的值。第8讲巧求面积（1）、夯实基础小学数学教材中学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等基本图形面积的计算方法。常用的面积公式如下:止方形边长长S=a2长方形长S=ab平行四边形底加S=ah三角形底及S=aK2梯形（上底+下底）葬?受S=(a+b)h 攵在实际应用过程中，我们除了掌握切分、害U补、做差等一些基本的几何解题思 想外，还要掌握等量代换、妙用同底等一些有

33、难度的解题方法。二、典型例题例1.两个相同的直角三角形如图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。分析：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而 a它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因 为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形 DOC 后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形 OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯行形OEFC的面积。 解：直角梯形 OEFC的上底为：10-3=7 （厘米）， 直角才形 OEFC的面积为（7+10） X2及=17 （平方厘米）。 答：阴影部分的面积是 17平方厘米。例2.如图，平行四边形 ABCD的边B

34、C长10厘米，直角三角形 ECB的直角边EC 长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。分析：因为阴影部分比三角形 EFG的面积大10平方厘后米，都加上梯形 FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新/图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形 ECB K的面积大10平方厘米。/解：三角形EFG的面积为：10X8妥=40 （平方厘米）。yjZ J平行四边形 ABCD的面积为：40+10=50（平方厘米）。E匚答：平行四边形的面积为 50平方厘米。例3.如图，在三角形 ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为 AB和AC 的中点

35、.那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？分析：由“ E、F分别为AB和AC的中点”可知，AF=CF , AE=BE ,所以三 角形ABF和三角形 CBF是同底等高的三角形，面积相等；三角形AEF和三角形BEF面积也相等，故有 S三角形EBF = 1 S三角形ABF , S三角形ABF= 1 S三角形ABC22解：S三角形ABC =8 >6攵=24 （平方厘米）S三角形ABF= S三角形ABC =一逑4=12 （平方厘米）22S三角形EBF=1S三角形ABF=1X12=6 （平方厘米）22答：三角形EBF的面积是6平方厘米。、熟能生巧1 .如图，两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面

36、积。（单位：厘米）2 .如图，正方形ABCD边长是10厘米，长方形EFGH的长为8厘米，宽为5厘米。阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是多少平方厘米?20平方厘米,中阴影部分的面积是多少?（单位：平方厘米）3 .如图，在三角形 ABC中，DC=2BD , CE=3AE ,阴影部分的面积是 求三角形ABC的面积。四、拓展演练1 .如图，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13, 35, 49,那么图2 .如图，梯形的下底为8厘米，高为4厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米?3 .如图，长方形 ABCD中，AB=24cm, BC=26cm, E是BC的中点，F、G分别是AB、CD的四等分点，

37、H为AD上任意一点，求阴影部分面积。已知等腰直角三角形的五、星级挑战 1.如图，梯形 ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高 8厘米，求三角形BOC的面积比三角形 AOD的面积大多少平方厘米？2.有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。面积是36平方厘米，两个正方形的面积分别是多少？第9讲组合图形面积（2）一、夯实基础不规则图形常由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而 成的，计算时常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转，使之 转化为规则图形的和、差关系，有时要和“容斥原理”合并使用才能解决。计算圆的周长与面积的主要公式有：（1）圆的周长=Tt

38、XK径=2兀耳径，即：C=兀d=2兀r（2）中心角为n的弧的长度二nx叭半径）T80,即：1=n：r180（3）圆的面积二兀半径）2,即：S=Tt r2（4）中心角为n的扇形的面积二刃*兀X半径）2与60,即：S=2nr36011= 1r2二、典型例题例1 .如下图（1）,在一个边长为4cm的正方形内，以正方形的三条边为直径 向内作三个半圆，求阴影部分的面积。(2)分析（一）：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到图（2）。这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面 积相等。所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。分析（二）：将上半个 弧边三角形”

39、从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如图（3）所示。阴影部分的面积是正方形面积的一半。分析（三）：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如图（4）所示。阴影部分的面积是正方形的一半。解：4 >42=16 （平方厘米）例2.如下图，正方形 ABCD的边长为4厘米，分别以 B、D为圆心以4厘米 为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。分析：阴影部分的面积等于两个扇形的面积之和减去正方形的面积。6厘米，求阴影部分的面积。解：S 阴影 =S 扇形 ACB + S 扇形ACD S正方形ABCD=XAB2X2-AB24=X42X2-4243.14 -2-16X=9.12 （平方厘

40、米）。2例3.如下图，两个正方形边长分别是10厘米和(I)分析：阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中的面积之差。而图中（I ）的面积等于边长为、一一 一 1一，一正方形面积减去 1的以6为半径的圆的面积。4解：S阴影=S三角形ACD 一 （ S正方形BCDE - S扇形EBD）112=-（10 6） 6-（6 6 - 6 ）24=40.26 （平方厘米）。三、熟能生巧1.如下图，圆的直径为 8cm,求阴影部分的面积。2 .如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm , 分别以A、B为圆心，以 AC、BC为半径在三角形 ABC 内画弧，求阴影部分的面积。3 .

