大学高数复习资料大全

1、假设f x为有界函数，g x为无穷小,（定理三）则lim（定理四）无穷大,穷小，且f x 0,则x为无穷大【题型示例】计算:邻域Ux0，x (或x在xx0的任一去心在x D上有界；）x0时的无穷小;时的无穷小；）3.由定理可知内是有界的;M，函数0即函数g x0即函数lim fx x0)关于多项式设：px q x则有lim x qa。b00q x商式的极限运算maxamDxnbnx00,f xx0f x0（特别地,limx x0 g x-（不定型）时, 0通常分高等数学第一章函数与极限 第一节函数。函数基础（高中函数部分相关知识）（）。邻域（去心邻域）（）U a, x| x ai"

2、IU a, x 10 x a第二节数列的极限。数列极限的证明（）【题型示例】已知数列xn ,证明lim xnax【证明示例】 N语言1 .由xn a化简得n g ,N g2 .即对0, N g ，当n N时，始终有不等式xn a 成立，lim xn ax第三节函数的极限O xx0时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数 f x ,证明lim f x AX x0【证明示例】 语言1 .由fx A化简得0 x %g,g2 .即对 0, g ,当0 xx0 时，始终有不等式 f x A 成立，lim f x A x x0O x时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数 f x ,证明lim f x A

3、 x【证明示例】 X语言1 .由f x A化简得x g ,X g2 .即对 0, X g ，当x X时，始终有不等式f x A 成立，lim f x Ax第四节无穷小与无穷大。无穷小与无穷大的本质（）函数f x无穷小 lim f x 0函数f x无穷大 lim f x。无穷小与无穷大的相关定理与推论（）f x g x 0在自变量的某个变化过程中， 若fx 为 则f 1 x为无穷小；反之，若f x为无lim f xx x0M .函数f2. lim g xx x0(im g x(lim f xx第五节极限运算法则。极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则p x、ma°x

4、b°xnx0 x0f x lim x x0 g x子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极 限值，也可以用罗比达法则求解）x 3【题型示例】求值lim 3金x 3 x2 9高等数学期末复习资料第19页（共9页）x 3x 311式 lim lim limx 3 x 9 x 3 x3x3x 3 x 36【求解示例】解：因为 x 3,从而可得x 3,所以原其中x 3为函数f x 4T的可去间断点 x 9倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）0x 3 0 x 311解：lim lim limx 3x 9 L x 32x 32x 6x 9。连续函数穿越定理 （复合函数的极限求解）（）（

5、定理五）若函数 f x是定义域上的连续函数，那么，lim f x f lim xx x0x x0【题型示例】求值：lim 12x 3 : x2 9【求解示例】lim ,13，limx23x 3 .x29 x 3x29第六节极限存在准则及两个重要极限。夹迫准则（P53） （）第一个重要极限:lxm0sin x解：limxlim2x 1lim2x 1sin xsin x tanx .limx 0 x2x 32x 12x 2lim 2x 1 2x 1e第七节2x 122x 1limx2x 12272x2x 1 22xlim2x 122x2xlim2x 12x 1limx 12lim x 12x 1x

6、ne无穷小量的阶（无穷小的比较）。等价无穷小U sin U1 ,u e 12. 1U22() tan U arcsin U arctan U ln(1 U )cosU（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值:【求解示例】解：因为x 0,即x1 x ln 1 x limx 0 xx 3limx 0ln 1 x xln 1 x3x0,所以原式1 x x limx 0 x x 3limln 1 x2x lim 一xln 1 x3x13. x limx 0 sin xlim x o sin xlim1x 0 1sin x第八节 函数的连续性。函数连续的定义（）lim f x lim f xx x0x x

7、0。间断点白分类（P67）x0（特别地,limx xosin(xxo)1)跳越间断点（不等）第一类间断点（左右极限存在）:可去间断点（相等）x xo。单调有界收敛准则（P57） （）x- 1第一个重要极限：lim 1ex x, ,g xlim g x -(一般地，lim f x lim f x ,其中lim f x 0 )【题型示例】求值:【求解示例】limx2x2x 1第二类间断点无穷间断点（极限为）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数择数a ,使得【求解示例】2xe0应该怎样选0成为在R上的连续函数?2.由连续函数定义lim f x lim f x f 0 ex

