解析法巧解向量有关问题

1、解析法巧解向量有关问题有关向量数量关系的问题，是一类重要的数学题型，也是历年高考考查的重点和热点 .其中有些题目，如按常规的向量运算，处理起来会比较抽象、困难，不容易得出正确结果 .为了解决这个问题，笔者借助思维转化的角度，通过建立坐标系，把复杂的向量运算转化为便于操作的向量的代数运算，使得问题化繁为简 .一、向量数量积例 1 如图在 ABC 中，AB=AC ，BC=2，AD=DC ，AE=112EB.若 BD?AC=-112，求 CE?AB 的值 .解以 BC 中点 O 为坐标原点，直线 BC 为 x 轴，建立平面直角坐标系，则 B（-1，0），C（1，0）.设 A（ 0，a）（a>0

2、），由 AD=DC ，AE=112EB 得 D（112，a12），E（-113，2a13），BD= （312，a12），AC= （1，-a）.因为 BD?AC=312-a212=-112，所以 a=2（负值舍去）.从而 CE=（-413，413），AB=（-1，-2），CE?AB=-413.例 2 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆：（x-1）2+（y-1）2=4，C 为圆心，P 为圆上任意一点，求 OP?CP 的最大值 .解设 P（2cos+1，2sin+1），则 OP=（2cos+1，2sin+1），CP=（2cos，2sin），所以OP?CP=4cos2+2cos+4sin2+2sin=

3、4+22cos（-14）.当=2k+14（kZ）时， OP?CP取得最大值，最大值为4+22.点评在向量数量积的问题中，若很难求出相关向量的模及它们之间的夹角，那么这时如果能够通过建立直角坐标系，把相关点的坐标表示出来，用坐标来研究向量的数量积，则易于求解 .二、向量最值问题例 3 如图，在等腰三角形 ABC 中，已知 AB=AC=1 ，A=120°， E，F 分别是边 AB ，AC 上的点，且 AE=mAB ，AF=nAC ，其中 m，n（ 0，1），若 EF，BC 的中点分别为 M ，N 且 m+4n=1，求 |MN|的最小值 .解以 N 点为坐标原点，直线 BC 为 x 轴，建

4、立平面直角坐标系，由 AB=AC=1 ，A=120°得 N（0，0），A（0，112），B（-312，0），C（312，0），故 AF=nAC=（ 312n，-112n），AE=mAB= （-312m，-112m）.因为m+4n=1，所以 AE= （23n-312，2n-112），从而得点 E（ 23n-312，2n），点 F（312n，-112n+112），线段 EF的中点 M（5314n-312，314n+114）.所以 |MN|=（ 5312n-312）2+（3n14+114）2=11221n2-6n+1.当n=3121 时， |MN|取最小值 717.点评遇到向量最值问题时，

5、 可以通过建立坐标系，将向量最值问题转化为求函数的最值求解.三、向量含参数问题例 4 已知 |OA|=1，|OB|=3，OA?OB=0，点 C 在线段 AB 上，且 AOC=30°，设 OC=mOA+nOB （m，nR），则 m1n= .解因为 OA?OB=0，所以 OAOB.以 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，直线 OB 为 y 轴，建立平面直角坐标系 .由|OA|=1，|OB|=3， AOC=30°得 A（1，0），B（0，3），C（ 314，314）.因为 OC=mOA+nOB （m，nR），所以（ 314， 314）=m（1，0）+n（0，3），所以 m=314

6、，n=114，所以 m1n=3.点评如果条件中给出的向量式含有参数，那么一个有效的解法就是建立关于参数的方程，把几何问题代数化，向量问题坐标化.四、平面几何中的向量问题例 5 若 ABC 内接于以 O 为圆心，以 1 为半径的圆，且 3OA+4OB+5OC=0 ，则该 ABC 的面积为 .因为 3OA+4OB+5OC=0 ，所以（ 3OA+4OB ）2=（ -5OC）2，所以 9+16+24OA?OB=25，所以 OA?OB=0，所以 OAOB.以 O 为原点， OA 为 x 轴， OB 为y 轴，建立直角坐标系，则 A （1，0），B（0，1）.设C（x，y），因为 3OA+4OB+5OC=0 ，所以 3（1，0）+4（0，1）+5（x，y）=0，所以 x=-315，y=-415.所以S=SOAB+SOBC+SOAC=112+112×315+112×415=615.点评向量在平面几何中有很多的应用，如利用向量法去证明正弦定理和余弦定理.平面几何中