例谈三角函数的最值问题

1、例谈三角函数的最值问题摘要： 本文归纳总结了高中阶段求三角函数最值的几种常用方 法，有利于学生对这一部分知识的理解掌握并形成良好的知识体系 及提咼解题能力。关键词：高中三角函数最值章编号：1672-1578(2011)11-0114-02在高中数学里，三角函数是一个重要的内容，具有公式多、概念 多、性质多的特点，与代数(函数、平面向量、不等式等内容)、几何(立体几何，解析几何)、复数等知识联系密切，常用来解决 函数的性质、三角不等式等问题，对学生的运算能力、应用能力等 提出了较高的要求。同时，三角函数也具有很大实际意义和广泛的 应用，是高考中一个比较重要的内容。在这部分的学习中，三角函 数的图

2、象和性质， 三角函数化简与求值(包括恒等变形)和三角函 数的最值及应用构成了教学的重点。本文就三角函数的最值问题进 行简单的探讨。1合理转化，利用三角函数的图像和性质求最值例1.求y=3sin(x+)+4cos(x+)的最值。分析：恒等变形a sinx+bcosx二sin(x+)-,其中tan二是三角转化中的一个常见性质，由这个性质易得y-5,5例2.已知函数y=cos2x+2sinxcosx+1,xr。tnii学朮友叢网论文发表专家一l中图分类号：g633.6文献标识码：c匸交发表专家一m国学朮发叢网(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；(2)该函数的图像可由y=sinx(xr)的图

3、像经过怎样的平移和 伸缩变换得到？(1)简解：所给函数可化为y=sin(2x+)+1,y取得最大值必须 且只需2x+=+2kn ,kz,即x=+kn , kz,故所求集合为x|x=+k n ,kz。此时y的最大值是+1。(2)略。这类函数的特征是可以转换为y=asin( w x+)+b(或者y=acos( wx+)+b)从而利用了三角函数的有界性解决问题， 需 要注意的是在解题中要小心范围的变化。例3.求函数y二的值域。略解：由-0,于是根据均值不等式f(x)=9xsinx+2=12,当9xsinx二即x2sin2x=时，f(x)min=12。在运用基本不等式a +b2,a, b r求最值时，

4、要检验条件a =b是否成立。若不成立，则可以根据“双勾函数”y=x+,a0的单调性解决。例7.已知=cos( a + B ),其中a , B为锐角，求tan p的最大值。解析：由sin B =sin( a + p )- a 二sin( a +p )cos a -cos( a + p )sin a =sina cos( a +B )即sin( a + B )cos a =2sin a +cos( a + B )，有tan( a + B )=2tana于是tan B =tan( a + B )- a = ，当=2tan a即tan2 a二时，匸交发表专家一m国学朮发叢网有(tan B) max二3

5、变量代换，整体思想求解例8.求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域。分析：本题的思路较多，一是可以考虑利用三角恒等式进行变形， 化归到熟悉的二次函数类型问题求解；二是注意到sinx+cosx与sinxcosx的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某个区间上的最值问题； 三是可以构造对偶式将其转 化为某个变量的二次函数在闭区间上的最值问题。解法一：y=sin(x+)+sin2x=sin(x+)-1-2sin2(x+)=sin2(x+)+sin(x+)-=sin(x+)+-1当sin(x+)=1时，ymax=+解法二：设sinx+cosx=t，贝卩t=sin(x+) 卜,sinxcosx=二y=t+=(t+1)2-1,t-,故当t=时，有ymax=+解法三：构造对偶式转化为某一变量的二次函数在闭区间内求最 大值，设sinx=m+n,cosx=m-n,贝U sinx+cosx=2m,si