8、 0x 0解:arcsin x2 1;e. x2 xarcsin x21 earcsin x2- e222. x a第九节 闭区间上连续函数的性质。零点定理（）【题型示例】证明：方程f x g x C至少有一个根介于a与b之间【证明示例】1 .（建立辅助函数）函数 x f x g x C在 闭区间a,b上连续；2 . . a b 0 （端点异号）3 . 由零点定理，在开区间a,b内至少有一点 ，使 得 0,即 f g C 0（01）4 .这等式说明方程 f x g x C在开区间 a,b内至少有一个根【题型示例】求函数 f 【求解示例】y x的导数【求解示例】由题可得 f x为直接函数，其在定

9、于域 D,1上单调、可导，且 f x 0； . f 1 xf x。复合函数的求导法则（）【题型示例】设y 1n earcsinL 干行三，求y【求解示例】第二章导数与微分第一节导数概念。高等数学中导数的定义及几何意义（P83） （）【题型示例】已知函数f xex 1ax b2x1arcsin-."x21 2.x212xarcsin x2 1 f 22c 2c 22!. x a2 x 2,x a处可导，求a , b 【求解示例】f 0 e0 11 f 0 a2.由函数可导定义arcsin x2 1 ef 0e01 e0 1 2f 0bf 0e0 1 2第四节高阶导数nn 1O f x

10、f x【题型示例】求函数 yn（或玖dxnn 1dxln 1 x的n阶导数y ）（）a 1,b 2【题型示例】求 yf x在x a处的切线与法线方程（或：过y f x图像上点 a, f a 处的切线与法线3.函数商的求导法则（定理三） y11 e1方程）【求解示例】1 . y f x , y |x a f a2 .切线方程：y f a f a x a法线方程：v f A ,y i ax af a第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则。函数和（差）、积与商的求导法则（）1 .线性组合（定理一）：（u v） u v特别地，当1时，有（u v） u v2 .函数积的求导法则（定理二）：（uv） u

11、 v uvu u v uv-2v v第三节反函数和复合函数的求导法则y n （ 1）n1 （n 1）! （1 x） n第五节隐函数及参数方程型函数的导数。隐函数的求导（等式两边对x求导）（）【题型示例】试求：方程y x ey所给定的曲线 C：y y x在点1 e,1的切线方程与法线方程【求解示例】由y x ey两边对x求导即y xey化简得y 1 ey y1切线万程：y 1 x 1 e1 e。反函数的求导法则（）法线方程：y 11。参数方程型函数的求导x 0,函数f x在闭区间0,x上连续，在开区x【题型示例】设参数方程y，求心dx间0, 上可导，并且f【求解示例】1.dydx2立N.2t d

12、xdydx t2.由拉格朗日中值定理可得,ln 1ln 1化简得In弟八下第七节变化率问题举例及相关变化率（不作要求） 函数的微分Lx,又x0,x使得等式成立,。基本初等函数微分公式与微分运算法则（）dy f x dx第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理。引理（费马引理） 。罗尔定理（）【题型示例】现假设函数0, 上连续，在0,上可导，试证明:0, f1即证得：当x 1时, 第二节罗比达法则1 ln 1 x1 x x,。运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）1.2.等价无穷小的替换（以简化运算）判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比 达法则的三个前提条件A .属于两大基本不定型（使得

13、f cos【证明示例】sin0成立1.（建立辅助函数）令x sin x f x则进行运算：lim x a g x-）且满足条件,0f x limx a g x显然函数x在闭区间0,上连续，在开区间（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）0, 上可导;B .不属于两大基本不定型型（转乘为除，构造分式）（转化为基本不定型）2.又0 fsin0【题型示例】求值:Mx lnxsin【求解示例】3.，由罗尔定理知0,使得cossin0成立解如lnxlimlnx lnx limlxm0x1 xx。拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当 【证明示例】1时,1.lim xa x 0（一般地，lxm0In

