高考专题突破四(高考中的立体几何问题)

1、(时间：70分钟)1某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A4 B. C. D6答案B解析由三视图知四棱台的直观图为由棱台的体积公式得：V(2×21×1)×2.2已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：若m，m，则；若m，n，m，n，则；如果m，n，m、n是异面直线，那么n与相交；若m，nm，且n，n，则n且n.其中正确的是()A BC D答案D解析根据面面垂直的判定定理知正确；若mn，则得不出，错误；n与还可能平行，错误；易知正确3.如图梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，ADBCAB234，E、F分别是AB、CD的

2、中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：DFBC；BDFC；平面DBF平面BFC；平面DCF平面BFC.在翻折过程中，可能成立的结论是_(填写结论序号)答案解析因为BCAD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则不成立；设点D在平面BCF上的射影为点P，当BPCF时就有BDFC，而ADBCAB234，可使条件满足，所以正确；当点P落在BF上时，DP平面BDF，从而平面BDF平面BCF，所以正确；因为点D的射影不可能在FC上，所以平面DCF平面BFC不成立，即错误故答案为.4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当_时，D1

3、E平面AB1F.答案1解析如图，连接A1B，则A1B是D1E在平面ABB1A1内的射影AB1A1B，D1EAB1，又D1E平面AB1FD1EAF.连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影，D1EAFDEAF.ABCD是正方形，E是BC的中点，当且仅当F是CD的中点时，DEAF，即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F，1时，D1E平面AB1F.5如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160°.(1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值(1)证明如图，取AB的中点O，连接CO、A1

4、O.CACB，COAB，又AA1AB，AA12AO，又A1AO60°，AOA190°，即ABA1O，COA1OO，AB平面A1OC，A1C平面A1OC，ABA1C.(2)解以O为原点，OA所在直线为x轴，OA1所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，则A(1,0,0)，A1(0，0)，B(1,0,0)，C(0,0，)，B1(2，0)，则(1,0，)，(1，0)，(0，)，设n(x，y，z)为平面BB1C1C的法向量，则所以取n(，1，1)为平面BB1C1C的一个法向量，所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值sin |cosn·|.6(2

5、015·浙江)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90°，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求二面角A1BDB1的平面角的余弦值(1)证明设E为BC的中点，由题意得A1E平面ABC，因为AE平面ABC，所以A1EAE.因为ABAC，所以AEBC.又A1EBCE，故AE平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A，所以四边形A1AED为平行四边形故A1DAE.又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC.(2)解方法一如图所示，作A

6、1FBD且A1FBDF，连接B1F.由AEEB，A1EAA1EB90°，得A1BA1A4.由A1DB1D，A1BB1B，得A1DB与B1DB全等由A1FBD，得B1FBD，因此A1FB1为二面角A1-BD-B1的平面角由A1D，A1B4，DA1B90°，得BD3，A1FB1F.由余弦定理得cosA1FB1.方法二以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz，如图所示由题意知各点坐标如下：A1(0,0，)，B(0，0)，D(，0，)，B1(，)因此(0，)，(，)，(0，0)设平面A1BD的法向量为m(x1，y1，z1)，平面B1B

7、D的法向量为n(x2，y2，z2)由即可取m(0，1)由即可取n(，0,1)于是|cosm，n|.由图可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A1BDB1的平面角的余弦值为.7如图，已知三棱柱ABCABC中，平面BCCB底面ABC，BBAC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA3，E，F分别在棱AA，CC上，且AECF2.(1)求证：BB底面ABC；(2)在棱AB上找一点M，使得CM平面BEF，并给出证明(1)证明如图，取BC的中点O，连接AO，三角形ABC是等边三角形，AOBC.平面BCCB底面ABC，AO平面ABC，平面ACCB平面ABCBC，AO平面BCCB.又BB平面BCCB，AOB

8、B.又BBAC，AOACA，AO平面ABC，AC平面ABC，BB底面ABC.(2)解显然点M不是点A，B，若棱AB上存在一点M，使得CM平面BEF，过点M作MNAA交BE于N，连接FN，MC，如图所以MNCF，即CM和FN共面，又平面MNFC平面BEFFN，所以CMFN，所以四边形CMNF为平行四边形，所以MN2，所以MN是梯形ABBE的中位线，M为AB的中点故当M为AB的中点时，CM平面BEF.8.如图所示，平面ABDE平面ABC，ABC是等腰直角三角形，ACBC4，四边形ABDE是直角梯形，BDAE，BDBA，BDAE2，O，M分别为CE，AB的中点(1)求证：OD平面ABC；(2)求直线

9、CD和平面ODM所成角的正弦值；(3)能否在EM上找一点N，使得ON平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由(1)证明如图，取AC中点F，连接OF，FB.F是AC中点，O为CE中点，OFEA且OFEA.又BDAE且BDAE，OFDB，OFDB，四边形BDOF是平行四边形，ODFB.又FB平面ABC，OD平面ABC，OD平面ABC.(2)解平面ABDE平面ABC，平面ABDE平面ABCAB，DB平面ABDE，且BDBA，DB平面ABC.BDAE，EA平面ABC.如图所示，以C为原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系ACBC4，C(0,0,0)，A(4，0,0)，B(0,4,0)，D(0,4,2)，E(4,0,4)，O(2,0,2)，M(2,2,0)，(0,4,2)，(2,4,0)，(2,2,2)设平面ODM的法向量为n(x，y，z)，则由n，n，可得令x2，得y1，z1.n(2,1,1)设直线CD和平面ODM所成角为，则sin .直线CD和平面ODM所成角