41、如下图，直角三角形 ABC中，AB是圆的直径，且AB=20 厘米，如果阴影（1）的面积比阴影（2）的面积大7平方 厘米，求BC长。四、拓展演练1 .如下图，三个同心圆的半径分别是2、6、10,求图中阴影部分面积占大圆面积的百分之几？2 .如下图，大正方形的边长为 6厘米，小正方形的边长为 4厘米。求阴影部分的面 积。3.如图，已知直角梯形的上底、下底与高之比是1: 2: 1,和为24厘米。图中阴影甲的面积比阴影乙的面积少多少？五、星级挑战 1.如下图，将直径 AB为3厘米的半圆绕 A逆时针旋转60°,此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取 兀=3.14）。2.求图中的阴影部分的

42、面积。（单位：厘米）第10讲长方体的表面积和体积一、夯实基础长方体和正方体六个面的总面积，叫做它们的表面积。长方体的六个面分为上 下、左右、前后三组，每组对面的大小、形状完全相同；正方体的六个面是大小相 等的六个正方形。长方体的表面积=（长期+宽 滔+长X高）X2正方体的表面积=棱长冲麦长X6物体占空间的大小，叫做物体的体积。容积是指所能容纳物体的体积。一个物 体的容积计算方法与体积计算方法相同，不过体积是从物体外面测量出长度再进行 计算，容积是从物体内部测量出长度再进行计算。通常物体的体积要大于容积，当 厚度忽略不计时，容积就等于体积。长方体体积=长魂加正方体体积=棱长4麦长4麦长二、典型例

43、题例1.一块长方形铁皮长 24厘米，四角剪去边长3厘米的正方形后，然后通过折叠、 焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，铁盒的容积是 486立方厘米。求原来长方形铁 皮的面积。分析：要求原来长方形铁皮的面积，关键要能求出原长 方形铁皮的宽。根据题意，画出示意图，结合空间相像，可 知做成的长方体铁盒的长是 24-3X2=18 (厘米)，高就是剪 下的小正方形的边长，也就是3厘米。又知铁盒的容积是486厘米，这样就可以算出铁盒的宽。铁盒宽并不是原来长 方形铁皮的宽，再加上 3X2=6 (厘米)才是原铁皮的宽。解：长方体铁盒的长：24-3X2=18 (厘米)长方体铁盒的宽：486与勺8=9 (厘米)长方形

44、铁皮的宽：9+3X2=15 (厘米)长方形铁皮的面积：24 M5=360 (平方厘米)答：原长方形铁皮的面积是360平方厘米。235cm,第二条丝带长 445cm, 5cm,求礼盒的体积。例2.如右图，用3条丝带捆扎一个礼盒，第一条丝带长 第三条丝带长515cm,每条丝带的接头处的长度均为 分析：从图中可以看出，在捆扎礼盒的丝带中最长的一根去掉接头的5cm,剩余部分的长度等于长方体长与宽和的2倍。(cm)解：长+宽=(515 5)登= 255 (cm) 长+高=(4455)妥=220 (cm) 宽 + 高=(235 5)妥=115 (cm) 长+ 宽 + 高=(255+ 220+ 115)攵=

45、295 长：295 115= 180 (cm) 宽：295220 = 75 (cm) 高：295255 = 40 (cm)礼盒体积：180>75M0=540000 (cm3) =540 (dm3)答：这个礼盒的体积是 540立方分米。例3.如图(1), 一个密封的长方体玻璃缸长15厘米，水深3厘米。如果把玻璃缸按图(2)放置，里面的水深是多少厘米？(玻璃的厚度忽略不计)分析：长方体玻璃缸中的水的体积没有变化，长也没有变化，只是宽和水深相 应的变化了。解：设容器侧放后水深是 x厘米15X8X3= 15MXXx= 6答：如果把玻壬缸按图（2）放置，里面的水深是 6厘米。、熟能生巧1 .在一个

46、棱长为 5分米的正方体上放一个棱长为 4分米的小正方体（ 个立体图形的表面积。2 . 一个密闭的长方体水箱，长 10分米，宽8分米，高6分米，内装若将长方体的长边竖立起来，水深会是多少分米?3 .右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是 多少？四、拓展演练1 .如图所示是一个棱长 12厘米的正方体，从前住后，有一个“十”字型的洞。字最短边长都是2厘米，求它的表面积和体积？2 .如图，在一块平坦的水泥地上，用砖和水泥砌成一个长方体的水泥池，墙厚为10厘米（底面利用原有的水泥地）。这个水泥池的体积是多少？.Z18 单位:米3 .图中的一些积木是由 16块棱长为2厘米的