14、 x0,其中R）1.（建立辅助函数）令函数ex,则对显然函数 f x在闭区间1,x上可导，并且f x1, x上连续，在开区间xe ；型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值:lim1sin x2.由拉格朗日中值定理可得,1,x使得等式1 e成立,x 1二 e ee,【求解示例】1 斛：lim 一x 0 sin xlimx 0sinx化简得x 1时,【题型示例】证明不等式：当【证明示例】1.（建立辅助函数）令函数x 0 时，In 1f x ln 100limL x 0x sin xx sin x0cosx 0limx 0sin x-2 x1 lim cosx2x L x 02x.sinx 八

15、lim 0x 0200型（对数求极限法）【题型示例】求值：lim xxx 000【求解示例】解：设y xx,两边取对数得：ln yln xln x xln x 1x(1)0(2)0对对数取x0时的极限：lim ln y x 0limln x- ln x lim 一lim xx 01lim x 0,从而有limlimelnyx 0lim ln yex 0x(4)1 型（对数求极限法）通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换） 取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） 取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性。连续函数单调性（单调区

16、间）（）【题型示例】试确定函数f x 2x3 9x2单调区间12x 3 的【题型示例】求值:lim cosxx 01sin x x【求解示例】1.二函数f【求解示例】x在其定义域R上连续，且可导6x2 18x 121解：令y cosx sinx x,两边取对数得ln ylncosxsin x0时的极限，limln y-0ln limx 0xcosx sinx6x1x20,解得：x1 1,x2 20o ln cosx sin xlim L x 0cosx sin x lim xlim ln ylim y= lim e yex 0x 0 x 00 cosx sin xx,111,222,f x00

17、f x极大值极小值4. .函数f x的单调递增区间为2.令 f x3.(三行表)0型（对数求极限法）【题型示例】求值:tanx1【求解示例】解：令ytan x,两边取对数得对ln y求xln lim x 01ln ytanx ln,1 , 2,单调递减区间为 1,2【题型示例】证明：当 x【证明示例】1.（构建辅助函数）设x2. x e1 0,0时,0)(x0)0时的极限，1im0lnytan x0sin2 x 0limx 0tan xln3.既证：当x0时,ln x lim 01tan xsin2 xlim limx 0 x L x 0 x从而可得lim y= lim elnyx 0 x 0

18、li mx 0lim ln yex 0limx 01x2sec xtan22sin xcosx0,。运用罗比达法则进行极限运算的基本思路【题型示例】证明：当 x【证明示例】1.（构建辅助函数）设12. x 13.既证：当xx0时，1ln0时，ln 1。连续函数凹凸性（）【题型示例】试讨论函数y 1凹凸性及拐点【证明示例】ln 1 xx,(x 0)0)3x2x3的单调性、极值、1.3x2 6x3x x 22.6x 63x x0 解得：x10,x220x 13【题型小例】求函数 f x 3x x在 1,3上的最值 【求解示例】1 . .函数f x在其定义域1,3上连续，且可导f x3x2 32 .

19、令 f x3x1x10,3.y（四行表）3 .x单调递增区间为（0,1）,（1,2）2x11,111,3f x00f x极小值/极大值解得：Xi1,X2 13.（三行表）4.函数y 1 3x单调递增区间为（函数y为f 01 3x21,0) ,(2,3 ,x的极小值在4.又.f 12,f 12, f 318max2,fxmin18极大值在x 2时取到，为f 25;第六节函数图形的描绘（不作要求）第七节 曲率（不作要求）第八节方程的近似解（不作要求）函数y1 3x2在区间(1,2),(2,一 ., 2函数y 1 3xx3在区间（）上凸；,0),(0,1)上凹,3x3的拐点坐标为1,3第五节函数的极

20、值和最大、最小值 。函数的极值与最值的关系（）设函数fx的定义域为D ,如果 xm的某个邻第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质。原函数与不定积分的概念（） 原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数F x的导函数为F x ,即当自变量x I时，有F x f x或dF x f x dx成立，则称F x为f x的一域U Xm等式f XX U Xm ,都适合不我们则称函数值 f Xm ；令XM 则函数f xf X在点Xm, f Xm处有极大xM 1, xM 2 , xM 3,，xMn在闭区间a,b上的最大值M满足:M max f a ,xm1，xm2,xm3,，xMn, f b ;设函数fx的定

