北京第十八中学高三数学第一轮复习 53 定比分点与向量中常见的结论教学案（教师版）

1、教案53 定比分点与向量中常见的结论一、课前检测1.（丰台一模理6）在平面直角坐标系中作矩形,已知,则·的值为（ D ）（A）0 （B）7 （C）25 （D）2.（宣武一模理4）已知两个向量a=（1，2），b=（x，1），若（a+2b）/（2a 2b），则x的值是（ C ）A.1 B.2 C. D.3.设向量，则“”是“”的（ A ）（A）充分但不必要条件 （B）必要但不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件二、知识梳理1.线段定比分点公式：如图，设. （注：）1）则定比分点向量式：2）定比分点坐标式：设P（x,y）（分点），P1（x1,y1）（起点），P2（x2,y2

2、）（终点）。则特例：当=1时，就得到中点公式： ，实际上，对于起点相同，终点共线三个向量，（O与P1P2不共线），总有=u+v，u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1。 ？（三角形内角平分线定理）解读：2.设、不共线，点P在AB上，则=+且+=1，、R.，不共线，若=+，且+=1，R，R，求证：A、B、P三点共线.提示：证明与共线.当=时，=（+），此时P为AB的中点，这是向量的中点公式.解读：3已知向量起点与终点坐标，求向量的坐标：向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量

3、坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1）、B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1)解读：4.向量模的坐标形式：=;解读：5.求向量的夹角：cos=注：为锐角,不同向；为直角；为钝角,不反向.解读：6.平面两点间的距离公式：已知A（x1,y1）、B（x2,y2）=解读：7.与向量同向的单位向量：；与向量平行的单位向量：。与向量平行的单位向量为：与向量垂直的单位向量为：。解读：8.三角形的五个“心”：重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分

4、线相交一点.解读：9.三角形中向量性质： 1）过边的中点.2）； 为的重心； 为的垂心； 为的内心；所在直线过内心.解读：10.（1）；（2）.但可以推出：。解读：11.三角形重心坐标公式：ABC的顶点，重心坐标：注意：在ABC中，若0为重心，则，这是充要条件.解读：12.三角形五“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心.（2）为的重心.（3）为的垂心.（4）为的内心.（5）为的的旁心.解读：13.设、是平面内不共线的两向量，若，则。解读：14.设、是平面内不共线的两向量，解读：15.不共线向量无除法运算。解读：16.首尾相接的向量之和：解读：17.在AB

5、C中，解读：18.直线的方向向量有无数个。其中，（1，k）与是较特殊的两个。为直线的倾斜角、k为直线的斜率。解读：19.重要结论：1），则三点、P、Q共线。2）若点P为AB的中点。解读：20.四边形中的向量问题：1）平行四边形两对角线的平方之和等于四边平方之和。即2）在四边形ABCD中，若四边形ABCD为平行四边形。注：若在平面中，若，则推不出ABCD为平行四边形，有可能四点共线。3）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为菱形。4）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为菱形。5）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为梯形。6）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为矩形。

6、7）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为矩形。解读：三、典型例题分析例1 已知A（-1，2），B（2，8），= ，= -，求点C、D和向量的坐标分析：待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量 ， 和 关系进行坐标运算，用方程思想解之解：设C、D的坐标为、，由题意得=（），=（3，6）， =（），=（-3，-6） 又= ，= - （）=（3，6）， （）=-（-3，-6） 即 ()=(1,2) ， ()=(1,2)且，且 且 ，且 点C、D和向量 的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高变式训练1 已知点，点在线段的中垂

7、线上，则点的横坐标的值是（ ）A. B. C. D. 小结与拓展：例2 已知一个平行四边形的顶点，对角线的交点为，则它的另外两个顶点的坐标为 变式训练2 已知P1(3,2)，P2（8，3），若点P在直线P1P2上，且满足|P1P|=2|PP2|，求点P的坐标。错解：由|P1P|=2|PP2|得，点P 分P1P2所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P（）错因：对于|P1P|=2|PP2|这个等式，它所包含的不仅是点P为 P1，P2 的内分点这一种情况，还有点P是 P1，P2的外分点。故须分情况讨论。正解：当点P为 P1，P2 的内分点时，P 分P1P2所成的比为2，此时解得P（）； 当点P为 P

8、1，P2 的外分点时，P 分P1P2所成的比为-2，此时解得P（13，4）。 则所求点P的坐标为（）或（13，4）。点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。也就是分类讨论的数学思想。变式训练3 若点分所成的比为，则分所成的比为（ ）A. B. C. D. 变式训练4 设线段的长为5cm，写出点分有向线段所成的比为（1）点在线段上，则=_.（2）点在的延长线上，则=_.（3）点在的反向延长线上，则=_.小结与拓展：例3 已知三角形的三个顶点为，（1）求三边的长；（2）求边上的中线的长；（3）求重心的坐标；（4）求的平分线的长；（5）在上取一点，使过且平行于的直线把的面积分成的两部分，求点的坐标变式训练5 已知且是的