47、正方体堆成的，它的表面积是多少平方厘米?五、星级挑战 1. 一个长方形水箱，从里面量长 40厘米，宽30厘米，深35厘米。原来水深10厘米，放进一个棱长20厘米的正方形铁块后，铁块的顶面仍然高于水面，这时水面 高多少厘米?2.有一个棱长是5厘米的正方体木块， 它的表面涂上红油漆。 将这个大正方体木块锯成棱长是1厘米的小正方体，散乱为一堆。在这些小正方体木块中，三面涂红漆的有几块？两面涂红漆、一面涂红漆的各有几块？没有涂上红漆的有几块？第11讲圆柱体的表面积一、夯实基础圆柱体是常见的立体图形。它的表面是由一个侧面（展开是长方形）和两个相 同的圆形底面组成。圆柱从中间竖切成两个半圆柱后，切面是一个

48、长方形；从中间 横切成两个圆柱后，切面是一个圆形。圆柱的表面积二侧面积+两个底面积，即2S表=S侧+ 2S底）S表=2兀rh+2兀r二、典型例题例1 .把一段长20分米的圆柱形圆木沿底面直径剖成相同的两块，表面积增加了 320平方分米，原来这段圆柱形圆木的表面积是多少平方分米？分析：按这种方法，截面是相同的两个长方形，长方形的长是圆柱的高，宽是 圆柱的底面直径。解：长方形面积是 320妥=160 （平方分米）；底面直径：160及0=8 （分米）；侧面积：3.14 >8X20=502.4 （平方分米）；底面积：3.14 X （8受）2=50.24 （平方分米）；表面积：502.4 + 50

49、.24=552.64 （平方分米）答：原来这段圆柱形圆木的表面积是552.64平方分米。例2.有一个圆柱体的零件，高 10厘米，底面直径是 6厘米，零件的一端有一个圆 柱形的直孔，如下图。圆孔的直径是 4厘米，孔深5厘米。如果将这个零件接触空 气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？分析：解题时，既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同时还 要注意到零件的底面是圆环。由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还 要有一个小圆的底面需要涂油漆，这一点不能忽略。但是，我们可以把小圆的底面 与圆环拼成一个圆，即原圆柱体的底面。解：3.14 X （6及）2X2 + 3.14 6X10+3.

50、14 4>5= 3.14 X （18+60 + 20）= 3.14 >98=307.72 （平方厘米）.答：涂油漆面积是 307.72平方厘米。例3.在一棱长为4厘米的正方体的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米,深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后它的表面积是多少？分析：因为正方体的棱长为4厘米，而孔深只有 1厘米，所以正方体没有被打透。这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完 全一样的圆柱的侧面积。解：4必><6+2兀X1X6=133.68 （平方厘米）答：打孔后它白表面积是 133.68平方厘米。三、熟能生巧1 .把一个圆柱体的侧面展开

51、，得到一个边长6.28分米的正方形，这个圆柱体的底面周长是多少分米？底面积是多少平方分米？2 . 一个圆柱体的零件，高 20厘米，底面直径是14厘米，零件的上面有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是 8厘米，孔深12厘米（见右图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米?3.有一个长方体木块，高 20厘米，底面是个长方形，长 30厘米，宽15厘米，上面有一个底面直径和高都是 10厘米的圆柱形的孔，它的表面积是多少平方厘米？四、拓展演练1 .将高都是1米，底面半径分别是1.5米、1米和0.5米的三个圆柱体组成一个物体，求它的表面积。2 .右图是一个零件的直观图。下部是一个棱长

52、为40cm的正方体,上部是圆柱体的一半。求这个零件的表面积。3 .右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？五、星级挑战 1. 一根圆柱形钢材，如图沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体。已知一个剖面的面积是960平方厘米，求原来钢材的侧面积。2.有一张长方形铁皮，如图剪下阴影部分制成圆柱体，求这个圆柱体的表面积。16. 56dm第12讲 圆柱和圆锥的体积一、夯实基础本节主要是对圆柱和圆锥的认识，圆柱的表面积以及圆柱、圆锥体积计算。圆柱的特征：圆柱有一个侧面（展开是长方形）和两个底面（完全相同的圆），圆

53、柱有无数条高（两个底面之间的距离）。圆柱的侧面积=底面周长><Wj, S侧=必=2兀由；圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面面积；圆柱的体积=底面积X高，即V=sh=兀/h;圆锥的特征：圆锥的底面是一个圆，侧面（展开是扇形）。圆锥的高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。（一个圆锥只有一条高）圆锥的体积=-x底面积x高，即V= - sh=兀r2h；333圆锥的表面积=扇形面积+底圆面积。、典型例题例1 .把高10厘米的圆柱体按下图切开，拼成近似的长方体，表面积就增加了60平方厘米，圆柱的体积是多少立方厘米？分析：把圆柱体按上图切开并拼成近似长方体，表面积比原来增加了左、右两个侧面（长方形），长方形的长是底面半径，宽是圆柱的高。解：60登=30 （平方厘米）30勺0=3 （厘米）3.14 32X10=28