初中二次函数的解题方法

1、v1.0 可编辑可修改1参考资料班沈阳14号初中二次函数的解题方法首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：一般式：y=ax2+bx+c(a 工 0,a、b、c 为常数)，顶点 坐标为(-b/2a,4ac-b2 /4a);顶点式：y=a(x-h) 2 +k(a 工 0,a、h、k 为常数),顶点 坐标为(h,k),对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开 口方向与函数y=ax2的图像相同，有时题目会指出让你 用配方法把一般式化成顶点式。交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a 工 0)仅限于与 x 轴即 y=0 有交点 A(x1 , 0)和 B(x2 , 0)的抛物线,即 bA2-

2、4ac0:由一般式变为交点式的步骤：TX1+x2=-b/a x1 x2=c/ay=ax2 +bx+c=a(x 2 +b/ax+c/a)=a( x2 ;-(x1+x2)x+x1x2=a(x-x1)(x-x2)重要概念：。1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h或者 x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次 函数图像的顶点 P。特别地，当 h=0 时，二次函数图像的 对称轴是 y 轴(即直线 x=0);a,b 同号，对称轴在 y 轴左 b=0,对称轴是 y 轴;a,b 异号，对v1.0 可编辑可修改2参考资料称轴在 y 轴右侧2. 二次函数图像有一个顶点 P,坐标为 P (

3、 h,k )当 h=0 时，P 在 y 轴上；当 k=0 时，P 在 x 轴上。h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大 小。当 a0 时，二次函数图像向上开口；当 a0.设 抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为X1,X2,即卩X1、X2为方 程ax2+bx+c=0 的两个根，由题设X1X2VO 知c0,所以c0，故b0.故选(A).2a例 2 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数a、b、c都是整数， 并且f(19)=f(99)=1999 , |c|1000 ,则c=_ .解：由已知f(x)=ax2+bx+c,且f(19)=f(99)=1

4、999，因此可 设f(x)=a(x- 19)(X-99)+1999 ,所以ax2+bx+c=a(x 19)(x 99)+1999=ax2-(19+99)X+19X99a+1999，故c=1999+1881a.因为|c|1000 ,a是整数，az0,经检验，只有a=- 1 满足， 此时c=1999- 1881=118.例 3 已知a,b,c是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴 有两个不同的交点 A,B,若 A、B 到原点的距离都小于 1,求a+b+c的最小值.解：设 A、B 的坐标分别为 A(X1, 0) , B(X2, 0)，且X10,.b2ac|OA|=|Xi|1 , |OB|=|X

5、2|1，即一 1Xi,X20,c=XiX2v1,.c0,a( 1)2+b( 1)+c0, 即卩a+cb.Tb,a+c都是整数，a+cb+1由，得a+c2ac+1,A(ac)21，又由知,.a c1 ,a c+1, 即 卩a(c+1)21+1)2=4a5,又b2、ac25 14,二b5取a=5,b=5,c=1 时，抛物线y=5x2+5x+1 满足题意.故a+b+c的最小值为 5+5+仁 11.例 4 如果y=x2(k 1)xk 1 与x轴的交点为 A, B,顶 点为C,那么 ABC 的面积的最小值是()A1 B 、2 C 、3 D 、4解：由于 =(k 1)2+4(k+1)=(k+1)2+40,

6、所以对于任意实数k,抛物线与x轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为xi,XiX2cXiX2a0,0,二Xi4, 当k=-1 时等于成立，所以，H1，故选A.已知二次函数y=x2-x- 2 及实数(1)函数在一 2xwa的最小值;函数在awxwa+2 的最小值.解：函数y=x2x- 2 的图象如图(1) 若2a1，当x=时，y最小值=9224(2) 若2a且a+2-，即一 2a -，当2 2=(a+2) (a+2) 2=a+3a,若a1，当x=a时，y最小值=a a2.1 所示.x=a+2 时，y最小值iw电，当X=E例 6 当|x+1|W6时，函数y=x|x| 2x+1 的最大值是_ .解：

7、由 |x+1|w6,得一 7wxw5,当 0wxw5时，y=x2 2x+1=(xa- 2.求:06 9)24图1-2xv1.0 可编辑可修改9参考资料-1)2,此时y最大值=(5 - 1)2=16.当一 7Wx 4 或 kV-5vkV-4 -4 或 kw-50(1)设与 x 轴交点分别为 x1, x2则 x1+x2=- (k+2) 0 (2)x1*x2=k+50- (3)解得-50,函数开口向上，单调递增区间是3/4 , +）.例 9.二次函数 y=ax八2+bx+c，当 x 取整数时，y 值也是整数，这样的 二次函数叫作整点二次函数，请问是否存在 a 的绝对值小于的整 点二次函数， 若存在请

8、写出一个，若不存在请说明理由。解答：（方法 1）（反证法）假设存在 二次项系数 a 的绝对值小 于的整点二次函数，（az0）则当 x=0 时，y=c，即 c 为整数，同理，当 x=1 时，y=a+b+c=m x=-1 时，y=a-b+c=n，其中 m n 都应为整数，两式相加，2a+2c=m+n 推知 2a 也应为整数，而|a|，即|2a|1 , 矛盾。所以不存在 a 的绝对值小于的整点二次函数。(方法 2)v1.0 可编辑可修改11参考资料x = 0 时，y = c 是整数x = 1 时，y = a+ b+ c 是整数x = 1 时，y = a b+ c 是整数二(a + b+ c) + (

9、a b+ c) = 2a+ 2c 是整数而 2c 是整数例 10.已知 y=x2 - | x | -12 的图象与 x 轴交于相异两点 A, B 另一抛物 线y=ax2 +bx+c 过 A,B，顶点为卩，且厶 APB 是等腰直角三角形，求 a,b, c解答：显然 A,B 坐标为(-4,0),(4,0).y=ax2 +bx+c 过 A,B,所以 b=0,c/a=-16,P 点坐标为:(0,-16a)由于 APB 是等腰直角三角形，所以 ABA2=APA2+BPA2,求出 a= 1/4.所以 a=1/4,b=0,c=-4 或者 a=-1/4,b=0,c=4.例 11.已知 y=x2 - | x | -12 的图象与 x 轴交于相异两点 A, B 另一抛物 线y=ax2 +bx+c 过 A,B，顶点为卩，且厶 APB 是等腰直角三角形，求 a，v1.0 可编辑可修改12参考资料b， c解答：显然 A,B 坐标为(-4,0),(4,0).y=ax2 +bx+c 过 A,B,所以 b=0,c/a=-16,P 点坐标为:(0,-16a)由于 APB 是等腰直角三角形，所以 ABA2=APA2+BPA2,求出 a= 1/4.所以 a=1/4,b=0,c