21、义域为D ,如果xm的某个邻域U xm使得对 x U xm ,都适合不等我们则称函数f x在点xm, f xm处有极小值个原函数原函数存在定理：（）如果函数f x在定义区间I上连续，则在I上必存在可导函数 F x使得F x f x ,也就是 说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） 不定积分的概念（）在定义区间I上，函数f x的带有任意常数项C的原函数称为f x在定义区间I上的不定积分， 即表示为：f x dx F x Cf xm ；令xm则函数f xxm1 , xm2 , xm3，xmn在闭区间a,b上的最小值 m满足:m min fa ,xmi,xm2,xm3,f b ；（ 称为积分号，f

22、 x称为被积函数，f x dx称为积分表达式，x则称为积分变量）。基本积分表（）。不定积分的线性性质（分项积分公式）（）k1fx k2 g x dx k1 f x dx k2 g x dx第二节换元积分法。第一类换元法（凑微分）（）（dy f x dx的逆向应用）f x x dx f x d x【题型示例】求dx x【求解示例】1斛：-2dxa x【题型示例】2dx xa-1-dx2x 12dx1, x一一 arctan-【求解示例】-1解：1 .<2x 11 d 2x2x 1- d 2x2T2x 12x 1 C。第二类换元法（去根式）（）（dy f x dx的正向应用）对于一次根式（a

23、 0,b R）：第三节分部积分法。分部积分法（）设函数u f x , v g x具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu分部积分法函数排序次序：“反、对、哥、三、指”。运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；就近凑微分：（v dx dv）使用分部积分公式：udv uv vdu展开尾项 vdu v u dx ,判断a.若 v udx是容易求解的不定积分，则直接计、ax b ：令 t ax b ,于t2 bx a,算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b.若 v udx依旧是相当复杂，无法通过 a中方

24、法求解的不定积分，则重复、，直至出现则原式可化为t对于根号下平方和的形式（a0）：2 人.，x ：令 x atant （一2, x arctan ,则原式可化为 aasect容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求 ex x2dx【求解示例】解：ex x2dxx2exdxx2dex x2ex exd x2x2ex 2 x exdx x2ex 2 x d ex对于根号下平方差的形式（a0）：a. va2 x2 ：令 x asint （一）,2x 于是t arcsin一,则原式可化为aa costb. Jx2 a2 ：令 x asect （

25、0a ，一.arccos-,则原式可化为atant ；【题型示例】x12x=dx （一次根式）1【求解示例】解：12x 1dxt J2x 11 2 1 x -t -22dx tdt1 ,2 tdtdt ttC 2x 1【题型示例】求.a2 x2dx（三角换元）【求解示例】解： a2 x2 dx1t sin2t2asint（ 一 t -） 22.xt arcsin 一adx a cost2C t222.a cos tdtsint cost C21 cos2t2dtx2ex 2xex 2 exdx x2ex 2xex 2ex C【题型示例】求ex sin xdx【求解示例】在刀 xxxx触：e s

26、in xdx e d cosx e cosx cosxd exxxx .e cosx e cosxdx e cosx e d sin xxxxe cosx e sinx sinxd exx ,xe cosx e sinx e sinxdxxxxxe sin xdxe cosx e sin x sin xd ex .,1 x .八e sin xdx e sin x cosx C2第四节有理函数的不定积分。有理函数（） Pmm 1x p xa°xaxam夜：1Q x q xb0xn t1xnbnP x对于有理函数，当P x的次数小于 Q x的Q xP x 次数时，有理函数 是真分式；当P

27、 x的次数第五章定积分极其应用大于Q x的次数时，有理函数是假分式u du。有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）P x将有理函数的分母Q x分拆成两个没有Q x公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示k为一次因式 x a ；而另一个多项式可以表示为二次质因式 x2 px q , （ p2 4q 0）；即：Q x Q x Q2 x第一节定积分的概念与性质。定积分的定义（）bnf x dx lim f i xi Ia0i 1 i i（f x称为被积函数，f x dx称为被积表达式，x则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限,a,b称为积分区间）。定积分的性质（）b f x dxa般地：mx n m x ,则参数a m2.2 b cax bx c a x x a abk2 g x dxa f x dx 0ab kf x dxa（线性性质）k1fx k2g xbk f x dxabdx k1 f x dxa（积分区间的可加性）bcf x dx f x dxaax dxP x则设有理函数的分拆和式为:Q xP x R xF2 xc